B+CAB. sinc0S22C. tan(A+B)=-tan (D. cos(A+B)=cosC解析：选ABC在^ABC中，有A+B+C=π，则sin(A+B)=sin(元-C)=sinC;sinB+C(四A)A) : cos(4+ B) = cos(π - C))=cos, ; tan(4+B)= tan(n - C)= - tan C(C+=sin2G'2)=- cosC.sin a+3cosa6.(多选)(2021·泰安模拟)已知5，下列计算结果正确的是(3cosa-sina1A. tan a:B. tana=2236C.cos'a+D. sin’a-cos2a=+sin2a55sin a+3cos a tan a+31解析：选BC=5，解得tana=2，..cosa+sin2a=cosa23cosa-sina3-tana1+2cos'a+ sin acos a1 +tan a3, sin'a - cos 2a= 2sin'a - cos'a =+ sin acos a =5.1+tana1+22sin'a+ cos'a2tan’α-1_7-5tan’a + 111元10元的值为7.计算：sinfcos63元（3元+解析：原式=sin(2元+cos613.1.1元=-sin"= -1.n-cos2 23答案：—1sin(π—0+cos(0—2元)18.若则tan0=2sin0+cos+)sin(元-①+cos(0-2元)sin0+cos01解析：因为2sin0+cos(元+0sin 0 - cos 0所以 2(sin 0+ cos 0) = sin 0 - cos ,所以sin0=-3cos0.所以tan0=-3.答案：—3第26页共155页
第 26 页 共 155 页 B．sin B＋C 2 ＝cos A 2 C．tan(A＋B)＝－tan C C≠ π 2 D．cos(A＋B)＝cos C 解析：选 ABC 在△ABC 中，有 A＋B＋C＝π，则 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；sin B＋C 2 ＝sin π 2 － A 2 ＝cos A 2 ；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C C≠ π 2 ；cos(A＋B)＝cos(π－C) ＝－cos C． 6．(多选)(2021·泰安模拟)已知sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5，下列计算结果正确的是( ) A．tan α＝ 1 2 B．tan α＝2 C．cos2α＋ 1 2 sin 2α＝ 3 5 D．sin2α－cos 2α＝ 6 5 解析：选 BC ∵ sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝ tan α＋3 3－tan α ＝5，解得 tan α＝2，∴cos2α＋ 1 2 sin 2α＝cos2α ＋sin αcos α＝ cos2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 1＋tan α 1＋tan2α ＝ 1＋2 1＋2 2 ＝ 3 5 ，sin2α－cos 2α＝2sin2α－cos2α＝ 2tan2α－1 tan2α＋1 ＝ 7 5 . 7．计算：sin 11π 6 ＋cos 10π 3 的值为 ． 解析：原式＝sin 2π－ π 6 ＋cos 3π＋ π 3 ＝－sin π 6 －cos π 3 ＝－ 1 2 － 1 2 ＝－1. 答案：－1 8．若sin(π－θ)＋cos(θ－2π) sin θ＋cos(π＋θ) ＝ 1 2 ，则 tan θ＝ . 解析：因为 sin(π－θ)＋cos(θ－2π) sin θ＋cos(π＋θ) ＝ sin θ＋cos θ sin θ－cos θ ＝ 1 2 ， 所以 2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以 sin θ＝－3cos θ，所以 tan θ＝－3. 答案：－3
9已知sinα是方程5x2一7x一6=0的根，α是第三象限角，则3元2tan(元—a)0-33故cosa解析：因为方程5x2-7x-6=0的根为x1=2，X2=由题意知sina=r5- cos a-sin a'tan'a439所以原式tan'a=,tana=:-5416'sin a'cos a9答案：16sinaos10.化简cosasin1+sina1+cosa(1 - sin a)2(1 - cos a)1-sina1- cos a解析：原式=cosa+sin+sinacosacos'asina.Icos al[sin al3因为元<a<n, 所以 cos a<0 , sin a<0.所以原式= - (1 - sin a) - (1 - cos a)= sin α+ cos α - 2.答案：sina+cosα—2求下列各式的值：11.已知sin(3元+α)=2sina-4cosa(1)ssin a+2cos a(2)sina+ sin 2a.解：由已知得sina=2cosa.2cosa-4cosa(1)原式：65x2cosa+2cosasina+ 2sin acos a(2)原式=sin'a+ cos'asin'a+ sin'a811sin'a+sin"a31已知12.<a<元，tana2tana2(1)求tanα的值；3元cos(元—a)cos(2)求的值.元sinl第27页共155页
