β=2k-180°,kEZ5.（多选)(2021·济宁棋拟)关于角度，下列说法正确的是(A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D。若α 是第三象限角，则=是第二或第四象限角1解析：选BD对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是-60°，故错误；对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；对于D，：角α的终边在第三象限，3元+,kez,.2k元 +π<a<2k+3元ck+"<a<元++f.kez.22元a3元当k=2n，nEZ时，2元++专<2m++4,nez.二象限角；<(2n+ 1)元+3元当k=2n+1,nEZ时,(2n+1)+号<号，nEz，得，是第四象限角，故224正确sinxcOsXtanxKT6. (多选)(2021·泰安模拟)已知xE，kEz则函数y2[sin xcos.xtanx的值可能为(A. 3B. -3C. 1D. -1,kEz解析：选BC xEx2sinxcosxtanx当x在第一象限时：y=1+1-1=1;[sin x]cosxtan x]sin xtanxcos.x当x在第二象限时：y=:1-1+1=1;[sin xJcos xItan x]sin xcosxtanx当x在第三象限时：y=1-1-1= -3Jsin x|[tan x]Icos x]sinxcosxtanx当x在第四象限时：y-1+1+1=1.故选B、C.[sin x cosx]tanx7.若a=1560，角0与α终边相同，且-360<0<360，则0=第11页共155页
第 11 页 共 155 页 β＝2k·180°，k∈Z. 5．(多选)(2021·济宁模拟)关于角度，下列说法正确的是( ) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若 α 是第三象限角，则α 2 是第二或第四象限角 解析：选 BD 对于 A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于 B，钝角一定大于锐角，显然正确； 对于 C，若三角形的内角为 90°，则是终边在 y 轴正半轴上的角，故错误； 对于 D，∵角 α 的终边在第三象限， ∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋ 3π 2 ，k∈Z， ∴kπ＋ π 2 ＜ α 2 ＜kπ＋ 3π 4 ，k∈Z. 当 k＝2n，n∈Z 时，2nπ＋ π 2 ＜ α 2 ＜2nπ＋ 3π 4 ，n∈Z，得α 2 是第二象限角； 当 k＝2n＋1，n∈Z 时，(2n＋1)π＋ π 2 ＜ α 2 ＜(2n＋1)π＋ 3π 4 ，n∈Z，得α 2 是第四象限角，故 正确． 6．(多选)(2021·泰安模拟)已知 x∈ x x≠ kπ 2 ，k∈Z ，则函数 y＝ sin x |sin x| ＋ cos x |cos x| － tan x |tan x| 的值可能为( ) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析：选 BC x∈ x x≠ kπ 2 ，k∈Z ， 当 x 在第一象限时：y＝ sin x |sin x| ＋ cos x |cos x| － tan x |tan x| ＝1＋1－1＝1； 当 x 在第二象限时：y＝ sin x |sin x| ＋ cos x |cos x| － tan x |tan x| ＝1－1＋1＝1； 当 x 在第三象限时：y＝ sin x |sin x| ＋ cos x |cos x| － tan x |tan x| ＝－1－1－1＝－3 当 x 在第四象限时：y＝ sin x |sin x| ＋ cos x |cos x| － tan x |tan x| ＝－1＋1＋1＝1，故选 B、C． 7．若 α＝1 560°，角 θ 与 α 终边相同，且－360°＜θ＜360°，则 θ＝
解析：因为α=1560°=4×360°+120°，所以与α终边相同的角为360°×k+120°，kEZ令k=-1或k=0，可得0=-240°或0=120°答案：120°或—240°8.已知扇形的圆心角为”，面积为”，则扇形的孤长等于元Jtr=，角解得解析：设扇形半径为r，弧长为1，则r=23P6:答案："3sin Jcos tan )9.已知扇形的圆心角为0，其弧长是半径的2倍，则Jsin0cosotane解析：由题意，得0=2.而<2<元，..0是第二象限角，..sin0>0，cos0<0，tan0<sin 0Jcos0Jtan0-1-1= -1.sin 0cos 0tang答案：-110.（2021·天津棋拟)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆0于点P(a，b)，且a+b=，则ab=解析：由题知sinα=b，cosa=a.:a+b=两边平方可得sina+..sin a+cos α=549492412cosa+2sin acos a:..1+2sin acos a:..2sinacos a.sinacosa=ab:25*252525'24= - sin2a= -2sinacosα=cosl2a+252112_24答案：252511且ig(cosa)有意义。11.已知sinalsina(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点Mm），且OM=1(0为坐标原点)，求m及sinα的值11解：(1)由，得sina<0，[sin alsina由Ig(cosa)有意义，可知cosa>0，所以α是第四象限角第12页共155页
