[逐点清]元1.（必修4第20页练习1题改编）已知sinα≤a≤元，则tana=(524A. -2B. 21-C.D.222V5解析：选D因为”V1- sin’a=<a≤元，所以cosa=今sina!以tan a==2cosacoso则tan +2.（必修4第20页嫁习4题改编）若sinOcos0=sin0sinocos01coso解析：tan0+=2.sindcOsOsin09cosOsin0答案：2重点二诱导公式二四六三五-匹+a2k+a(kEZ)元+a-a元一a-a.22sinasin asin a.sin acosacosa-sinacosacosacosa-cosasinatanatana-tana-tana[提醒】诱导公式可简记为：奇变偶不变,符号看象限。“奇”“偶”指的是“-号+a(k2EZ)”中的k是奇数还是偶数。“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则元正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变。“符号看象限”指的是在“k+a(kEZ)"中，将α看成锐角时，“k-+a(keZ)”的终边所在的象限。[逐点清]52元3.（必修4第24页例1改编）sin2490°=P5)=cs9解析 : sin 2 490° = sin(7X360° - 30°) = - sin 30° = .cos第16页共155页
第 16 页 共 155 页 [逐点清] 1．(必修 4 第 20 页练习 1 题改编)已知 sin α＝ 5 5 ， π 2 ≤α≤π，则 tan α＝( ) 4A．－2 B．2 C． 1 2 D．－ 1 2 解析：选 D 因为π 2 ≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 5 5 2＝－ 2 5 5 ，所 以 tan α＝ sin α cos α ＝－ 1 2 . 2．(必修 4 第 20 页练习 4 题改编)若 sin θcos θ＝ 1 2 ，则 tan θ＋ cos θ sin θ ＝ . 解析：tan θ＋ cos θ sin θ ＝ sin θ cos θ ＋ cos θ sin θ ＝ 1 cos θsin θ ＝2. 答案：2 重点二 诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan α [提醒] 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k· π 2 ＋α(k ∈Z)”中的 k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则 正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k· π 2 ＋α(k∈Z)” 中，将 α 看成锐角时，“k· π 2 ＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． [逐点清] 3．(必修 4 第 24 页例 1 改编)sin 2 490°＝ ，cos － 52π 3 ＝ . 解析： sin 2 490°＝ sin(7×360°－ 30°) ＝ － sin 30°＝ － 1 2 .cos － 52π 3 ＝ cos 52π 3 ＝ cos 16π＋π＋ π 3
)= -cos"-.1T=cos元+3-23窖案：一 -14. (男错题)已知 cos(=2sin(则 tan aα=元元 +α)=2sin(aα -解析：因为cos()，所以-sina=-2cosa，则tanα=2.答案：2【记结论提速度][记结论]同角三角函数基本关系式的常用变形(1)(sin atcos a)2=1±2sin acos a;(sin a+cosa)2+(sin a-cosa)2=2;(sina+cosa)2-(sina-cosa)2=4sinacosa(2)sina=tan acosa(a++kn, kz)2sin'atan'asina=sin’a+cos’atan’a+1cos'a1cos"a=sin’a+cos?atan'a+i[提速度]1.已知tana=一3，则cosa一sina=(414A.B.5533c. D.55cos'a-sin'a1-tan'a 1-9解析：选B由同角三角函数关系得cosa-sina=cosa+sina"1+tan’a"1+941'n12.若0是△AABC的一个内角，且sinOcos0=则sin0一cosO的值为（08"A.-B.22KKD.C.22共155页第17页
第 17 页 共 155 页 ＝cos π＋ π 3 ＝－cos π 3 ＝－ 1 2 . 答案：－ 1 2 － 1 2 4．(易错题)已知 cos π 2 ＋α ＝2sin α－ π 2 ，则 tan α＝ . 解析：因为 cos π 2 ＋α ＝2sin α－ π 2 ，所以－sin α＝－2cos α，则 tan α＝2. 答案：2 [记结论·提速度] [记结论] 同角三角函数基本关系式的常用变形 (1)(sin α±cos α) 2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α) 2＋(sin α－cos α) 2＝2； (sin α＋cos α) 2－(sin α－cos α) 2＝4sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α α≠ π 2 ＋kπ，k∈Z ； sin2α＝ sin2α sin2α＋cos2α ＝ tan2α tan2α＋1 ； cos2α＝ cos2α sin2α＋cos2 α ＝ 1 tan2α＋1 . [提速度] 1．已知 tan α＝－3，则 cos2α－sin2α＝( ) A． 4 5 B．－ 4 5 C． 3 5 D．－ 3 5 解析：选 B 由同角三角函数关系得 cos2α－sin2α＝ cos2α－sin2α cos2α＋sin2α ＝ 1－tan2α 1＋tan2α ＝ 1－9 1＋9 ＝－ 4 5 . 2．若 θ 是△ABC 的一个内角，且 sin θcos θ＝－ 1 8 ，则 sin θ－cos θ 的值为( ) A．－ 3 2 B． 3 2 C．－ 5 2 D． 5 2