第 27 页 共 155 页 9 ．已知 sin α 是方程 5x 2 － 7x － 6 ＝ 0 的根， α 是 第 三 象 限 角 ， 则 sin － α－ 3π 2 ·cos 3π 2 －α cos π 2 －α ·sin π 2 ＋α ·tan2 (π－α)＝ . 解析：因为方程 5x 2－7x－6＝0 的根为 x1＝2，x2＝－ 3 5 ，由题意知 sin α＝－ 3 5 ，故 cos α ＝－ 4 5 ，tan α＝ 3 4 ，所以原式＝ －cos α·sin α·tan2α sin α·cos α ＝－tan2α＝－ 9 16. 答案：－ 9 16 10．化简 cos α 1－sin α 1＋sin α ＋sin α 1－cos α 1＋cos α π <α< 3π 2 ＝ . 解析：原式＝cos α (1－sin α) 2 cos2α ＋sin α (1－cos α) 2 sin2α ＝cos α· 1－sin α |cos α| ＋sin α· 1－cos α |sin α| ， 因为 π<α< 3 2 π，所以 cos α<0，sin α<0.所以原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2. 答案：sin α＋cos α－2 11．已知 sin(3π＋α)＝2sin 3π 2 ＋α ，求下列各式的值： (1) sin α－4cos α 5sin α＋2cos α ； (2)sin2α＋sin 2α. 解：由已知得 sin α＝2cos α. (1)原式＝ 2cos α－4cos α 5×2cos α＋2cos α ＝－ 1 6 . (2)原式＝ sin2α＋2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ sin2α＋sin2α sin2α＋ 1 4 sin2α ＝ 8 5 . 12．已知π 2 ＜α＜π，tan α－ 1 tan α ＝－ 3 2 . (1)求 tan α 的值； (2)求 cos 3π 2 ＋α －cos(π－α) sin π 2 －α 的值．
31解：(1)令tana=x,则x-整理得2x2+3x-2=0，解得x=或x=-22x因为<α<元,所以tanα<0，故tana=-23元+a)- cos(n - a)0S(2)1元sinsin a+ cos a=tana+1=-2+1=-1.cosaB级-一综合应用13.（2021·山东肥械级考）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和V5-1~0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°正十边形的作图，发现黄金分割比例为2myn若m2+n=4，则02cos227°-1A. 4B. 3C. 2D. 1解析：选Cm=2sin18°，且m+n=4，..n=4-m2=4-4sin218°=4(1-sin218)=4cos18°mn2sin184cos?18°4sin18°cos18°=2.故选C.cOs54°sin 36°2cos*27°-1,1-tana114.已知sina十cosa=aE(0, 元),则)21+tanaA. -V7B. V7c. V3D. -V31解析：选A因为sina+cosa:n1所以(sina+cosa)=1+2sinacosa=43所以sinacosa=，又因为αE(0，元），81所以sina>0，cosa<0，所以cosa-sina<037因为(cosa-sina)=1-2sinacosα=1-2×8第28页共155页
第 28 页 共 155 页 解：(1)令 tan α＝x，则 x－ 1 x ＝－ 3 2 ，整理得 2x 2＋3x－2＝0，解得 x＝ 1 2 或 x＝－2， 因为π 2 ＜α＜π， 所以 tan α＜0，故 tan α＝－2. (2) cos 3π 2 ＋α －cos(π－α) sin π 2 －α ＝ sin α＋cos α cos α ＝tan α＋1＝－2＋1＝－1. B 级——综合应用 13．(2021·山东肥城级考)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和 正十边形的作图，发现黄金分割比例为 5－1 2 ≈0.618，这一数值也可以表示为 m＝2sin 18°. 若 m2＋n＝4，则 m n 2cos227°－1 ＝( ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选 C ∵m＝2sin 18°，且 m2＋n＝4， ∴n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， ∴ m n 2cos227°－1 ＝ 2sin 18° 4cos218° cos 54° ＝ 4sin 18°cos 18° sin 36° ＝2.故选 C． 14．已知 sin α＋cos α＝ 1 2 ，α∈(0，π)，则1－tan α 1＋tan α ＝( ) A．－ 7 B． 7 C． 3 D．－ 3 解析：选 A 因为 sin α＋cos α＝ 1 2 ， 所以(sin α＋cos α) 2＝1＋2sin αcos α＝ 1 4 ， 所以 sin αcos α＝－ 3 8 ，又因为 α∈(0，π)， 所以 sin α>0，cos α<0，所以 cos α－sin α<0， 因为(cos α－sin α) 2＝1－2sin αcos α＝1－2× － 3 8 ＝ 7 4
V7所以cosa-sina=2业sin a1:1 - tan asinacosa-2cosa= - V7.所以1sin a1+tanacos a+sin a1+2cosa（四15.是否存在αE(-2, 2), βE(0, n), 使等式 sin(3 -a)=V2cos(3cos(-a2=一Vzcos(元十β同时成立？若存在，求出a，β的值；若不存在，请说明理由，解：假设存在角α，β满足条件.由已知条件可得sin a= 2sin β,@V3cosa=?V2cosβ,由@+，得 sin°a+3cos'a=2..sin'a=12+.sin a=±2元元,α=+”ae当α=附，由①式知 cosβ=号,2又:βE(0,π)，β=",此时①式成立;6当α=-“"时，由②式知 cosβ=-AH2又β(0，π)，β="，此时①式不成立，故舍去。元4.B=.存在α=满足条件。6C级——迁移创新16.已知a，βE(0,2元)且a<β，若关于x的方程(x+sinα)(x+sinβ)+1=0有实数根，3sin(+a)+cos(-)A一的值求代数式3元2—sin(元—0)cosBA解：整理方程(x+sina)(x+sinβ)+1=0得x+x(sina+sinβ)+sinasinβ+1=0由题意得4=（sina+sin)2-4sinasinβ-4≥0，即(sina-sinβ)2≥4.因为-1≤sina≤1，-1≤sin≤1,所以sina-sinβE[-2,2]，从而(sina-sin)?≤4.第29页共155页
