6z05a.nb 从前题知:二=±1是()=V=2-1的枝点,可以有两种不同的割线 左图的割线必导致v(-2)=-1(2),显然不能退化为个g(x),下证之 设在=2时, argc+1)=2,w(2)=V|2-1 的+t2 沿左图白色路径到达z=-2 在二=-2时,arg(-1)=61=61+r,arg(+1)=B1=62+丌, 6+2=√3e+++=-V3e"(b+hM2=-(2) 因此,取左图割线无法使得当二在实轴上时,f(=)退化为g(x),无论在哪一个单值分支 只能取如右图之割线。在右割线的上岸,定义arg(-1)=61=0,arg(+1)=B2=0 对实轴上x≥21,取右割线上岸的函数值,v()=√P2-1e+2=V2-1 对实轴上x≤-1,取左割线下岸的函数值,=61+兀,B1=62-x B+g=01+2=0.仍有:m(=√四-1cP=√x-1 对实轴上川<1,有:=61+丌,=B2 +的=6+x+B=,故:me)=v2- =√1-x2ca2=i 目例题:已知函数w=f()=y2-1在实轴上退化为:w(x)= x2,x<1 求:w(2)、w(2+i)和w(2-) 上岸 解:取如上图蓝色之割线。定义:61≡arg(z-1),B2≡arg(+1) 在右上岸,取的1=6=0,在实轴上即可退化为所要求的函数(见上一题)。 因为三要素(枝点、割线、上岸辐角值)均已定,故w=√2-1实际上已经是单值函数 当然,枝点〓=±1是函数的奇点,除枝点与无穷远点〓=∞外,函数在复平面内解析。 导法则同实变函数 (-)=f( v'()= 在实轴z=2,必须取右割线上岸的点,才能满足题意 故:在二=2,B1=0,62=0 '(2)= 与实函数比较:w/(x)
从前题知：z = ±1 是 f (z) = z2 - 1 的枝点，可以有两种不同的割线 左图的割线必导致 w(-2) = -w(2)，显然不能退化为 个 g(x)，下证之。 设在 z = 2 时，arg(z - 1) = θ1, arg(z + 1) = θ2, w(2) = 22 - 1 (θ1+θ2)/2 = 3 (θ1+θ2)/2 沿左图白色路径到达 z = -2 在 z = -2 时，arg(z - 1) = θ1 ′ = θ1 + π, arg(z + 1) = θ2 ′ = θ2 + π, w(-2) = 22 - 1 (θ1 ′ +θ2 ′ )/2 = 3 (θ1+π+θ2+π)/2 = - 3 (θ1+θ2)/2 = -w(2) 因此，取左图割线无法使得当 z 在实轴上时 ，f (z) 退化为 g(x)，无论在哪一个单值分支 。 只能取如右图之割线 。在右割线的上岸 ，定义 arg(z - 1) = θ1 = 0, arg(z + 1) = θ2 = 0 对实轴上 x ≥ 1，取右割线上岸 的函数值 ，w(z) = x2 - 1 (θ1+θ2)/2 = x2 - 1 对实轴上 x ≤ -1，取左割线下岸 的函数值 ，θ1 ′ = θ1 + π, θ2 ′ = θ2 - π θ1 ′ + θ2 ′ = θ1 + θ2 = 0, 仍有：w(z) = x 2 - 1 ( θ1 ′ +θ2 ′ )/2 = x2 - 1 对实轴上 x < 1，有：θ1 ′′ = θ1 + π, θ2 ′′ = θ2, θ1 ′′ + θ2 ′′ = θ1 + π + θ2 = π, 故：w(z) = x2 - 1 2 (θ1 ′′+θ2 ′′) = 1 - x2 π/2 = 1 - x2 ☺ 例题：已知函数 w = f (z) = z2 - 1 在实轴上退化为：w(x) = x2 - 1 , x ≥ 1 1 - x2 , x < 1 ， 求：w′ (2) 、 w′ (2 + ) 和 w′ (2 - ) 2 - x y -1 1 上岸 2 + 解：取如上图蓝色之割线 。定义：θ1 ≡ arg(z - 1), θ2 ≡ arg(z + 1) 在右上岸，取 θ1 = θ2 = 0，在实轴上即可退化为所要求的函数 （见上一题）。 