第 12 页 共 155 页 解析：因为 α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与 α 终边相同的角为 360°×k＋120°，k∈Z， 令 k＝－1 或 k＝0，可得 θ＝－240°或 θ＝120°. 答案：120°或－240° 8．已知扇形的圆心角为π 6 ，面积为π 3 ，则扇形的弧长等于 ． 解析：设扇形半径为 r，弧长为 l，则 l r ＝ π 6 ， 1 2 lr＝ π 3 ， 解得 l＝ π 3 ， r＝2. 答案：π 3 9．已知扇形的圆心角为 θ，其弧长是半径的 2 倍，则 sin θ |sin θ| ＋ |cos θ| cos θ ＋ |tan θ| tan θ ＝ . 解析：由题意，得 θ＝2.而 π 2 ＜2＜π，∴θ 是第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜ 0，∴ sin θ |sin θ| ＋ |cos θ| cos θ ＋ |tan θ| tan θ ＝1－1－1＝－1. 答案：－1 10．(2021·天津模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴 的非负半轴重合，终边交单位圆 O 于点 P(a，b)，且 a＋b＝ 7 5 ，则 ab＝ ，cos 2α＋ π 2 ＝ . 解析：由题知 sin α＝b，cos α＝a.∵a＋b＝ 7 5 ，∴sin α＋cos α＝ 7 5 .两边平方可得 sin2α＋ cos2α＋2sin αcos α＝ 49 25，∴1＋2sin αcos α＝ 49 25，∴2sin αcos α＝ 24 25.∴sin αcos α＝ab＝ 12 25，∴ cos 2α＋ π 2 ＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－ 24 25. 答案：12 25 － 24 25 11．已知 1 |sin α| ＝－ 1 sin α ，且 lg(cos α)有意义． (1)试判断角 α 所在的象限； (2)若角 α 的终边上一点 M 3 5 ，m ，且 OM＝1(O 为坐标原点)，求 m 及 sin α 的值． 解：(1)由 1 |sin α| ＝－ 1 sin α ，得 sin α<0， 由 lg(cos α)有意义，可知 cos α>0，所以 α 是第四象限角．
2=1，解得m=(2)因为OM=1，所U又α为第四象限角，故m<0，4ym4从而m=5,sinα=F"OM=-312.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.4(1)若点 B 的横坐标为一求tana的值；5(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合，解：(1)设点B的纵坐标为m，则由题意m+=1且m>0,所以m=2,3+,故B(531153根据三角函数的定义得tana：43(2)若AAOB为等边三角形，则ZAOB=，故与角α终边相同的角β的集合为3.[p|β="+2kn,kez?B级——综合应用13.（多选）(2021潮材质检）在平面直角坐标系x0v中，角α以0x为始边，终边经过点P(一1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(A. sina+cosaB. sina-cosasin aD.C. sin acos atana解析：选CD由已知得r=|OP|=m+1，则sinα=>0.cosVm+1sin a<0，tana=-m<0，..sina+cosa的符号不确定，sina-cosa>0，sinacosa<0COStanaα<0.故选C、D.第13页共155页
第 13 页 共 155 页 (2)因为 OM＝1，所以 3 5 2＋m2＝1，解得 m＝± 4 5 . 又 α 为第四象限角，故 m<0， 从而 m＝－ 4 5 ，sin α＝ y r ＝ m OM＝－ 4 5 . 12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的始边与 x 轴的非负半轴 重合且与单位圆相交于点 A，它的终边与单位圆相交于 x 轴上方一点 B， 始边不动，终边在运动． (1)若点 B 的横坐标为－4 5 ，求 tan α 的值； (2)若△AOB 为等边三角形，写出与角 α 终边相同的角 β 的集合． 解：(1)设点 B 的纵坐标为 m，则由题意 m2＋ － 4 5 2＝1， 且 m>0，所以 m＝ 3 5 ，故 B － 4 5 ， 3 5 ， 根据三角函数的定义得 tan α＝ 3 5 － 4 5 ＝－ 3 4 . (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝ π 3 ，故与角 α 终边相同的角 β 的集合为 β β＝ π 3 ＋2kπ，k∈Z . B 级——综合应用 13．(多选)(2021·潍坊质检)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 以 Ox 为始边，终边经过点 P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是( ) A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D． sin α tan α 解析：选 CD 由已知得 r＝|OP|＝ m2＋1，则 sin α＝ m m2＋1 >0，cos α＝－ 1 m2＋1 <0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α 的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0， sin α tan α ＝cos α<0.故选 C、D
14.《九章算术》是我国古代数学的代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积一（弦×矢十矢），弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长2元，半径长为4的弧田，如图，按照上述公式计算出与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为3弧田的面积为(()B. 4V3A. 4V3+2C. 6D. 6V3+2_2元元解析：选A由题意可得LAOB=，OA=4.在RtAAOD中，易得LAOD=3.ZDA03.V3元=4X=2V3，可得弦=2AD.OD=F0A=X4=2，可得矢=4-2=2.由AD=AOsin22632×(4/3×2+2)=4V3+2.=4V3.所以弧田面积=（弦×矢+）=）15.若角0的终边过点P(一4a,3a)(a≠0)(1)求sin0+cos0的值；(2)试判断cos(sinの)-sin(cos)的符号.解：（1)因为角0的终边过点P(-4a,3a)(a≠0）所以x=-4a，y=3a，r=5al,当a>0时,r=5a,sin0+cos 0=2-1=-155=5当a<0时,r=-5a,sino+cos 0=-2+1-155"5(2)当a>0 时,sin 0=2e=(0. )5c00 -(- ).c((ce(-1.0), cos 0=-e(0.2)当a<0时，sin0=-则 cos(in )si(cos 0 = co()sin >0.综上，当a>0时，cos(sinの)sin(cos)的符号为负当a<0时，cos(sin)·sin(cos)的符号为正，第14页共155页
