5.等参单元 本章包括以下内容 51等参单元的基本概念 52四边形八节点等参单元 53等参单元的单元分析 54六面体等参单 51等参单元的基本概念 在进行有限元分析时,单元离散化会带来计算误差,主要采用两种方法来降低单元离散 化产生的误差:1)提高单元划分的密度,被称为h方法(h- method):2)提高单元位移函 数多项式的阶次,被称为p方法( p-method) 在平面问题的有限单元中,我们可以选择四结点的矩形单元,如图5-1所示,该矩形单 元在x及y方向的边长分别为2a和2b 图5-1四结点矩形单元 同第三章的方法类似,将单元的位移模式选为, u=a1+a2x+a3y+a4xy v=a5+a6xta7y+agx (5-1) 可得到, Ni ui+n V=Ni+NVj+Nm,m+Npp (5-2) 形态函数为 N=7(1+1-2
5．等参单元 本章包括以下内容： 5.1 等参单元的基本概念 5.2 四边形八节点等参单元 5.3 等参单元的单元分析 5.4 六面体等参单元 5.1 等参单元的基本概念 在进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散 化产生的误差：1）提高单元划分的密度，被称为 h 方法（h-method）；2）提高单元位移函 数多项式的阶次，被称为 p 方法（p-method）。 在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，如图 5-1 所示，该矩形单 元在 x 及 y 方向的边长分别为 2a 和 2b。 图 5-1 四结点矩形单元 同第三章的方法类似，将单元的位移模式选为， u a a x a y a xy = 1 + 2 + 3 + 4 v a a x a y a xy = 5 + 6 + 7 + 8 （5-1） 可得到， u = Niui + N ju j + Nmum + Npu p i i j j m m p p v = N v + N v + N v + N v （5-2） 形态函数为， (1 )(1 ) 4 1 b y a x Ni = − − (1 )(1 ) 4 1 b y a x N j = + −
(1+-)1+2) P=4(1-M1+ (5-3) 上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求: 1)反映了单元的刚体位移和常应变, 2)单元在公共边界上位移连续 在矩形单元的边界上,坐标x和y的其中一个取常量,因此在边界上位移是线性分布的 由两个结点上的位移确定 与三结点三角形单元相比,四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数,能够提高计 算精度,但也有显著的缺点,两种单元的比较如下, 表5-1三结点三角形单元与四结点矩形单元比较 单元类型 点 缺点 三结点三角形单元适应复杂形状, 计算精度低 单元大小过渡方便 四结点矩形单元单元内的应力、应变是线性变不能适应曲线边界和非正交 化的,计算精度较高 的直线边界 如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式,则在公共边界上不满足位 移连续性条件。为了既能得到较高的计算精度,又能适应复杂的边界形状,可以采用坐标变 换 4 r=1 2=1 55=1 7=-1 图5-2任意四结点四边形单元 图5-3四结点正方形单元 在图5-2所示的任意四边形单元上,用等分四条边的两族直线分割四边形,以两族直线 的中心为原点,建立局部坐标系(5,m),沿5及n增大的方向作为5轴和7轴,并令四条边 上的ξ及n值分别为±1。为了求出位移模式,以及局部坐标与整体坐标之间的变换式,在 局部坐标系中定义一个四结点正方形单元,如图5-3所示 参照矩形单元,四结点正方形单元的位移模式为 l=N141+N2a2+N3u3+N4u4 N2v2+N3V3+Nav (5-4)
(1 )(1 ) 4 1 b y a x Nm = + + (1 )(1 ) 4 1 b y a x N p = − + （5-3） 上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 1）反映了单元的刚体位移和常应变， 2）单元在公共边界上位移连续。 在矩形单元的边界上，坐标 x 和 y 的其中一个取常量，因此在边界上位移是线性分布的， 由两个结点上的位移确定。 与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计 算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下。 