解析：选D：0是^ABC的一个内角，且sinOcos0=8..sin0>0,cos0<0,5V5V=，故选D...sin 0 - cos 0= (sin 0 - cos 0)2= 1 - 2sin Ocos 0=1考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点同角三角函数基本关系式的应用[定向精析突破]考向1“知一求二”问题1则sina+cosa的值为[例1]已知a是第二象限角，且tana=3110-[解析]由tana=cos,将其代入sin'a+cos'a=1,得5,得 sinα=得cos'a=1,93V10V10所以cosa=，由α为第二象限角，易知cosa<0，所以cosα=,sina=101010V1o故sina+cosa=5Vio[答案]5考向2sina，cosα的齐次式问题tana[例2]已知一1，求下列各式的值：tan a-1sin a-3cosa(1)sin a+ cos a'(2)sin’a+ sin acos a+2.[解］由己知得tana=nsina-3cosatana-35(1)-3'tan a+1sin a+ cos asin'a+ sin acos atan'a+ tan a13(2)sin'a+ sin acos a+2=+2=+2=5sin'a+ cos'atan'a +1考向3“sina士cosa，sinacosα”之间的关系的应用第18页共155页
第 18 页 共 155 页 解析：选 D ∵θ 是△ABC 的一个内角，且 sin θcos θ＝－ 1 8 ， ∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝ (sin θ－cos θ) 2＝ 1－2sin θcos θ＝ 5 4 ＝ 5 2 ，故选 D. 同角三角函数基本关系式的应用 [定向精析突破] 考向 1 “知一求二”问题 [例 1] 已知 α 是第二象限角，且 tan α＝－ 1 3 ，则 sin α＋cos α 的值为 ． [解析] 由 tan α＝－ 1 3 ，得 sin α＝－ 1 3 cos α，将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得10 9 cos2α＝1， 所以 cos2α＝ 9 10，由 α 为第二象限角，易知 cos α<0，所以 cos α＝－ 3 10 10 ，sin α＝ 10 10 ， 故 sin α＋cos α＝－ 10 5 . [答案] － 10 5 考向 2 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知 tan α tan α－1 ＝－1，求下列各式的值： (1) sin α－3cos α sin α＋cos α ； (2)sin2α＋sin αcos α＋2. [解] 由已知得 tan α＝ 1 2 . (1) sin α－3cos α sin α＋cos α ＝ tan α－3 tan α＋1 ＝－ 5 3 . (2)sin2α＋sin αcos α＋2＝ sin2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α ＋2＝ tan2α＋tan α tan2α＋1 ＋2＝ 13 5 . 考向 3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用
[例3]已知xE一元，0)，sinx十cosx5(1)求sinx一cosx的值；sin2x+2sin2x(2)求一的值。1-tanx[解】(1)由sinx+cosx=3.平方得sinx+2sinxcosx+cosx2524整理得2sinxcosx=2549..(sinx - cos x)2 =1- 2sin xcosx:25由xE(-元，0)，知sinx<0又sinx+cosx>0，..cosx>0,则 sinx - cos x<0,7故sinx-cosx=5sin 2x+ 2sin'x 2sin x(cos x+ sin x)(2)1. sinx1-tanxcos.x2sin xcos x(cos x+ sin )-cosx-sinx24x124715175[规律探求]考向1是公式的直接应用，即已知sina，cosα，tanα中的一个求另外两个的sin a即可，但值.解决此类问题时，直接套用公式sina+cosa=1及tana=cosa看要注意α的范围，即三角函数值的符号。个考向2的分式中分子与分母是关于sina，cosa的齐次式，往往转化为关于tan性α的式子求解，考向3是考查sinacosa与sinacosa的关系R第19页共155页