因为三要素 （枝点、割线、上岸辐角值 ） 均已定，故 w = z2 - 1 实际上已经是单值函数 。 当然，枝点 z = ±1 是函数的奇点 ，除枝点与无穷远点 z = ∞ 外，函数在复平面内解析 。 w′ (z) = f ′ (z) 求导法则同实变函数 w′ (z) = z z2 - 1 在实轴 z = 2，必须取右割线上岸的点 ，才能满足题意 ， 故：在 z = 2，θ1 = 0, θ2 = 0 w′ (2) = 2 3 2 (θ1+θ2) = 2 3 , 与实函数比较 ： w′ (x) x=2 = x x2 - 1 x=2 = 2 3 6 z05a.nb
z05a.nba += 其中:从右割线上岸到二=2+i,61 82= actg +12-1-1c2 (+b)2-1 --arcta 7丌 其中:从右割线上岸到=2-i,的1=一,B=- arct-(顺时针) 目例题:设w()==( 式根据下述条件计算:w(-1) i.作割线连接=0和z=1,并规定在割线上岸:61≡arg()=0,b2≡arg(1-2)=0 不作割线,规定mg叫)=0.:分别沿如右图路径C与C2从移动到:= 割线为从z=0到=1的线段 右图路径C2与C4相当于穿过割线 函数值与经路径C2与C4 1时的函数值不同 解:i.在割线上岸,61=B2=0 如沿L1从上岸到达=-1,B1=0+丌,的=0+0 →m(-1)=√2e2=v2i 如果沿L2从上岸到达二=-1,1=0-,B=0-2丌 √2e23n=y2i 结果是相等的,也即在做好割线之后,只要路径不穿过割线,函数值就唯一确定 当然,必须沿相同的路径求两个辐角的1与(同为红或绿色路径) ii.不做割线,规定在:。1 , arg 即二=-时,的=明,B2 →(+因) 沿红色路径C1到达z=-1时,61=明+x,=因,→(-1)=V2e2=v2i 沿蓝色路径C2到达二=-1时,的1=明+3兀,B=因 =√2ce2+3+的 可见,沿C2,相当于穿过左图的割线(尽管未画出),必跑到另一个单值分支,函数值发生改变 若沿绿色路径C3到达:=-1,的=+兀,B2=因,→m(-1)=√2e2明=√2i 沿C3未穿过割线,仍在同一个单值分支,函数值仍为√2i 若沿紫色路径C4到达二=-1,B1=-兀,B2=B,=→m(-1)=2c2=-V2i 相当于穿过左图的割线(z=0到z=1的线段,未画出)跑到另一个单值分支, 函数值不再等于√2i
w′ (2 + ) = z z2 - 1 z=2+ = (2 + ) 2 + + 1 2 + - 1 2 (θ1+θ2) = 2 + 20 4 - 2 π 4 +arctg 1 3 其中：从右割线上岸到 z = 2 + ，θ1 = π 4 ，θ2 = arctg 1 3 w′ (2 - ) = z z2 - 1 z=2- = (2 - ) 2 - + 1 2 - - 1 2 (θ1+θ2) = 2 - 20 4 - 2 7 π 4 -arctg 1 3 其中：从右割线上岸到 z = 2 - ，θ1 = 7 π 4 ，θ2 = -arctg 1 3 （顺时针） ☺ 例题：设 w(z) = z(1 - z) ，试根据下述条件计算：w(-1) 。 i. 作割线连接 z = 0 和 z = 1，并规定在割线上岸：θ1 ≡ arg(z) = 0，θ2 ≡ arg(1 - z) = 0； ii. 不作割线，规定 arg w 1 2 = 0， z 分别沿如右图路径 C1与 C2 从 1 2 移动到 z = -1。 -1 0 1 L1 L2 C3 - 0 1 C1 1 2 C2 C4 割线为从 z = 0 到 z = 1 的线段， 右图路径 C2 与 C4 相当于穿过割线 ， 函数值与经 路径 C2 与 C4 到达 z = -1 时的函数值不同 。 解：i. 