表 5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较 单元类型 优点 缺点 三结点三角形单元 适应复杂形状， 单元大小过渡方便 计算精度低 四结点矩形单元 单元内的应力、应变是线性变 化的，计算精度较高 不能适应曲线边界和非正交 的直线边界 如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位 移连续性条件。为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变 换。 图 5-2 任意四结点四边形单元 图 5-3 四结点正方形单元 在图 5-2 所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线 的中心为原点，建立局部坐标系 ( ,) ，沿 及 增大的方向作为 轴和 轴，并令四条边 上的 及 值分别为 1 。为了求出位移模式，以及局部坐标与整体坐标之间的变换式，在 局部坐标系中定义一个四结点正方形单元，如图 5-3 所示。 参照矩形单元，四结点正方形单元的位移模式为， u = N1u1 + N2u2 + N3u3 + N4u4 1 1 2 2 3 3 4 4 v = N v + N v + N v + N v （5-4）
其中, N1=(1-5)(1-m) (1+5)(1-n) N3=(1-51+n) N4=(1+5)(1+m) (5-5) 四个结点的坐标为(512n),定义新的变量 50=55,m=n(=1,2,3,4) (5-6) 形态函数表示为 N=(1+50)(1+70)(i=1,2,3,4)(5-7) 把5及7作为任意四边形单元的局部坐标,把(5-4)的位移模式和(5-7)的形态函数 用于任意形状的四边单元,可得: 在四个结点处可以得到结点的位移 2)在单元的四条边上,位移线性变化,保证了单元公共边界上位移的连续性。 因此给出任意四边形单元的结点位移就能得到整个单元上的位移,(5-4)的位移模式就 是所要找的正确的位移模式。 把局部坐标与整体坐标的变换式也取为, x=Nix1+N2x2+N3x3+N4x4 y=N1y1+N2y2+N3]3+Naya 将坐标变换式用于任意四边形单元,可得 1)在四个结点处给出结点的整体坐标, 2)在四条边上的整体坐标是线性变化的。 只要给出任意四边形单元四个结点的整体坐标,用(5-8)式就可以建立局部坐标系中 的正方形单元和整体坐标系中的任意四边形单元之间的坐标变换关系。 把图5-3中的局部坐标系中的正方形单元称为基本单元。 把图5-2中的在整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单元通过坐标变换得来的 称为实际单元 单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点参数以及相同的插值函数进行变 换,称为等参变换。采用等参变换的单元,称为等参单元。 由于形态函数M;,正好反映了单元形状的变化,也称为形函数( Shape function)o 采用等参单元,使我们可以在局部坐标系中的规则单元上进行单元分析,然后在映射到 实际单元上。等参单元同时具有计算精度高和适用性好的特点,是有限元程序中主要采用的 单元形式
其中， (1 )(1 ) 4 1 N1 = − − (1 )(1 ) 4 1 N2 = + − (1 )(1 ) 4 1 N3 = − + (1 )(1 ) 4 1 N4 = + + （5-5） 四个结点的坐标为 ( , ) i i ，定义新的变量， 0 = i ，0 =i (i=1，2，3，4) (5-6) 形态函数表示为， (1 )(1 ) 4 1 Ni = + 0 +0 （i=1，2，3，4） （5-7） 把 及 作为任意四边形单元的局部坐标，把（5-4）的位移模式和（5-7）的形态函数 用于任意形状的四边单元，可得： 1）在四个结点处可以得到结点的位移； 2）在单元的四条边上，位移线性变化，保证了单元公共边界上位移的连续性。 因此给出任意四边形单元的结点位移就能得到整个单元上的位移，（5-4）的位移模式就 是所要找的正确的位移模式。 把局部坐标与整体坐标的变换式也取为， 1 1 2 2 3 3 4 4 x = N x + N x + N x + N x 1 1 2 2 3 3 4 4 y = N y + N y + N y + N y （5-8） 将坐标变换式用于任意四边形单元，可得： 1）在四个结点处给出结点的整体坐标， 2）在四条边上的整体坐标是线性变化的。 只要给出任意四边形单元四个结点的整体坐标，用（5-8）式就可以建立局部坐标系中 的正方形单元和整体坐标系中的任意四边形单元之间的坐标变换关系。 把图 5-3 中的局部坐标系中的正方形单元称为基本单元。 把图 5-2 中的在整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单元通过坐标变换得来的， 称为实际单元。 单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点参数以及相同的插值函数进行变 换，称为等参变换。采用等参变换的单元，称为等参单元。 由于形态函数 Ni ，正好反映了单元形状的变化，也称为形函数（Shape function）。 采用等参单元，使我们可以在局部坐标系中的规则单元上进行单元分析，然后在映射到 实际单元上。等参单元同时具有计算精度高和适用性好的特点，是有限元程序中主要采用的 单元形式
