集合相等、子集关系 定义:集合相等当且仅当它们有同样的元素 A=B当且仅当x(x∈A←X∈B)∥外延原则 ●定义:集合A称为集合B的子集,记作AcB ●Vx(x∈A→x∈B) 如果AcB,但A≠B,则A是B的真子集,记作AcB ●定理:对任意集合A和B,A=B当且仅当 ●AcB.且BcA
集合相等、子集关系 ⚫ 定义：集合相等当且仅当它们有同样的元素 ⚫ A=B 当且仅当 x(xA ↔xB) //外延原则 ⚫ 定义：集合A称为集合B的子集，记作AB ⚫ x (xA → xB ) ⚫ 如果AB, 但AB，则A是B的真子集，记作AB ⚫ 定理：对任意集合A和B, A=B 当且仅当: ⚫ AB, 且BA
子集关系的一个性质 ·证明:如果XcY且YcZ,则XcZ 要证明:“对任意的a,如果a∈X,则a∈Z ●证明: 对任意的a∈X ●根据已知的“XcY,可得:a∈Y 根据已知的“Y←Z”,可得:a∈Z 所以,va(a∈X→a∈Z),即XZ
子集关系的一个性质 ⚫ 证明：如果XY且YZ, 则XZ ⚫ 要证明：“对任意的a, 如果 aX, 则 aZ” ⚫ 证明： ⚫ 对任意的 aX ⚫ 根据已知的“XY”，可得：aY ⚫ 根据已知的“YZ”，可得：aZ ⚫ 所以，a (aX → aZ ), 即XZ
集合的大小 ●有限集合及其基数 若S恰有n个不同的元素,n是自然数,就说S是有限集合, 而n是S的基数,记作SFn ●无限集合 如果一个集合不是有限的,就说它是无限的
集合的大小 ⚫ 有限集合及其基数 ⚫ 若S恰有n个不同的元素，n是自然数，就说S是有限集合， 而n是S的基数，记作|S|=n。 ⚫ 无限集合 ⚫ 如果一个集合不是有限的，就说它是无限的
空集 ●存在一个没有任何元素的集合:空集O ●关于空集的一些性质: ●空集是任何集合的子集。 O∈A,即Ⅴx(x∈0→>x∈A) ●空集是唯一的,可以用O表示 如果0,O2都是空集,则0102和O2O1均为真
空集 ⚫ 存在一个没有任何元素的集合：空集Ø ⚫ 关于空集的一些性质： ⚫ 空集是任何集合的子集。 ⚫ ØA，即 x(xØ → xA) ⚫ 空集是唯一的，可以用Ø表示 ⚫ 如果 Ø1 , Ø2都是空集，则 Ø1Ø2 和 Ø2Ø1 均为真
关于空集的讨论 空集本身可以是一个对象,可以是某个集合的元素 O∈{O},O∈{O ●事实上,我们从空集开始构造整个集合世界! 自然数 ●有理数 ●实数(幂集运算)
关于空集的讨论 ⚫ 空集本身可以是一个对象，可以是某个集合的元素 ⚫ Ø{Ø}, Ø{Ø} ⚫ 事实上，我们从空集开始构造整个集合世界！ ⚫ 自然数 ⚫ 有理数 ⚫ 实数（幂集运算） ⚫ …