z05anb 1 有:+C+C=2(D=2 L, \ r L2:z=x2(注意不能写成z=x),d=c2dx 对多值函数,z=xcl2x与z=x意义是不同的 ra-l dx Cr:因lim-f(-)=lim 0、小圆弧引理 f(-)d==0 综上 smna丌 目例题:计算积分 √ x Inx dx (涉及多值函数奇点辐角取值范围) x3+1 C1ear["G1。aba1★ f[x_] 4x/2 Hypergeometr 枝点二=0和二=∞,割线如图红线,上岸θ=arg
有：L1 +CR +L2 +Cr = 2 π Res f (-1) = 2 π (α-1) L1：L1 f (z) z = I, CR：因 lim z∞z f (z) = 0 大圆弧引理 CR f (z) z = 0 L2：z = x 2 π （注意不能写成 z = x）, z = 2 π x 对多值函数 ，z = x 2 π 与 z = x 意义是不同的 L2 f (z) z = ∞ 0 x 2 π (α-1) x x 2 π + 1 = - 2 (α-1) π 0 ∞ xα-1 x x + 1 = - 2 α π I x y CR -R L1 R L2 Cr Cr：因 lim z0 z f (z) = lim z0 zα 1 + z = 0 小圆弧引理 Cr f (z) z = 0 综上：1 - 2 α π I = 2 π (α-1) , ⟹ I = π sin α π ☺ 例题：计算积分 I = 0 ∞ x ln x x x3 + 1 , （涉及多值函数奇点辐角取值范围 ） Clear["Gloabal`*"] f[x_] := x Log[x] 1 + x3 ; t = Integrate[f[x], x] Limit[t, x 0] Limit[t, x ∞] Integrate[f[x], {x, 0, ∞}] 1 9 -4 x3/2 HypergeometricPFQ 1 2 , 1 2 , 1, 3 2 , 3 2 , -x3 + 6 ArcTan[x3/2] Log[x] 0 0 0 解：f (z) = z ln z z3 + 1 , 枝点 z = 0 和 z = ∞，割线如图红线 ，上岸 θ = arg z = 0 z05a.nb 11
12 z05a nb 积分回路如图,回路内有单极点=c(2k-1)nB,k=1,2,3 既然涉及无穷阶枝点,为何奇点只取到k=3? L+++ 2ri>Res( =类似可求得 5丌 Resf(-2)=-,Resf(=3)= L =x,「f(c)d==l x eis(lnx +i2r)dx L2: ==xel2a f(=)d =+2丌i x3+1 由大圆弧、小圆弧引理:f(-)d=0,|f(-)dz=0 综上:2+2丌i 比较方程两边虚实部 =0,且 目例题:计算积分 Vx Inxdx (涉及多值函数的导数) Clear ["Gloabal*"] √x f t= Integrate [f[x], x] Limit[t,x→0] Limit[t,x→∞] Integrate [f[x],[x,0,oo]] 4×2(4+x)1yr9m1(2,21(2,2 9(Vx+(1+x)ArcTan(vx)Log(x
积分回路如图 ，回路内有单极点 zk = (2 k-1) π/3, k = 1, 2, 3 既然涉及无穷阶枝点 ，为何奇点只取到 k = 3？ （答：因为积分回路在 0 ≤ arg z < 2 π 区间） L1 +CR +L2 +Cr = 2 π k=1 3 Res f (zk) Res f (z1) = lim zz1 z ln z z3 + 1 ′ = π/6 π 3 3 π/3 2 = π 9 , 类似可求得 Res f (z2) = 5 π 9 , Res f (z3) = - π 3 , x y CR -R L1 R L2 Cr L1：z = x, L1 f (z) z = I, L2：z = x 2 π, L2 f (z) z = ∞ 0 x π(ln x + 2 π) x x3 + 1 = I + 2 π 0 ∞ x x x3 + 1 由 大圆弧、小圆弧引理 ：CR f (z) z = 0， Cr f (z) z = 0 综上：2 I + 2 π 0 ∞ x x x3 + 1 = 2 π π 3 , 比较方程两边虚实部 I = 0, 且：0 ∞ x x x3 + 1 = π 