b判别法:∑F的每一项都是复数的模,即正实数,所以它实际 上就是正项级数,这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级 数的判别法。 若m=减比值判别法成m=”(根式判别法,则 在r1时是绝对收敛,在1时发散。 注意:一个收敛的级数并不一定绝对收敛,但绝对收敛的级数 定收敛:m“≤lin叫x
b.判别法： 0 k k z ∞ = ∑ 的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际 上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级 数的判别法。 若 1 lim ( lim k k k k k kz r zr →∞ →∞ z − = = 比值判别法)或 （根式判别法），则 0 k k z ∞=∑ 在 r<1 时是绝对收敛，在 r>1 时发散。 注意：一个收敛的级数并不一定绝对收敛，但绝对收敛的级数 一定收敛： 1 1 lim lim k k k k k k u u r →∞ →∞ u u − − ≤ =
5条件收敛级数的定义 若∑收敛而∑=发散,则称∑x为条件收敛级数。 k=0 、复变函数项级数 1.定义:∑v()=(2+w() …+w(z)+… 称为复变函数项级 数,其中z为复变数,W"()为复变函数。 在D上给定点公:复变函数项级数→>复数项级数 D上无数多个点z:复变函数项级数→无限多个复数项级数 2.复变函数项级数收敛的充要条件 充要条件:对于D上(或L)上的点z,任给ε>0,存在自然数 N(a2,当n>NE,)时,有
5. 条件收敛级数的定义 若 收敛而 发散，则称 为条件收敛级数。 二、复变函数项级数 1.定义： 称为复变函数项级 数，其中 z 为复变数， 为复变函数。 在D上给定点z：复变函数项级数 复数项级数 D上无数多个点z：复变函数项级数 无限多个复数项级数 2.复变函数项级数收敛的充要条件 充要条件：对于D上(或L)上的点z，任给 ，存在自然数 ，当 时，有 ∑ ∞ k=0 k z ∑ ∞ k =0 k z ∑ ∞ k=0 k z ∑ = + +"+ +" ∞ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 w z w z w z w z k k k w (z) k → → ε > 0 N(ε ,z) n > N(ε ,z)
∑v()<0(p为任意自然数) 则称∑()在点收敛。 对于不同的点z,自然数NE,)不同。 定义:若级数在D或L上所有点z收敛,则称级数在D(或L) 上收敛,∑(=)=S(称为级数和
( ) 0 1 ∑ < + = + n p k n k w z (p为任意自然数) 则称 在点z收敛。 对于不同的点z，自然数 不同。 定义：若级数在D(或L)上所有点z收敛，则称级数在D(或L) 上收敛， 称为级数和。 ∑ ∞ =0 ( ) k k w z N(ε ,z) ( ) ( ) 0 w z S z k ∑ k = ∞ =
3.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件 定义:任给>0,存在一个与z无关的自然数Ne) 当n>N(a)时,对D(或L)上所有z,均有 ∑w()6(p为任意自然数),则称 ∑w()在D(或L)一致收敛。 比较收敛与一致收敛的区别
3.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件 定义：任给 ε > 0 ，存在一个与 z无关的自然数 N( ) ε ， 当n N> ( ) ε 时，对 D（或 L）上所有 z，均有： 1 ( ) n p k k n w z ε + = + ∑ < （p 为任意自然数），则称 0 ( ) k k w z ∞ = ∑ 在 D（或 L）一致收敛。 比较收敛与一致收敛的区别!
致收敛级数的判别方法 判别法1(外尔斯特拉斯判别法) 已知正项级数收敛,若在D(或L)上的所有点均有w()sm, 则级数∑()在D(或L)上绝对且一致收敛。 实质:1找一个收敛的正项级数∑m(收敛性比较容易判断) 2将w(z)与m比较(在D上所有点) 判别法2 已知()在D(或L)上是个有界函数,若∑(在D(或L) 上一致收敛,则∑)w()也在D(或L)上一致收敛
三、一致收敛级数的判别方法 判别法 1（外尔斯特拉斯判别法） 已知正项级数收敛，若在 D（或 L）上的所有点均有 ( ) wz m k k ≤ ， 则级数 0 ( ) k k w z ∞ = ∑ 在 D（或 L）上绝对且一致收敛。 实质：1.找一个收敛的正项级数 0 k k m ∞ = ∑ （收敛性比较容易判断） 2. 将 ( ) w z k 与 mk 比较 （在 D 上所有点） 判别法 2 已知 u (z ) 在 D（或 L）上是个有界函数，若 0 ( ) k k w z ∞ = ∑ 在 D（或 L ） 上一致收敛，则 0 () () k k uzw z ∞ = ∑ 也在 D（或 L）上一致收敛