在割线上岸 ，θ1 = θ2 = 0 如沿 L1 从上岸到达 z = -1， θ1 = 0 + π, θ2 = 0 + 0 ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1+θ2) = 2 如果沿 L2 从上岸到达 z = -1， θ1 = 0 - π, θ2 = 0 - 2 π ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1+θ2) = 2 2 (-3 π) = 2 结果是相等的 ，也即在做好割线之后 ，只要路径不穿过割线 ，函数值就唯一确定 。 当然，必须沿相同的路径求两个辐角 θ1 与 θ2 （同为红或绿色路径 ） ii. 不做割线 ，规定在 z = 1 2 , arg w 1 2 = 0, 即 z = 1 2 时，θ1 = θ1 0, θ2 = θ2 0, arg w 1 2 = θ1 0 + θ2 0 2 ⟹ θ1 0 + θ2 0 = 0, 沿 红色路径 C1 到达 z = -1 时，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0+π+θ2 0) = 2 沿蓝色路径 C2 到达 z = -1 时，θ1 = θ1 0 + 3 π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0+3 π+θ2 0) = - 2 可见，沿 C2, 相当于穿过左图的割线 （尽管未画出 ），必跑到另一个单值分支 ，函数值发生改变 。 若沿绿色路径 C3 到达 z = -1，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0+π+θ2 0) = 2 沿 C3 未穿过割线 ，仍在同一个单值分支 ，函数值仍为 2 。 若沿紫色路径 C4 到达 z = -1，θ1 = θ1 0 - π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0-π+θ2 0) = - 2 相当于穿过左图的割线 （z = 0 到 z = 1 的线段，未画出） 跑到另一个单值分支 ， 函数值不再等于 2 。 z05a.nb 7
8z05a.nb 日例题:函数v()=V=-e,(0<如<x12,在:=0的值v0)=e2,:从=0出发沿直线到达:1=c,求 B 解:据函数的定义:w()=vF-e叫c明,其中:0=ag(=-e) 故:二=0时,60=丌+d 从20=0出发沿直线l到达1=c1·,=+2的3 故:(e)=yp-“eB=2smn“3 目例题:函数v()=m1-=2) 解:函数的定义:w)=ln|1-=21+iarg(1-)+argc+1) 枝点:z=±1和∞,做割线如左图,连接三个枝点。 也可做割线如右 做如右图割线,已知v(0)=0,求w(3)与w(3i) 令:61≡arg(1-x),B2=arg(+1) =0=0时:w(0)=i+的=0,→明+因=0 二=1=3时:沿C1从到二1,61=因+兀,B2=,(3)=ln8+ir z=2=3i时:沿C2从到2,61=的+(2r- arct3),2=明+ actg3,w(3i=ln10+2ir 番 Mathematica中的根式函数 番 Mathematica中的根式函数 52涉及多值函数的积分 若实变函数积分中涉及对数函数,根式函数,在利用留数定理计算积分时,将单值的实变函数拓展成复变函数时, 必然涉及多值函数,这时必须做适当的割线,恰当地定义(选取)单值分支 才能保证复变函数在某些积分路径上退化为实变函数积分。以下通过例题说明 目例题:计算积分:I= Inx-dx 选取:f(=)= 希望在实轴上,f()能退化为:
