4.弹性力学轴对称问题的有限元法 本章包括以下内容: 4.1用虚功方程建立有限元方程 42三结点单元位移函数 43三结点单元刚度矩阵 4.4载荷移置 45轴对称分析举例 4.1用虚功方程建立有限元方程 物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴,因此在物体中通过 该轴的任何平面都是对称面,所有应力、应变和位移也对称于该轴,这类问题称为轴对称问 题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,θ,z),以z轴为对称轴 图41受均布内压作用的长圆筒 如图41所示的受均布内压作用的长圆筒,通过Z轴的一个纵截面就是对称面。由于 对称性,轴对问题共有4个应力分量 (4-1) 其中σ,表示沿半径方向的正应力,称为径向应力:O表示沿0方向的正应力,称为 环向应力或切向应力;:表示沿z方向的正应力,称为轴向应力;rx表示在圆柱面上沿 z方向作用的剪应力 同样,轴对称问题共有4个应变分量:
4. 弹性力学轴对称问题的有限元法 本章包括以下内容： 4.1 用虚功方程建立有限元方程 4.2 三结点单元位移函数 4.3 三结点单元刚度矩阵 4.4 载荷移置 4.5 轴对称分析举例 4.1 用虚功方程建立有限元方程 物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过 该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问 题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以 z 轴为对称轴。 图 4.1 受均布内压作用的长圆筒 如图 4.1 所示的受均布内压作用的长圆筒，通过 Z 轴的一个纵截面就是对称面。由于 对称性，轴对问题共有 4 个应力分量： = zr z r { } （4-1） 其中 r 表示沿半径方向的正应力，称为径向应力； 表示沿θ方向的正应力，称为 环向应力或切向应力； z 表示沿 z 方向的正应力，称为轴向应力； zr 表示在圆柱面上沿 z 方向作用的剪应力。 同样，轴对称问题共有 4 个应变分量：
E (4-2) 其中E,表示沿半径方向的正应变,称为径向正应变:Ea表示沿方向的正应变,称为 环向正应变或切向正应变;E=表示沿z方向的正应变,称为轴向正应变;yx表示沿r和z 方向的剪应变。 在轴对称问题中,弹性体内任意一点上,不存在切向位移,只存在径向位移u和轴向位 移w,两个位移分量表示为, f (4-3) 在讨论弹性力学平面问题的有限元法时,我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合 体,由虚功方程得到单元刚度矩阵,集成后得到整体刚度矩阵。在这里,我们用虚功方程直 接得到轴对称问题的有限元列式 由虚功方程可得,外力虚功等于内力虚功或虚应变能 (4-4) 其中{F}为体力,{p}为面力 将弹性体离散后,作用在弹性体上的外载荷移置到节点上,在每个节点上外力只有径向 分量U1,U2…,Un,轴向分量W,W2…,Wn, {F}={W2 (4-5) 每个节点的虚位移也只有径向分量a,12…,n,轴向位移分量w1,w2…,n
= zr z r { } （4-2） 其中 r 表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变； 表示沿θ方向的正应变，称为 环向正应变或切向正应变； z 表示沿 z 方向的正应变，称为轴向正应变； zr 表示沿 r 和 z 方向的剪应变。 在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移 u 和轴向位 移 w，两个位移分量表示为， = w u { f } （4-3） 在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合 体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直 接得到轴对称问题的有限元列式。 由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能， dxdydz f F dxdydz f p ds T s T T { } { } { } { } { } { } * * * = + （4-4） 其中{F}为体力，{p}为面力。 将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向 分量 U U Un , ,..., 1 2 ，轴向分量 W W Wn , ,..., 1 2 ， = n n W U W U W U F ... { } 2 2 1 1 （4-5） 每个节点的虚位移也只有径向分量 * * 2 * 1 , ,..., u u un ，轴向位移分量 * * 2 * 1 , ,..., w w wn
6}=1w2 (4-6) 在单元中由虚位移引起的虚应变为, {E"}=[B]{G6"}° (4-7) 单元中的实际应力为 {G}°=[DB]{G}2 (4-8) 离散后的单元组合体的虚功方程为, }{F}=∑(6}°) B DIBS dxdydz (4-9) (F)=2(6))'J. [B][DILB]dxdyd-48 (4-10 K=.BDJB就是单元刚度矩阵 对于轴对称问题 [K]° [B] [DIB]rdrdEd0=27 [B] [DIB]rdrd= (4-11) 将(4-11)代入(4-10)可得 6}{F}=('}∑(GKrG)o (4-12) K]=∑(Kr(G)为整体刚度矩阵,得到方程组, [K]{G}={F (4-13)
