10答案：3考点二诱导公式的应用[师生共研过关][例 4] (1) J(a) = 2sin(a+a)cos(x-α-co(r+a 23元(1+2sinaα≠0)，则八(+a)-sin(+a1+sin?a+cos-0)=a，则 cos(+0)+sin(-0)的值是(2)已知 cos([解析】 (1)因为(a)=(-2sin a)(-cosa)+cosa2sinacosa+cosa1+sin'a+sina-cos'a2sin'a+ sin acos a(1 + 2sin a)23元，所以八V3sin a(1+2sin @) " tan a'23元tar(2)因为 cos(+0)=co[元-(-0)]= -cos(-0)- -a.sim-0)=sin+-0)]=co-0)=a所以 co(+0) +sm- 0)=0.[答案】 (1)V3 (2)0[解题技法]1，学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程锐角任意负利用诱导0～2元利用诱导利用诱任意正公式二导公式公式-三角角的三角的三的角的三角函数角函数或四或五三或角函数函数也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了，2.常见的互余和互补的角元T元a与+a与互余的角4等+α+0第21页共155页
第 21 页 共 155 页 答案：10 3 诱导公式的应用 [师生共研过关] [例 4] (1)设 f(α)＝ 2sin(π＋α)cos(π－α)－cos(π＋α) 1＋sin2α＋cos 3π 2 ＋α －sin2 π 2 ＋α (1＋2sin α≠0)，则 f － 23π 6 ＝ ； (2)已知 cos π 6 －θ ＝a，则 cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ 的值是 ． [解析] (1)因为 f(α)＝ (－2sin α)(－cos α)＋cos α 1＋sin2α＋sin α－cos2α ＝ 2sin αcos α＋cos α 2sin2α＋sin α ＝ cos α(1＋2sin α) sin α(1＋2sin α) ＝ 1 tan α ，所以 f － 23π 6 ＝ 1 tan － 23π 6 ＝ 1 tan － 4π＋ π 6 ＝ 1 tan π 6 ＝ 3. (2)因为 cos 5π 6 ＋θ ＝cos π－ π 6 －θ ＝－cos π 6 －θ ＝－a， sin 2π 3 －θ ＝sin π 2 ＋ π 6 －θ ＝cos π 6 －θ ＝a， 所以 cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ ＝0. [答案] (1) 3 (2)0 [解题技法] 1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．常见的互余和互补的角 互余的角 π 3 －α 与 π 6 ＋α； π 3 ＋α 与 π 6 －α； π 4 ＋α 与 π 4 －α 等
2元+0与_3元.0："+0与互补的角-0等3344诱导公式就是好，负化正后大化小；元的一半整数倍，奇数变化偶不变；函数符号问象限，两个函数看左边：[跟踪训练]1.(多选)(2021·青岛模拟)已知xER，则下列等式恒成立的是(YA. sin(-x)=sinx3元B. sin(cos.X12(+x)=-sinxC. cosD. cos(x—元)=cosx解析：选CDsin(-x)=-sinx，故A不成立；3元sinl-x)=-cosx，故B不成立；2元.+x)=-sinx，故C成立；coscos(x-元)=-cosx，故D成立.2.sin(-1200°)cos1290°=解析：原式=-sin1200cos1290°=-sin(3X360°+120°)c0s(3×360°+210°)=-sin120°cos210°=-sin(180°-60°)c0s(180°+30°)=sin60cos30°3答案：34第22页共155页
第 22 页 共 155 页 互补的角 π 3 ＋θ 与 2π 3 －θ； π 4 ＋θ 与 3π 4 －θ 等 诱导公式就是好，负化正后大化小； π 的一半整数倍，奇数变化偶不变； 函数符号问象限，两个函数看左边． [跟踪训练] 1．(多选)(2021·青岛模拟)已知 x∈R，则下列等式恒成立的是( ) A．sin(－x)＝sin x B．sin 3π 2 －x ＝cos x C．cos π 2 ＋x ＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x 解析：选 CD sin(－x)＝－sin x，故 A 不成立； sin 3π 2 －x ＝－cos x，故 B 不成立； cos π 2 ＋x ＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故 D 成立． 2．sin(－1 200°)cos 1 290°＝ . 解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30° ＝ 3 2 × 3 2 ＝ 3 4 . 答案： 3 4