☺ 例题：函数 w(z) = z - ϕ , (0 < ϕ < π/2)，在 z = 0 的值 w(0) = 2 (ϕ+π) ，z 从 z0 = 0 出发沿直线到达 z1 = - ϕ, 求 w(z1) - ϕ ϕ B A O ϕ ϕ l 解：据函数的定义 ：w(z) = z - ϕ θ/2, 其中： θ ≡ arg z - ϕ z = 0 时，w(0) = θ/2 = (ϕ+π)/2, 故：z = 0 时，θ0 = π + ϕ z 从 z0 = 0 出发沿直线 l 到达 z1 = - ϕ，θ1 = θ0 + (π - 2 ϕ) 2 ∠OBA = 3 π 2 故：w- ϕ = - ϕ - ϕ θ1/2 = 2 sin ϕ 3 π/4 ☺ 例题：函数 w(z) = ln1 - z2 解：函数的定义 ：w(z) = ln 1 - z2 + [arg(1 - z) + arg(z + 1)], 枝点：z = ±1 和 ∞，做割线如左图 ，连接三个枝点 。 -1 0 1 -1 1 C1 C2 也可做割线如右图 。现做如右图割线 ，已知 w(0) = 0, 求 w(3) 与w(3 )。 令：θ1 ≡ arg(1 - z), θ2 = arg(z + 1) z = z0 = 0 时：w(0) = θ1 0 + θ2 0 = 0, ⟹ θ1 0 + θ2 0 = 0 z = z1 = 3 时：沿 C1 从 z0 到 z1，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, w(3) = ln 8 + π z = z2 = 3 时：沿 C2 从 z0 到 z2，θ1 = θ1 0 + (2 π - arctg 3), θ2 = θ2 0 + arctg 3, w(3 ) = ln 10 + 2 π Mathematica 中的根式函数 Mathematica 中的根式函数 5.2 涉及多值函数的积分 若实变函数积分中涉及对数函数，根式函数，在利用留数定理计算积分时，将单值的实变函数拓展成复变函数时， 必然涉及多值函数，这时必须做适当的割线，恰当地定义（选取）单值分支， 才能保证复变函数在某些积分路径上退化为实变函数积分。以下通过例题说明。 ☺ 例题：计算积分：I = 0 ∞ ln x 1 + x2 2 x 解：选取：f (z) = ln z 1 + z2 2 , 希望在实轴上 ，f (z) 能退化为： ln x 1 + x2 2 8 z05a.nb
z05a.nb 9 f(-)是多值函数,枝点为0和∞,连接0与∞作为割线(如图红线) 在割线上岸,定义θ=arg==0,这样在割线上岸,f(=)退化为f(x) 积分回路如上图。回路内有二阶极点z=i In- +=2ri Resf(i)=2 ri (=+i)2 (二+i)-2=n 丌+2i 2丌E 其中:lni=i Inx+i eirdx=l+ CR R L dx =l C:因为lm()=0圆多。=0 大圆弧引理 CR:因为lim=f()=0= 综上:I=--,并且 dx 番 Mathematica试一试,被积函数的原函数不是初等函数,而是 polylog函数 c1ear["G1oba1★"] f【x_]:= Integrate[￡[x],x]; FullSimplify [9] [E[x],[ 4(1+2、(2(1+x2) ArcTan【x](-1+Lo9[x])+ 2 x Log[x]-i(1+x2)PolyLog[2, -i x]+i(1+x2) PolyLog[2,i xJ)
f (z) 是多值函数 ，枝点为 0 和 ∞，连接 0 与 ∞ 作为割线 （如图红线） 在割线上岸 ，定义 θ = arg z = 0，这样在割线上岸 ，f (z) 退化为 f (x) 积分回路如上图 。回路内有二阶极点 z = C = L1 +Cr +L2 +CR = 2 π Res f () = 2 π lim z ln z (z + )2 ′ = 2 π lim z (z + ) - 2 zln z z (z + )3 = 2 π π + 2 8 , 其中：ln = π 2 L1：z = x π, ⟹ L1 = R r ln x + π 1 + x2 2 π x = I + 0 ∞ π x 1 + x2 2 x y CR -R R L1 L2 Cr L2：z = x 0, ⟹ L2 = r R ln x 1 + x2 2 x = I Cr：因为 lim z0 z f (z) = 0 小圆弧引理 Cr = 0 CR：因为 lim z∞z f (z) = 0 大圆弧引理 CR = 0 综上：I = -π 4 , 并且：0 ∞ x 1 + x2 2 = π 4 Mathematica 试一试，被积函数的原函数不是初等函数 ，而是 polylog 函数。 