第 14 页 共 155 页 14.《九章算术》是我国古代数学的代表作，其中《方田》章给出计 算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1 2 (弦×矢＋矢 2 )，弧田由圆 弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长 与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π 3 ，半径长为 4 的弧田，如图，按照上述公式计算出 弧田的面积为( ) A．4 3＋2 B．4 3 C．6 D．6 3＋2 解析：选 A 由题意可得∠AOB＝ 2π 3 ，OA＝4.在 Rt△AOD 中，易得∠AOD＝ π 3 ，∠DAO ＝ π 6 ，OD＝ 1 2 OA＝ 1 2 ×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由 AD＝AOsin π 3 ＝4× 3 2 ＝2 3，可得弦＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝1 2 (弦×矢＋矢 2 )＝ 1 2 ×(4 3×2＋2 2 )＝4 3＋2. 15．若角 θ 的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)． (1)求 sin θ＋cos θ 的值； (2)试判断 cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角 θ 的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)， 所以 x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 当 a＞0 时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝ 3 5 － 4 5 ＝－ 1 5 . 当 a＜0 时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－ 3 5 ＋ 4 5 ＝ 1 5 . (2)当 a＞0 时，sin θ＝ 3 5 ∈ 0， π 2 ， cos θ＝－ 4 5 ∈ － π 2 ，0 ， 则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 3 5 ·sin － 4 5 ＜0； 当 a＜0 时，sin θ＝－ 3 5 ∈ － π 2 ，0 ，cos θ＝ 4 5 ∈ 0， π 2 ， 则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos － 3 5 ·sin 4 5 ＞0. 综上，当 a＞0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当 a＜0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
C级——迁移创新16.在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料0AB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，试说明哪种方案最优。D方案方案二2解：因为^A0B是顶角为120°即为腰长为2的等腰三角形，二元、所以A=B="-", AM= BN=1, 4D=2, 2元2元所以方案一中扇形的弧长=2×"="；《"=;方案二中扇形的弧长=1x3312元元元元方案一中扇形的面积=X2×2Xד-"，方案二中扇形的面积=X1X1X33'2由此可见：两种方案中利用废料割成的扇形面积相等，方案一中切割时间短.因此方案一最优第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式[备考领航]核心素养课程标准解读关联考点1.理解同角三角函数的基本关系式：sinx十1.同角三角函数基本关系式sinx的应用.cos'x=1,=tanx.1.数学运算.cosx2.诱导公式的应用2.借助单位圆及三角函数的定义推导出诱2.逻辑推理3.诱导公式与同角关系的导公式±α，元士α的正弦、余弦、正切综合应用知识逐点夯实重点准遂点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一同角三角函数的基本关系1.平方关系：sina十cosa=1sin a.2.商数关系：tana=cosa(kEZ)【提醒]】平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k元+快第15页共155页
第 15 页 共 155 页 C 级——迁移创新 16．在一块顶角为 120°、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中用电焊切割成扇 形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，试说明哪种方案最优． 解：因为△AOB 是顶角为 120°即为2 3 π、腰长为 2 的等腰三角形， 所以 A＝B＝ π 6 ，AM＝BN＝1，AD＝2， 所以方案一中扇形的弧长＝2× π 6 ＝ π 3 ；方案二中扇形的弧长＝1× 2π 3 ＝ 2π 3 ； 方案一中扇形的面积＝1 2 ×2×2× π 6 ＝ π 3 ，方案二中扇形的面积＝1 2 ×1×1× 2π 3 ＝ π 3 . 由此可见：两种方案中利用废料割成的扇形面积相等，方案一中切割时间短．因此方案 一最优． 第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋ cos2x＝1， sin x cos x ＝tan x. 2．借助单位圆及三角函数的定义推导出诱 导公式 π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切 1.同角三角函数基本关系式 的应用． 2．诱导公式的应用． 3．诱导公式与同角关系的 综合应用 1.数学运算． 2．逻辑推理 [重点准·逐点清] 重点一 同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 2．商数关系：tan α＝ sin α cos α . [提醒] 平方关系对任意角都成立，而商数关系中 α≠kπ＋ π 2 (k∈Z)．