3 ☺ 例题：计算积分 I = 0 ∞ x ln x x (x + 1)2 , （ 涉及多值函数的导数 ） Clear["Gloabal`*"] f[x_] := x Log[x] (1 + x)2 ; t = Integrate[f[x], x] Limit[t, x 0] Limit[t, x ∞] Integrate[f[x], {x, 0, ∞}] 1 9 (1 + x) -4 x3/2 (1 + x) HypergeometricPFQ 3 2 , 3 2 , 2, 5 2 , 5 2 , -x + 9 - x + (1 + x) ArcTan x Log[x] 0 π π 12 z05a.nb
z05anb13 枝点=0和二=∞,割线如图红线,上岸6=arg + 积分回路如图,回路内有一个二阶极点z=-1=cr C.+ 2Ti Res f(l) In-+2 Res f(1)= lim In L, \ r i,其中z=-1= L1:=x,f()d== Inx dx=I x elx(n x+i2 r)dx f(-)d== =+2丌i 由大圆弧、小圆弧引理:f(=)d=0,|fc)d==0 综上:2I+2ni →I=丌,且 目例题:计算积分 不失一般性,设:a>0 呵呵,终于找到一个连备 Mathematica(至少102版)也做不出的积分啦,正如李世石的第四局 Clear ["Gloabal*"] f Integrate [f[x], x, Assumptions N[a>0]] Integrate[￡[x],{x,0,∞}, Assumptions{a>}] Integrate x, Assumptions沙{a>0 (a2+x2)(n2+Log【x]2) Integrate ,(x, 0, o ), Assumptions a>0F Integrate[f[x]/.a→1,【x,0,∞}] 解: f(x)= 构造复变函数:g(=) (x2+a2)(m2x+) (2+a2)n=
解：f (z) = z ln z (z + 1)2 , 枝点 z = 0 和 z = ∞，割线如图红线 ，上岸 θ = arg z = 0 积分回路如图 ，回路内有一个二阶极点 z = -1 = π L1 +CR +L2 +Cr = 2 π Res f (-1) Res f (-1) = lim z-1 z ln z ′ = lim z-1 ln z + 2 2 z = π + 2 2 = π 2 - , 其中 z = -1 = π L1：z = x, L1 f (z) z = 0 ∞ x ln x (x + 1)2 x = I x y CR -R L1 R L2 Cr -1 L2：z = x 2 π, L2 f (z) z = ∞ 0 x π(ln x + 2 π) x (x + 1)2 = I + 2 π 0 ∞ x x (x + 1) 2 由 大圆弧、小圆弧引理 ：CR f (z) z = 0， Cr f (z) z = 0 综上：2 I + 2 π 0 ∞ x x (x + 1) 2 = 2 π π 2 - , ⟹ I = π, 且：0 ∞ x x (x + 1)2 = π 2 ☺ 例题：计算积分 I = 0 ∞ x x2 + a2 ln2 x + π2 , 不失一般性 ，设：a > 0 呵呵，终于找到一个连 Mathematica 至少 10.2 版 也做不出的积分啦 ，正如李世石的第四局 。 Clear["Gloabal`*"] f[x_] := 1 (a2 + x2) Log[x]2 + π2 ; Integrate[f[x], x, Assumptions {a > 0}] Integrate[f[x], {x, 0, ∞}, Assumptions {a > 0}] Integrate 1 (a2 + x2) π2 + Log[x]2 , x, Assumptions {a > 0} Integrate 1 (a2 + x2) π2 + Log[x]2 , {x, 0, ∞}, Assumptions {a > 0} Integrate[f[x] /. a 1, {x, 0, ∞}] 0 ∞ 1 (1 + x2) π2 + Log[x]2 x 解：f (x) = 1 x2 + a2 ln2 x + π2 , 构造复变函数 ： g(z) = 1 z2 + a2 ln z , z05a.nb 13