Clear["Global`*"] f[x_] := Log[x] (1 + x2)2 ; Integrate[f[x], x]; FullSimplify[%] Integrate[f[x], {x, 0, ∞}] 1 4 (1 + x2) (2 (1 + x2) ArcTan[x] (-1 + Log[x]) + 2 x Log[x] - (1 + x2) PolyLog[2, - x] + (1 + x2) PolyLog[2, x]) - π 4 z05a.nb 9
10 z05anb 目例题:计算积分 0<a<1比较上节例题:I= (1.1) 番 Mathematica试一试,被积函数的原函数不是初等函数,是超几何函数 x, Assumptions N[a>0&&a<1] (1+x) tt= Integrate x, Assumptions N [a>0&&a<1 Limit[t,x→0, Assumptions沙{a>0sa<1}] Limit[t,x→∞, Assumptions{a>0&a<1} FullSimplify[9] 1. axi- Hypergeometric2F1[1, 1+a, 2+a,-x) ex Hypergeometric2F1 [1, a, 1+a 多值函数,枝点z=0和二=∞,割线如图红线 定义割线上岸6≡arg=0,以保证在L1上f(=)退化为f(x) z=0是枝点,必为奇点,因此要做一个小圆弧C 如取右图闭合回路,则回路内无奇点 有⊥+C+C+⊥+C=0 Li: f()d==L, R CR:因lim=f(2) f(-)d==0 I eila-l)a dx r-l dx L,+L3: ==xelt f(-)d== 不同于:I= 取右图闭合回路,则回路内有奇点=-1=c丌
☺ 例题：计算积分 I = 0 ∞ xα-1 x 1 + x , 0 < α < 1 比较 上节例题： I = -∞ ∞ α x x + 1 x (1.1) Mathematica 试一试，被积函数的原函数不是初等函数 ，是超几何函数 。 t = Integrate xa-1 (1 + x) , x, Assumptions {a > 0 && a < 1} tt = Integrate a x (1 + x) , x, Assumptions {a > 0 && a < 1} Limit[t, x 0, Assumptions {a > 0 && a < 1}] Limit[t, x ∞, Assumptions {a > 0 && a < 1}]; FullSimplify[%] xa a - 1 1 + a x1+a Hypergeometric2F1[1, 1 + a, 2 + a, -x] 1 a a x Hypergeometric2F1[1, a, 1 + a, -x] 0 π Csc[a π] 解：f (z) = zα-1 z + 1 , 多值函数 ，枝点 z = 0 和 z = ∞，割线如图红线 定义割线上岸 θ ≡ arg z = 0，以保证在 L1 上 f (z) 退化为 f (x) z = 0 是枝点，必为奇点，因此要做一个小圆弧 Cr 如取右图闭合回路 ，则回路内无奇点 有：L1 +CR +L2 +L3 +Cr ′ +Cr = 0 L1：L1 f (z) z = I, CR：因 lim z∞z f (z) = 0 大圆弧引理 CR f (z) z = 0 L3 x y CR -R R L2 L1 Cr -1 Cr ′ L2 + L3：z = x π, L2+L3 f (z) z = 0 ∞ xα-1 (α-1) π x x π + 1 = (α-1) π 0 ∞ xα-1 x 1 - x 不同于：I = 0 ∞ xα-1 x 1 + x , 取右图闭合回路 ，则回路内有奇点 z = -1 = π 10 z05a.nb