§1.2多项式的整除性 定义21设f(x),g(x)∈x若有h(x)∈92[x]使得 f(x)=g(x)h(x)则称g(x)整除f(x),也称g(x)是f(x)的 一个因式,f(x)是g(x一个倍式,记为g(x)f(x)(否则, 平记为g()+()进一步,若还有0cg(eg(x 则称g(x)是f(x)的一个真因式(其它因式称为平凡因式) 例如,x2-1=(x+1)x-1)=2(x2-),所以,x+12x-1 均为x2-1的真因式而2和x2-都是x2-1的平凡因式 上页下 圆回
§1.2 多项式的整除性 2.1 ( ), ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ()() ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 0 d e g ( ) d e g ( ) ( ) ( ) f x g x x h x x f x g x h x g x f x g x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x Ω Ω = < < 定义 设 ,若有 使得 ,则称 整 除 也 称 是 的 一个因式, 是 的一个倍式,记为 (否则, 记为 ;进一步,若还有 , 则称 是 的一个真因式(其它因式称为平凡因式). ∈ ∈ ? 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 , 1 ( 1)( 1 ) 2 ( ), , 1, 1 1 , 1 x x x x x x x x x − = + − = − + − − − − 例如 所 以 均为 的真因式 而2和 都 是 的平凡因式
命题2.1设f,g,h∈Ω2[x] 1若f|g,gh,则f|h; 2若fg,f|h,则f(g±h) 3若f|g,则fg h 4.若f|g,g|f,则f=cg,其中c为9中的非零常数 证明只证明(4)设/8,gf,则有,v∈92x使得g=4f, f=g,从而f=(uv)f,进而degf=deg(n)+degf,因此 deg(v)=0.于是,degu+degv=0,故degu=degv=0,因 此u是一个非零常数 上页下 圆回
2.1 , , [ ] 1. | , | , | ; 2. | , | , | ( ); 3. | , | . | , | , , f g h x f g g h f h f g f h f g h f g f gh f g g f f cg Ω ± = Ω 命 题 设 若 则 若 则 若 则 4.若 则 其中c为 中的非零常数. ∈ (4). | , | , , [ ] , , ( ) , deg deg( ) deg , deg( ) 0. deg deg 0, deg deg 0, f g g f u v x g uf f vg f uv f f uv f uv u v u v Ω = = = = + = + = = = 证明 只证明 设 则有 使得 从而 进而 因此 于是, 故 因 此u是一个非零常数. ∈
带余除法 对于任意多项式(x)和非零多项式g(x)有唯一的 一对多项式q(x)和r(x),使得 ∫(x)=q(x)g(x)+r(x),且r(x)=0或degr(x)<degg(x) 国园國[回
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ). f x g x q x r x f x = + q x g x r x r x = r x < g x 带余除法 对于任意多项式 和非零多项式 有唯一的 一对多项式 和 使得 且 或
证明先证存在性设 f=ax"+低次项 g=bx+低次项b≠0 若=0或degf<n则取q=0r=/即可若/不等于0且次数≥n 则用g去消f的首项,可得“商”q1=号xm及“余”f=f-qg 从而 f=qi8+fr, 若=0或degf≤n则取q=q1,r=即可若/不等于0,且其次数≥n 则再用g去消的首项,并设所得的“商”和“余”分别为22则有 f=q18+f2 如此继续下去注意到的次数逐渐降低,即 deg f>deg f >degf 上页下 圆回
1 1 1 . , , 0 0 deg , 0, . 0, , , m n a m n b f ax g bx b f f n q r f f n g f q x f f q g − = + = + ≠ = < = = ≥ = = − 证明 先证存在性设 低次项 低次项 若 或 则取 即可若 不等于 且次数 则用 去消 的首项,可得“商” 及“余” 从而 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 , 0 deg , , . 0, , , , . f q g f f f n q q r f f n g f q f f q g f = + = ≤ = = ≥ = + 若 或 则取 即可若 不等于 且其次数 则再用 去消 的首项,并设所得的“商”和“余”分别为 则有 如此继续下去注意到的次数逐渐降低,即 1 2 deg f f > > deg deg f >
所以上述过程不可能无限地进行下去,即有自然数k,使得 f=1=qA=18+f 且=0或degf<n.注意到 f=(q1+q2+…+q)g+fk 因此,取q=q1+q2+…+q及r=f即可 下面证明唯一性偎设还有p.s∈x使得=pg+s,且s=0 或degs<n,则有(q-p)g=r-若r≠s,则q-p≠0,从而 deg(r-s)=deg(g-p)+degg2n 矛盾于是必有r=,从而q=p 上页
1 1 1 2 1 2 , , 0 deg ( ) . k k k k k k k k k k f q g f f f n f q q q g f q q q q r f − − = + = < = + + + + = + + + = " " 所以上述过程不可能无限地进行下去,即有自然数 使得 且 或 .注意到 因此,取 及 即可. , [ ] , 0 deg , ( ) . , 0, deg( ) deg( ) deg , , . p s x f pg s s s n q p g r s r s q p r s q p g n r s q p ∈Ω = + = < − = − ≠ − ≠ − = − + ≥ = = 下面证明唯一性 假设还有 使得 且 或 则有 若 则 从而 矛盾.于是必有 从而