元)- 则 co(F-α)--3.已知sin(a=解析： 由题意知, cos(C-a) =cos[+(-a)]= -sin(--a)=-1答案：-1诱导公式与同角关系的综合应用考点[师生共研过关]V10[例5](2021·湖北昌一中质检)已知α是第三象限角，且cOsα=10(1)求tanα的值；cos(元—a)(2)化简并求、的值，(+a)2sin(-a)+ sin(yio[解】(1):α是第三象限角，cosα=10,3V10sin a1 -cos"a==3...sina=..tana10cosacosacosa1由(1)知tanα=3，原式=(2)原式=中-2sina+cosa2sina-cosa2tana-12×3-15[解题技法]求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求①分析结构特点，选择恰当公式；基本②利用公式化成单角三角函数；思路③整理得最简形式④化简过程是恒等变换；化简②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求要求出值[跟踪训练](+β)+5=0, tan(π+a)+6sin(n+β)-1=0,1.已知α为锐角，且2tan(元一a)—3cos第23页共155页
第 23 页 共 155 页 3．已知 sin π 3 －α ＝ 1 3 ，则 cos 5π 6 －α ＝ . 解析：由题意知，cos 5π 6 －α ＝cos π 2 ＋ π 3 －α ＝－sin π 3 －α ＝－ 1 3 . 答案：－ 1 3 诱导公式与同角关系的综合应用 [师生共研过关] [例 5] (2021·湖北宜昌一中质检)已知 α 是第三象限角，且 cos α＝－ 10 10 . (1)求 tan α 的值； (2)化简并求 cos(π－α) 2sin(－α)＋sin π 2 ＋α 的值． [解] (1)∵α 是第三象限角，cos α＝－ 10 10 ， ∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 3 10 10 ，∴tan α＝ sin α cos α ＝3. (2)原式＝ －cos α －2sin α＋cos α ＝ cos α 2sin α－cos α ＝ 1 2tan α－1 ，由(1)知 tan α＝3，∴原式＝ 1 2×3－1 ＝ 1 5 . [解题技法] 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 基本 思路 ①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数； ③整理得最简形式 化简 要求 ①化简过程是恒等变换； ②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求 出值 [跟踪训练] 1．已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cos π 2 ＋β ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0
则sina=解析：由已知可得-2tan+3sinβ+5=0tana-6sinβ-1=0，解得tana=3,3V10又α为锐角，故sina=103V10答案：10则μcos(=)+3sin(r+a) 且ae2.已知tan(元一a)=3.cos(元—α)+9sina22,得tanα=解析：由tan(元-a)=3°3cos( - @) +3sin(π +α)cos a-3sin a则cos(元 - @) + 9sin a- cos a+ 9sin a1-21-3tan a15-1+9tana- 1+61答案：5111且”<a<元，则3.已知sina+cosa=的值为5sin(元—a)cos(元—a)12..元平方得sina.cosα=解析：由sina+cosa=<a<n,25'2111..sin a - cos a=(sin a+ cos a)?- 4sin acosasinasin(π - α)cos(元 -α)13cosa- sin a35112"12cosasin acos a2535答案：12[课时过关检测]A级--基础达标且ae(1.已知tana=02.1KKA.B.55美共155页第24页
