mxx()-x()≤E (5)所以x,()在b]上一致收 敛于x(0),从而x()∈C{ab由(5),当n>N时, d(xn,x)mx()-x().所以x,→x,故c是完备度量空间 令Pa表示区间b上实系数多项式全体Pa小作为Cb]的 子空间是不完备的度量空间.实因多项式列 26 在闭区间[b上一致收敛于连续的指数函数e2,但e非多项式即pb 不是Cab]的闭子空间由Th1,P[ab不是完备度量空间证毕 设X表示闭区间[1上连续函数全体,对∨x,y∈X,令 d(x, y=SEx()dt 易知(X,d)成为度量空间.实因 1°显然d(x,y)≥0.若t∈[]时,x()=y(),从而d(x,y)=0.反 之若d(xy)=0,即(0)-y)=.因(0)-y)≥0,故x0)=y()ae 于[],又因ae相等的连续函数必然处处相等,故x=y.总之d(xy)≥0 且d(x,y)=0x=y 29(xy)=C+0)-y(s0)=()+C()=y( 所以(X,d)是度量空间
25 atb max x (t) x (t) n − . (5)所以 x (t) n 在 a,b 上一致收 敛于 x(t) ，从而 x(t) Ca,b. 由(5)，当 n N 时， d(x x) n , = atb max x (t) x (t) n − . 所以 n x → x ，故 Ca,b 是完备度量空间. 令 Pa,b 表示闭区间 a,b 上实系数多项式全体,Pa,b 作为 Ca,b 的 子空间是不完备的度量空间. 实因多项式列 = + + + + + 1 2 3 2 6 ! 1 n n n x x x x 在闭区间 a,b 上一致收敛于连续的指数函数 x e ，但 x e 非多项式. 即 Pa,b 不是 Ca,b 的闭子空间. 由 Th 1， Pa,b 不是完备度量空间. 证毕. 设 X 表示闭区间 0,1 上连续函数全体，对 x, y X ，令 d(x, y)= ( ) ( ) − 1 0 x t y t dt . 易知 (X,d) 成为度量空间. 实因 0 1 显然 d(x, y) 0. 若 t 0,1 时， x(t) y(t) ，从而 d(x, y) =0. 反 之若 d(x, y) =0，即 ( ) ( ) − 1 0 x t y t dt =0. 因 x(t)− y(t) 0，故 x(t)= y(t) a.e. 于 0,1. 又因 a.e. 相等的连续函数必然处处相等，故 x = y . 总之 d(x, y) 0 且 d(x, y) =0 x = y . 0 2 d(x, y)= ( ) ( ) − 1 0 x t y t dt ( ) ( ) − 1 0 x t z t dt + ( ) ( ) − 1 0 z t y t dt = d(x,z) + d(y,z). 所以 (X,d) 是度量空间
例5上面定义的度量空间(X,d)不完备 证明令x()={线性 <【<一 0 0<t≤ 先证{xn是(X,d)中的柯西点列实因vE>0,当 n>m>时,d(,x)=()-x()=( 1-xm(o)du 2、1)∠.所以点列比=是(x,d)中的柯西点列 再证点列{xn=在(X,d)中不收敛实因对每个x∈X, d(,x)0)=x(k=[x(k+0)-x(+ 上-x().若(x,x)→0,必有(=[-x(
26 例 5 上面定义的度量空间 (X,d) 不完备. 证明 令 x (t) m = + + 2 1 0, 0 1 2 1 2 1 , 1 2 1 1, 1 t m t t m 线性 先证 n n=1 x 是 (X,d) 中的柯西点列. 实因 0 ，当 n m 1 时， ( ) n m d x , x = ( ) ( ) − 1 0 x t x t dt n m = ( ) ( ) + − m xn t xm t dt 1 2 1 2 1 = − m n 1 1 2 1 m 1 . 所以点列 n n=1 x 是 (X,d) 中的柯西点列. 再证点列 n n=1 x 在 (X,d) 中不收敛. 实因对每个 x X ， d(x x) n , = ( ) ( ) − 1 0 x t x t dt n = ( ) 2 1 0 x t dt + ( ) ( ) + − m xn t x t dt 1 2 1 2 1 + ( ) + − 1 1 2 1 1 m x t dt . 若 d(x x) n , → 0, 必有 ( ) 2 1 0 x t dt = ( ) − 1 2 1 1 x t dt =0
但由于x)在闭区间p]上连续,得x)在0.恒为0,在,1恒为.与 在1=间断相矛盾.故(x,d)是不完备的度量空间 作业:P206.15.M(X)、离散空间 作业解答:设{nm是M(x)中的基本点列,Va>0,有 m-小=了b k,0-3,0 drsd(,). V6>0,3NEN, S. t v n 1+ m>N,有dxn,xn)<E,从而mxn-x小<+g.所以 mxxn-x≥2o]→0(nm→∞).由此可找到自然数列 n3 k=1,2,…都成立 记Xx10)-x2,再令x=U∩x,则x x-Ux-x)=Ux-x,m(x-x)≤∑1 令 m→,得m(x-x0)=0.所以mx2=mX.显见在x0上{n()处处 收敛于一个极哏函数,记这个极限函数为x().令
27 但由于 x(t) 在闭区间 0,1 上连续，得 x(t) 在 2 1 0, 恒为 0，在 ,1 2 1 恒为 1. 与 在 t = 2 1 间断相矛盾. 故 (X,d) 是不完备的度量空间. 作业： P 206. 15. M(X ) 、离散空间. 作业解答： 设 n n=1 x 是 M(X ) 中的基本点列， 0，有 − + n m mX x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + − − X xn xm n m n m dt x t x t x t x t 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + − − X n m n m dt x t x t x t x t 1 = ( ) n m d x , x . 0， N ，s.t. n ， m N ，有 ( ) n m d x , x . 从而 − n m mX x x 1+ . 所以 − n m mX x x → 0 (n,m → ). 由此可找到自然数列： 1 n 2 n n3 nk ，s.t. ( ) − nk + nk k mX x t x 2 1 1 k 2 1 对 k = 1,2, 都成立. 记 X k = ( ) − nk + nk k X x t x 2 1 1 , 再令 X 0 = = m 1 k =m X k ，则 X - X 0 =( ) = = − m 1 k m X X k ( ) = − k m X X k ， ( ) m X − X0 k =m k 2 1 = 1 2 1 m− . 令 m → ，得 ( ) m X − X0 =0. 所以 mX0 = mX . 显见在 X 0 上 ( ) k=1 n x t k 处处 收敛于一个极限函数，记这个极限函数为 x(t). 令