第二章 平面汇交力系与力偶系 引言 力系分为:平面力系、空间力系 平面力系 l、平面特殊力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 2、平面任意力系 ④平面一般力系 平面汇交力系: 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 研究方法:几何法,解析法。 例:起重机的挂钩 §21平面汇交力系合成与平衡的几何法 、合成的几何法 1两个共点力的合成 180° R R Fi Fa cos(180°-a)=-cosa 由力的平行四边形法则作,也可用力的三角形来作。 由余弦定理 R=√F2+F2+2FF2 cos a 合力方向由正弦定理 R sin sin( 180-a) 2.任意个共点力的合成 Fi A F
第二章 平面汇交力系与力偶系 引 言 力系分为：平面力系、空间力系 平面力系 1、平面特殊力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 2、平面任意力系 ④平面一般力系 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。 例：起重机的挂钩。 §2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、合成的几何法 1.两个共点力的合成 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 由余弦定理： 合力方向由正弦定理： 2. 任意个共点力的合成 cos(180 −) = −cos 2 1 2 cos 2 2 2 R = F1 + F + F F sin sin(180 ) 1 − = F R
Fi A 为力多边形 R R=F+f+e+F 即:R=>F 即:平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作用线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是: R=F=0 在上面几何法求力系的合力中,合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是 在上面几何法求力系的合力中,合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是:力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零
为力多边形 即： 即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是： 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零 F2 F3 F1 F4 R R = F1 + F2 + F3 + F4 R =F R =F = 0
R 例1已知:P=10kN,BC=AC=2m,AC与BC相互垂直。 求:在P的作用下AC、BC所受力的大小。 B ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 BC杆与AC杆是二力杆这时FBC与FAC和外力P构成一平衡力系。由平衡的几何条 件,力多边形封闭,故 =P·sina=10× 由作用力和反作用力的关系,AC、BC杆受力等于5√2(kN) 此题也可用力多边形方法用比例尺去量 几何法解题步骤:①选研究对象;②作出受力图; ③作力多边形,选择适当的比例尺; ④求出未知数 几何法解题不足:①精度不够,误差大②作图要求精度高; ③不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法: 解析法 2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法 、力在坐标轴上的投影
[例 1] 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC 与 BC 相互垂直。 求：在 P 的作用下 AC、BC 所受力的大小。 ①选铰链 C 为研究对象 ②取分离体画受力图 ∵BC 杆与 AC 杆是二力杆,这时 FBC 与 FAC 和外力 P 构成一平衡力系。 由平衡的几何条 件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，AC、BC 杆受力等于 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 一、力在坐标轴上的投影 F2 F3 F1 F4 F5 R A C P B 5 2( ) 2 2 FAC = FBC = Psin =10 = k N 5 2(kN)
Y Fr A Fx 力 X X-FxFcosa y=Fy=Sina=F cosb 投影 力 F=F2+F X F cosa FF Y F COS B=-= 二、合力投影定理 由图可看出,各分力在x轴和在y轴投影的和分别为: 4 F4 3 X4 由图可看出,各分力在x轴和在y轴投影的和分别为:R=x1+x2-X4=∑X R=-X+Y2+2+y4=∑ R=∑X R=∑y
力 投影 X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosb 投影 力 二、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x 轴和在 y 轴投影的和分别为： 由图可看出，各分力在 x 轴和在 y 轴投影的和分别为： / 2 2 F = Fx + Fy F F F X x cos = = F F F Y y cos = = Rx = X1 + X2 − X4 =X Ry = −Y1 +Y2 +Y3 +Y4 =Y Rx =X Ry =Y
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,筹于各分力在同一轴上投影的代数和。 合力的大小:R=√R2+R2=V∑X+∑y 方向:O R Y 8=tg tg 作用点:为该力系的汇交点 三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知:平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 =0→VR2+R2=0 R=∑X R.=>Y=0 为平衡的充要条件,也叫平衡方程 已知:P=10kN,BC=AC=2m,AC与BC相互垂宜。 求:在P的作用下AC、BC所受力的大小。 BC X FaC ①选饺链C为研究对象 ②取分离体画受力图 ③列平衡方程 ∑X=0Fc·cos45°-Fcos45°=0 P+Fc·sn45°+ Fn. sin45=0 ④解平衡方程F=FBC Fc=FBC 2sin 4 2 kN 另一种列方程的方法
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 合力的大小： 方向： 作用点：为该力系的汇交点 三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 为平衡的充要条件，也叫平衡方程 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC 与 BC 相互垂直。 求：在 P 的作用下 AC、BC 所受力的大小。 ①选铰链 C 为研究对象 ②取分离体画受力图 ③列平衡方程 ④解平衡方程 另一种列方程的方法 A C P B 2 2 2 2 R = Rx + Ry = X +Y x y R R tg = − − = = X Y R R x 1 y 1 tg tg 0 0 2 2 R = Rx + Ry = = = = = 0 0 R Y R X y x X = 0 FAC cos45− FBC cos45 = 0 Y = 0 − P + FAC sin 45+ FBC sin 45 = 0 FAC = FBC P FBC FAC x y 5 2 kN 2sin 450 = = = P FAC FBC