第 24 页 共 155 页 则 sin α＝ . 解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0. tan α－6sin β－1＝0，解得 tan α＝3， 又 α 为锐角，故 sin α＝ 3 10 10 . 答案：3 10 10 2．已知 tan(π－α)＝－ 2 3 ，且 α∈ － π，－ π 2 ，则cos(－α)＋3sin(π＋α) cos(π－α)＋9sin α ＝ . 解析：由 tan(π－α)＝－ 2 3 ，得 tan α＝ 2 3 ， 则 cos(－α)＋3sin(π＋α) cos(π－α)＋9sin α ＝ cos α－3sin α －cos α＋9sin α ＝ 1－3tan α －1＋9tan α ＝ 1－2 －1＋6 ＝－ 1 5 . 答案：－ 1 5 3．已知 sin α＋cos α＝－ 1 5 ，且π 2 <α<π，则 1 sin(π－α) ＋ 1 cos(π－α) 的值为 ． 解析：由 sin α＋cos α＝－ 1 5 平方得 sin αcos α＝－ 12 25，∵ π 2 <α<π， ∴sin α－cos α＝ (sin α＋cos α) 2－4sin αcos α＝ 7 5 ，∴ 1 sin(π－α) ＋ 1 cos(π－α) ＝ 1 sin α － 1 cos α ＝ cos α－sin α sin αcos α ＝ － 7 5 － 12 25 ＝ 35 12. 答案：35 12 [课时过关检测] A 级——基础达标 1．已知 tan α＝ 1 2 ，且 α∈ π， 3π 2 ，则 cos α－ π 2 ＝( ) A．－ 5 5 B． 5 5
2V52V5C.D.553元解析：选A由aE（元，知a为第三象限角，2sina.1V5tan acosa2'联立得sinaSsin'a+cosa=1V5故选A政.5sin0+cos0+sin20的值为(2.已知tan0=2，sin 01916A.B.552317C.D.1010sin 0+ cos 0tan 0+1sin'0tan'e解析：选C原式，将tan0=2代入sin 0tantan’0+1sin?0+cos0上式，则原式=禁103.已知cos(75°+a)=则sin(α—15)+cos(105°a)的值是(-3*1-3-1A.B.32D. -2C.33解析：选Dsin(a-15°)+c0s(105°-a)=sin[(75°+α)-90°1+c0s[180°-(75°+α)l=，故选Dcos(75° + α) - cos(75° + α) = - 2cos(75° + a) =4. 已知 0e(, 号), 则 2cos 0+ V1-2sin(r- 0)cos 0=(A. sin 0+cos0B. sin 0-cos C. cos 0-sin 0D.3cos 0-sin 0解析: 选A 因为 0=(,),所以 sin >cos 0 ,则 2cos O+ 1-2sin(r - 0)cos 0=2cos/sinQ-cos2=2cos0+sin0-cos0=sin0+cos0故选A5.（多选)在△ABC中，下列结论正确的是()A,sin(A+B)=sin C第25页共155页
第 25 页 共 155 页 C． 2 5 5 D．－ 2 5 5 解析：选 A 由 α∈ π， 3π 2 知 α 为第三象限角， 联立 tan α＝ sin α cos α ＝ 1 2 ， sin2α＋cos2α＝1， 得 sin α＝－ 5 5 ， 故 cos α－ π 2 ＝sin α＝－ 5 5 ，故选 A． 2．已知 tan θ＝2，则sin θ＋cos θ sin θ ＋sin2θ 的值为( ) A． 19 5 B． 16 5 C． 23 10 D． 17 10 解析：选 C 原式＝ sin θ＋cos θ sin θ ＋ sin2θ sin2θ＋cos2θ ＝ tan θ＋1 tan θ ＋ tan2θ tan2θ＋1 ，将 tan θ＝2 代入 上式，则原式＝23 10. 3．已知 cos(75°＋α)＝ 1 3 ，则 sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A． 1 3 B．－ 1 3 C． 2 3 D．－ 2 3 解析：选 D sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－ cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－ 2 3 ，故选 D. 4．已知 θ∈ π 4 ， π 2 ，则 2cos θ＋ 1－2sin(π－θ)cos θ＝( ) A．sin θ＋cos θ B．sin θ－cos θ C．cos θ－sin θ D．3cos θ－sin θ 解析：选 A 因为 θ∈ π 4 ， π 2 ，所以 sin θ>cos θ，则 2cos θ＋ 1－2sin(π－θ)cos θ＝2cos θ＋ (sin θ－cos θ) 2＝2cos θ＋sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，故选 A． 5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A．sin(A＋B)＝sin C