第 29 页 共 155 页 所以 cos α－sin α＝－ 7 2 ， 所以 1－tan α 1＋tan α ＝ 1－ sin α cos α 1＋ sin α cos α ＝ cos α－sin α cos α＋sin α ＝ － 7 2 1 2 ＝－ 7. 15．是否存在 α∈ － π 2 ， π 2 ，β∈(0，π)，使等式 sin(3π－α)＝ 2cos π 2 －β ， 3cos(－α) ＝－ 2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出 α，β 的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在角 α，β 满足条件．由已知条件可得 sin α＝ 2sin β， ① 3cos α＝ 2cos β， ② 由①2＋②2，得 sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝ 1 2 ， ∴sin α＝± 2 2 . ∵α∈ － π 2 ， π 2 ，∴α＝± π 4 . 当 α＝ π 4 时，由②式知 cos β＝ 3 2 ， 又∵β∈(0，π)，∴β＝ π 6 ，此时①式成立； 当 α＝－ π 4 时，由②式知 cos β＝ 3 2 ， 又∵β∈(0，π)，∴β＝ π 6 ，此时①式不成立，故舍去． ∴存在 α＝ π 4 ，β＝ π 6 满足条件． C 级——迁移创新 16．已知 α，β∈(0,2π)且 α＜β，若关于 x 的方程(x＋sin α)·(x＋sin β)＋1＝0 有实数根， 求代数式 3sin π 2 ＋α ＋cos 3π 2 －β 2－sin(π－α)cos 3π 2 ＋β 的值． 解：整理方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0 得 x 2＋x(sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0. 由题意得 Δ＝(sin α＋sin β) 2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β) 2≥4.① 因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以 sin α－sin β∈[－2,2]，从而(sin α－sin β) 2≤4
?sin a=1,sina=或由得sina-sinβ=±2，所以[sinβ= - sin β= 1.[sina=1,2.B=3元即因为α,βE(0,2元)且 α<β,所以α=因此2sin β= - 1.(-β+a)+cos3sin(-3cos a - sinβ_1__12 - sin asin β 2+13(3元+β2 - sin(n - 0)cod第三节三角函数的图象与性质[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图1.三角函数的定义域。象，了解三角函数的周期性。2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在1.直观想象2.求三角函数的值域（最值))上的性质(如[0,2]上，正切函数在(2.逻辑推理.3.三角函数的单调性，3.数学运算4.三角函数的周期性、奇偶单调性、最大和最小值、图象与x轴交点性、对称性等)知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图“五点法”作图原理：在正弦函数y=sinx，xE[0,2元]的图象上，五个关键点是：(0,0)，(,),(, 0),(, -1), (2, 0);在余弦函数y=cosx，xE[0,2m)的图象上，五个关键点是：(0,1)，0), (元, -1),C, 0), (2, 1.第30页共155页
第 30 页 共 155 页 ② 由①②得 sin α－sin β＝±2，所以 sin α＝1， sin β＝－1 或 sin α＝－1， sin β＝1. 因 为 α ， β ∈ (0,2π) 且 α ＜ β ， 所 以 α ＝ π 2 ， β ＝ 3π 2 ， 即 sin α＝1， sin β＝－1. 因 此 3sin π 2 ＋α ＋cos 3π 2 －β 2－sin(π－α)cos 3π 2 ＋β ＝ 3cos α－sin β 2－sin αsin β ＝ 1 2＋1 ＝ 1 3 . 第三节 三角函数的图象与性质 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图 象，了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0,2π]上，正切函数在 － π 2 ， π 2 上的性质(如 单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点 等) 1.三角函数的定义域． 2.求三角函数的值域(最值)． 3.三角函数的单调性． 4.三角函数的周期性、奇偶 性、对称性 1.直观想象． 2.逻辑推理． 3.数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 “五点法”作图原理：在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)， π 2 ，1 ，(π，0)， 3π 2 ，－1 ，(2π，0)； 在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)， π 2 ，0 ，(π，－1)， 3π 2 ，0 ，(2π，1)．