有限单元法初步 有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法,用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同,过程也相似。 离散化: ③3 水坝 单元分析: 整体分析: 求应力:
有限单元法初步 有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。 1 2 4 6 3 5 离散化： 水坝 单元分析： 整体分析： 求应力：
§1杆系结构的有限单元法 §11泛函与变分 “最速落径问题”一-质量为m的小环从Δ处自由滑下, 试选择一条曲线使所需时间最短。(不计摩擦) 设路径为 X A dxrd 2 hgh Y B 称T为y(x)的泛函, y(x)为自变函数 2 即以函数作自变量以积 所需时间T[y(x)= =ydx分形式定义的函数为泛函 √2gh
§1 杆系结构的有限单元法 §1.1 泛函与变分 “最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦） A B X Y 设路径为 y=y（x） 2 2 ds = dx + dy dx dt y dt ds v − = = 2 1 v = 2gh dx gh y dt − = 2 1 2 − = a dx gh y T y x 0 2 2 1 所需时间 [ ( )] a y 称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。 即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函
§11泛函与变分 y(x)=y(x)+c8(x) 称刎(x)为y(x)的变分,它是一个无穷小的任意函数。 变分运算在形式上与微分运算相同。 Sy(x)=2y()ov(x) 微分与变分运算次序可以交换。 A (y)=() 积分与变分运算次序也可以交换。 Y Sy (x) S fLx, y(x)]dx=. SL(,y(x)Jd (x)
§1.1 泛函与变分 A X Y ( ) ( ) ( ) * y x = y x +y x ( ) 2 ( ) ( ) 2 y x = y x y x 变分运算在形式上与微分运算相同。 y=y（x） x+dx dy x ( ) * * y = y x 称 y(x) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。 y(x) 微分与变分运算次序可以交换。 ( ) ( ) dx dy y dx d = 积分与变分运算次序也可以交换。 = 2 1 2 1 [ , ( )] [ ( , ( ))] x x x x f x y x dx f x y x dx
512变形体虚位移原理 外力虚功 (x) SWe= q(x)v(x)dx 平衡位置 内力虚功 SW=L[M() k(x)+O(x)Sy+N(x)Se]dx 0 虚功方程 SW= dW a(x)(x)x=5[M(x)0(x)+(x)y+N(x)lbc §13势能原理 1.应变能 弯曲应变能v=P△/2 Mdx 拉压应变能v=P△/2=Nat P H △ 剪切应变能v=P2=Qk P 工△
§1.2 变形体虚位移原理 = l We q x y x dx 0 ( ) ( ) 外力虚功 = + + l Wi M x k x Q x N x dx 0 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 内力虚功 虚功方程 Wi = We = + + l l q x y x dx M x k x Q x N x dx 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] §1.3 势能原理 1.应变能 弯曲应变能 P Ve = P/ 2 = l M dx 2 0 1 拉压应变能 Ve = P/ 2 = l N dx 2 0 1 P P 剪切应变能 Ve = P/ 2 = l Q dx 2 0 1 y（x） 平衡位置 q(x) y
512变形体虚位移原理 虚功方程 9()8y(x)dx //M(x)Ok(x)+O(x)5y+N(x)eDx Si 平衡位置 §13势能原理 1.应变能 弯曲应变能=P△/2=2 MDx 拉压应变能=P△/2 Pe △ 剪切应变能V。=P△/2 Ord 2.外力势能 外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功 PPiP V=∑=3x 3.结构势能 或或 E=v+v P yx) MK+Or+NE]dx- gdx 0
2.外力势能 §1.3 势能原理 1.应变能 弯曲应变能 P P Ve = P/ 2 = l M dx 2 0 1 拉压应变能 Ve = P/ 2 = l N dx 2 0 1 P 剪切应变能 Ve = P/ 2 = l Q dx 2 0 1 1 2 3 P1 P2 P3 外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功. Ve = −Pi i * y(x) q(x) = − l Ve q x y x dx 0 * ( ) ( ) 3.结构势能 * EP =Ve +VP §1.2 变形体虚位移原理 虚功方程 = + + l l q x y x dx M x k x Q x N x dx 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] y（x） 平衡位置 q(x) y = + + − l l M Q N dx qydx 0 0 [ ] 2 1