第 19 页 共 155 页 [例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝ 1 5 . (1)求 sin x－cos x 的值； (2)求 sin 2x＋2sin2x 1－tan x 的值． [解] (1)由 sin x＋cos x＝ 1 5 ， 平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝ 1 25， 整理得 2sin xcos x＝－ 24 25. ∴(sin x－cos x) 2＝1－2sin xcos x＝ 49 25. 由 x∈(－π，0)，知 sin x<0， 又 sin x＋cos x>0， ∴cos x>0，则 sin x－cos x<0， 故 sin x－cos x＝－ 7 5 . (2) sin 2x＋2sin2x 1－tan x ＝ 2sin x(cos x＋sin x) 1－ sin x cos x ＝ 2sin xcos x(cos x＋sin x) cos x－sin x ＝ － 24 25× 1 5 7 5 ＝－ 24 175. [规律探求] 看 个 性 考向 1 是公式的直接应用，即已知 sin α，cos α，tan α 中的一个求另外两个的 值．解决此类问题时，直接套用公式 sin2α＋cos2α＝1 及 tan α＝ sin α cos α 即可，但 要注意 α 的范围，即三角函数值的符号． 考向 2 的分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式，往往转化为关于 tan α 的式子求解． 考向 3 是考查 sin α±cos α 与 sin αcos α 的关系．
对于sinaα+cosα，sinα-cosα，sinacosα这三个式子，利用(sina士cosα)=1±2sinacosa，可以知一求二(1)利用sin’a+cosa=1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象找sina限确定符号：利用=tanα可以实现角α的弦切互化：利用（sina士cosa)2=cosa共1+2sinacosa的关系可实现和积转化：性(2)注意方程思想与转化思想的应用[跟踪训练]（元1，则tan(1.已知 sin(元十a)=一一α)值为(3s2A. 2V2B.-2V2D. ±2V2C.42V2cosaI1G解析：选D因为sin(元+a)=5,所以sinα=5,cosa=,tanloC3sina±2V2.故选D.3则cosα—sinα的值为(2.已知sinacosa<as&21B. tA.21C.-D.243解析：选D因为sinacosa=所以(cosα-sina)2=cosa-2sinα.cosa+sin?a=1-831因为”2sinacosa=1-2x，所以cosa<sina,即cosα-sinα<o即cosa<a2.844-sin a=-I3.若3sina十cosa=0，则的值为cosa+2sinacoso1解析：：3sina+cosa=0=cosa0→tanα=3!+1 +tan’acos'a+ sin'a1(3)1031.2cos'a+2sin acos a cos'a+2sin acos a1+2tana3第20页共155页
第 20 页 共 155 页 对于 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 这三个式子，利用(sin α±cos α) 2＝ 1±2sin αcos α，可以知一求二 找 共 性 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角 α 所在象 限确定符号；利用sin α cos α ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化；利用(sin α±cos α) 2＝ 1±2sin αcos α 的关系可实现和积转化； (2)注意方程思想与转化思想的应用 [跟踪训练] 1．已知 sin(π＋α)＝－ 1 3 ，则 tan π 2 －α 值为( ) A．2 2 B．－2 2 C． 2 4 D．±2 2 解析：选 D 因为 sin(π＋α)＝－ 1 3 ，所以 sin α＝ 1 3 ，cos α＝± 2 2 3 ，tan π 2 －α ＝ cos α sin α ＝ ±2 2.故选 D. 2．已知 sin α cos α＝ 3 8 ，且π 4 ＜α＜ π 2 ，则 cos α－sin α 的值为( ) A． 1 2 B．± 1 2 C．－ 1 4 D．－ 1 2 解析：选 D 因为 sin αcos α＝ 3 8 ，所以(cos α－sin α) 2＝cos2α－2sin α cos α＋sin2α＝1－ 2sin α cos α＝1－2× 3 8 ＝ 1 4 ，因为π 4 ＜α＜ π 2 ，所以 cos α＜sin α，即 cos α－sin α＜0，即 cos α －sin α＝－ 1 2 . 3．若 3sin α＋cos α＝0，则 1 cos2α＋2sin αcos α 的值为 ． 解析：∵3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－ 1 3 ， ∴ 1 cos2α＋2sin αcos α ＝ cos2α＋sin2α cos2α＋2sin αcos α ＝ 1＋tan2α 1＋2tan α ＝ 1＋ － 1 3 2 1－ 2 3 ＝ 10 3