52四边形八节点等参单元 为了更好地反映物体内的应力变化,适应曲线边界,在弹性力学平面问题的分析中经常 使用四边形八节点等参单元。如图54所示,由于每条边上增加了一个结点,单元的边是 条二次曲线,可以更好地适应曲线边界, 6 n 8 2=-1 =1 图54四边形八结点单元 图5-5八结点基本单元 对于等参单元,先在图5-5所示的八结点基本单元上进行分析。八结点单元一共有16 个已知的结点位移分量,基本单元中取如下的位移模式 l=a1+a25+a3n+a152+a3m+a4n2+a252n+a25n v=b1+b25+b+b2+b5n+b6n2+b,52+b5 (5-9) 该位移模式实际上是一个双二次函数,待定系数由结点位移分量确定。在单元的每条边 上,局部坐标ξ=±1或门=±1,位移是局部坐标ξ或刀的二次函数,完全由边上的三个结 点的位移值确定,所以这个位移模式满足位移连续性条件。实际单元内的位移用形函数表示 ∑N(5,n N,(5,n) 其中的形函数为 N1=,(1-5)(1-m)(-5-n-1) N3=-(1+5)(1-m)(-n-1)
5.2 四边形八节点等参单元 为了更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，在弹性力学平面问题的分析中经常 使用四边形八节点等参单元。如图 5-4 所示，由于每条边上增加了一个结点，单元的边是一 条二次曲线，可以更好地适应曲线边界， 图 5-4 四边形八结点单元 图 5-5 八结点基本单元 对于等参单元，先在图 5-5 所示的八结点基本单元上进行分析。八结点单元一共有 16 个已知的结点位移分量，基本单元中取如下的位移模式： 2 8 2 7 2 5 6 2 u = a1 + a2 + a3 + a4 + a + a + a + a 2 8 2 7 2 5 6 2 v = b1 + b2 + b3 + b4 + b + b + b + b （5-9） 该位移模式实际上是一个双二次函数，待定系数由结点位移分量确定。在单元的每条边 上，局部坐标 = 1 或 = 1 ，位移是局部坐标 或 的二次函数，完全由边上的三个结 点的位移值确定，所以这个位移模式满足位移连续性条件。实际单元内的位移用形函数表示 为， i i i u N ( , )u 8 1 = = i i i v N ( , )v 8 1 = = （5-10） 其中的形函数为： (1 )(1 )( 1) 4 1 N1 = − − − − − (1 )(1 )( 1) 4 1 N3 = + − − −
N5=(1+(1+m)(+n-1) (1-5)(1+m)(-5+n-1) (1-2)(1-m) (1-5)(1+m) (1-n2)1 N3=(1-mn2)1-5) 将形函数归纳为 (1+5;5)(1+n)X55+n)(=13.5,7) N,(5,m) (1-22)1+m)(=2,6) (5-11) (1-n2)1+55)(i 形函数N(5,m)在单元的i结点上的值为1,在其它结点上的值均为0。 坐标变换式采用如下相似的公式, x=∑N(5,n)x (5-12) y=∑N(5,m)y 将ξ=1代入公式(5-12),可以得到单元345边在整体坐标下的参数方程: x=an+bn+c (5-13) y=dn+en+f 可见在整体坐标系中,单元的边是一条抛物线或退化为一条直线
(1 )(1 )( 1) 4 1 N5 = + + + − (1 )(1 )( 1) 4 1 N7 = − + − + − (1 )(1 ) 2 1 2 N2 = − − (1 )(1 ) 2 1 2 N6 = − + (1 )(1 ) 2 1 2 N4 = − + (1 )(1 ) 2 1 2 N8 = − − 将形函数归纳为， − + = − + = + + + = = (1 )(1 ) ( 4,8) 2 1 (1 )(1 ) ( 2,6) 2 1 (1 )(1 )( ) ( 1,3,5,7) 4 1 ( , ) 2 2 i i i N i i i i i i i （5-11） 形函数 (,) Ni 在单元的 i 结点上的值为 1，在其它结点上的值均为 0。 坐标变换式采用如下相似的公式， i i i i i i y N y x N x ( , ) ( , ) 8 1 8 1 = = = = （5-12） 将 = 1 代入公式（5-12），可以得到单元 345 边在整体坐标下的参数方程： y d e f x a b c = + + = + + 2 2 （5-13） 可见在整体坐标系中，单元的边是一条抛物线或退化为一条直线