实质:函数()有界+级数∑v()一致收敛 →u∑w()=∑以)v(→新级数一致收敛。 k= 证明:要证的是:任给E>0,看是否存在N(N与二无关),使 P 当N时,若有∑mw()<,则命题成立 D(或L)上(有界→()<M ∑()致收敛→任给8=元>0,存在N,使当n>N时,有 E W(z)<￡ M 现取N>N;n>N→n>N,所以
实质：函数 u(z)有界 + 级数 一致收敛 0 0 () () () () k k k k uz w z uzw z ∞ ∞ = = →=→ ∑ ∑ 新级数一致收敛。 证明：要证的是：任给ε′ > 0，看是否存在 N’(N’与 z 无关)，使 当 n>N’时，若有 1 () () n p k k n uzw z ε + = + ∑ < ′，则命题成立。 D（或 L）上 u(z)有界 0 1 ( ) 0, ( ) k k n p k k n wz N M w z M ε ε ε ε ∞ = + = + ′ ⇒ => ′ < = ∑ ∑ 一致收敛 任给 存在 ，使当n>N时，有 现取 N NnN nN ′ ′ > > ⇒> ； ,所以 ∑ ∞ =0 ( ) k k w z ⇒ u(z) < M
l(二)W2(z Wg(=<M k=n+l →∑(m()在D(或L)上一致收敛 k=0
' ' ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ε ε ∑ = ∑ < ⋅ = + = + + = + M u z w z u z w z M n p k n k n p k n k ∑ 在D(或L)上一致收敛 ∞ = ⇒ 0 ( ) ( ) k k u z w z
四、一致收敛级数的性质 性质1若级数∑"()在D内一致收敛于S(,且其各项均为D 内的连续函数,则S)也是D内的连续函数。 性质2若级数∑v(在曲线L上一致收敛于S=),且各项v() 均为L上的连续函数,则级数可沿L逐项积分: s(2dk=∑wd k=0
四、一致收敛级数的性质 性质 1 若级数 在 D 内一致收敛于 S ( z )，且其各项均为 D 内的连续函数，则 S ( z )也是 D 内的连续函数。 性质 2 若级数 在曲线 L 上一致收敛于 S ( z )，且各项 均为 L 上的连续函数，则级数可沿 L 逐项积分： ∞ ∫ ∫ = ∑ k L L k=0 s(z)dz w (z)dz ∑ ∞ = 0 ( ) k k w z w ( z ) ∑ k ∞ = 0 ( ) k k w z
性质3外尔斯特拉斯定理 若级数∑啊()在区域D的边界L上一致收敛,且各 项W(z)在区域D上解析,则 )级数和(=∑啊(在D内解析 (2)在D内级数可逐项求导任意多次 )=∑W(z)
性质 3 外尔斯特拉斯定理 若级数k 0 ∞ = ∑ k w (z)在区域 D的边界 L 上一致收敛，且各 项 k w (z)在区域D 上解析，则 (1) 级数和 0 ( ) k s z ∞ = = ∑ k w (z)在 D 内解析 (2) 在 D 内级数可逐项求导任意多次： ( ) 0 ( ) m k s z ∞ = = ∑ (m)k w (z)
证明:(1)设:z—边界L上任意一点,—D中任意 内点,构造)=2m:=2),则V=)在边界L上有界,又 ∑啊(2在边界上一致收敛,则级数∑啊2M2)272的 在边界L上也一致收敛。 设=∑啊(2,则级数2m2z-z可沿曲线L逐项积分
证明：(1).设： z′——边界 L 上任意一点，z ——D 中任意 一内点，构造 2 ( ' ) 1 ( ') i z z v z − = π ，则v(z') 在边界 L 上有界，又 k 0 ∞ = ∑ ′ k w (z )在边界上一致收敛，则级数 0 0 1 ( ) k k 2 v πi ∞ ∞ = = ′ ′ ′ = ∑ ∑ ′k k w (z ) w (z ) z z -z 在边界 L 上也一致收敛。 设 0 ( ) k s z ∞ = = ∑ k w (z)，则级数 0 12 k πi ∞= ′ ∑ ′k w (z ) z -z 可沿曲线 L 逐项积分