= * * * 2 * 2 * 1 * 1 * ... { } n n w u w u w u （4-6） 在单元中由虚位移引起的虚应变为， e e { } [B]{ } * * = （4-7） 单元中的实际应力为， e e {} = [D][B]{} （4-8） 离散后的单元组合体的虚功方程为， = = n i e T T e e T F B D B dxdydz 1 * * { } { } ({ } ) [ ] [ ][ ]{} （4-9） e n i T e T e T { } {F} ({ } ) [B] [D][B]dxdydz{ } 1 * * = = （4-10） K B D B dxdydz T e e [ ] [ ] [ ][ ] = 就是单元刚度矩阵。 对于轴对称问题， K B D B rdrdzd B D B rdrdz e T T [ ] [ ] [ ][ ] 2 [ ] [ ][ ] 2 0 = = （4-11） 将（4-11）代入（4-10）可得 { } { } { } ([ ] [ ] [ ]){ } * * = e T T T e F G K G （4-12） = e T e [K] ([G] [K] ([G]) 为整体刚度矩阵，得到方程组， [K]{} = {F} （4-13）
42三结点单元位移函数 轴对称问题分析中所使用的三结点单元,在对称面上是三角形,在整个弹性体中是三棱 圆环,各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数,轴对称问题的三结 点三角形单元位移函数取为 u=a1+ar+a3 (4-14) M (m, zm) 2,21) 图4-2三结点单元 按照平面问题三角形单元的分析过程,将结点坐标和结点位移代入(4-14)得到, b, b, bm ru (4-15) (4-16) C 其中 (4-17) b 定义形态函数为, N=立(a1+b+c12)(下标im轮换)(4-18) 用矩阵表示的单元位移为
4.2 三结点单元位移函数 轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱 圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三结 点三角形单元位移函数取为， = + + = + + a a r a z u a a r a z 4 5 6 1 2 3 w （4-14） 图 4-2 三结点单元 按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（4-14）得到， = m j i i j m i j m i j m u u u c c c b b b a a a A a a a 2 1 3 2 1 （4-15） = m j i i j m i j m i j m w w w c c c b b b a a a A a a a 2 1 6 5 4 （4-16） 其中， m m j j i i r z r z r z A 1 1 1 2 1 = （4-17） i j m m j a = r z − z r ，bi = zj − zm ， i m j c = r − r 定义形态函数为， ( ) 2 1 a b r c z A Ni = i + i + i (下标 i,j,m 轮换) (4-18) 用矩阵表示的单元位移为
uli 1「N0N,0N Ni Ni0 N 43三结点单元刚度矩阵 轴对称问题的几何方程 E E (4-20) 02 au a 由(4-19)式得 24ov+ (4-2la) (4-2lb) r 2A 其中,∫=二+b2+二(下标轮换) (c1;+c (4-21c) 2-24c1l+c1+cm4m) (4-21d) ar 2A (b; wi +b (4-2le) 用几何矩阵表示单元的应变 {}=[B]{o} (4-22) B=BBB. (423)
= = m m j j i i i j m i j m w u w u w u N N N N N N w u f 0 0 0 0 0 0 (4-19) 4.3 三结点单元刚度矩阵 轴对称问题的几何方程： + = r w z u z w r u r u zr z r （4-20） 由（4-19）式得， ( ) 2 1 biui b ju j bmum r A u = + + （4-21a） ( ) 2 1 f iui f ju j fmum r A u = + + （4-21b） 其中， r cz b r a f i i i i = + + （下标轮换） ( ) 2 1 ciwi c jwj cmwm z A w = + + （4-21c） ( ) 2 1 ciui c ju j cmum z A u = + + （4-21d） ( ) 2 1 biwi b jwj bmwm r A w = + + （4-21e） 用几何矩阵表示单元的应变， e {} = [B] {} （4-22） [ ] [ ] B = Bi Bj Bm （4-23）