I s se2d2'= d e tIl el-e tIl E-2 ∑,E k=0 由柯西公式及n(z)解析,有 W(2) k=0 2TTiJL d=∑w()=S) 2-2 即 S(2) dz 丌l L-! 上式右边在D内对任意点可导→S(z)在D内解析
∑ ∫ ∫ ∑ ∫ − = − = − ∞ = ∞ = L k k L k k L dz z z w z i dz z z w z i dz z z S z i ' ' ( ') 2 1 ' ' ( ') 2 1 ' ' ( ') 2 1 0 0 π π π 由柯西公式及 解析，有 即 上式右边在D内对任意点z可导 S(z)在D内解析 ' ( ) ( ) '( ') 21 0 0 dz w z S z z z w z i k k L k k = = − ∑ ∫ ∑∞= ∞= π ∫ − = L dz z z S z i S z ' '( ') 21 ( ) π ⇒ w (z) k
2由于S(z)在D内解析,且S(z) 1 (2) dz 2TiJL zlt m! r s(z) →Sm(2)= dz d z 2xi1(2-2) m+1 22(2-)mt ∑v()可逐项积分→交换积分和求和次序: ()=∑ n Wi( 2ni1b(z-2) d=∑v(
2. 由于S(z)在D内解析，且 可逐项积分 交换积分和求和次序： ∫ − = L dz z z S z i S z ' '( ') 21 ( ) π ∫ ∑ ∫ + ∞ = + − = − ⇒ = L m k k L m m dz z z w z i m dz z z S z i m S z ' ( ' ) ( ') 2 ! ' ( ' ) ( ') 2 ! ( ) 1 0 1 ( ) π π ∑ ∞ =0 ( ) k k w z ⇒ ∑ ∫ ∑ ∞ = + ∞ = = − = L k m m k k k m dz w z z z w z i m S z 0 ( ) 1 0 ( ) ' ( ) ( ' )( ') 2 ! ( ) π
3.2幂级数 幂级数:常用的一种级数,实变函数幂级数的推广 幂级数的一般形式: (b=a4+a(2+)++4(-b+-(只有正幂项) k=0 a,b:复常数,b:幂级数的中心,a:幂级数的系数 、幂级数的敛散性 由于发散的幂级数没有多大用处,故首先必须研究幂 级数的敛散性
3.2 幂级数 幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广 幂级数的一般形式： 0 1 0 ( ) ( ) ... ( ) ... k k k k k a z b a az b a z b ∞ = ∑ − = + − ++ − + (只有正幂项) :复常数，b :幂级数的中心， ：幂级数的系数 一、幂级数的敛散性 由于发散的幂级数没有多大用处，故首先必须研究幂 级数的敛散性。 a b k , k a
阿贝尔定理 若幂级数∑(-在点收敛,则在任一闲圆 2-bs05-b(0<0<1)内,幂级数绝对且致收敛。 证明:级数在ˉ0点收敛,则lim(=-b=0,可知必定存 在正数ML,对所有k均有1(-6-0-=1(=1-6<M 又 2-b (2-b)=a(=0-b) <M <M6
1. 阿贝尔定理 若幂级数 0 ( )k k k azb ∞ = ∑ − 在点 0 z 收敛，则在任一闭圆 0 zb z b −≤ − θ (0 < θ < 1)内，幂级数绝对且一致收敛。 证明：级数在 点收敛，则 ，可知必定存 在正数 M，对所有 k 均有 又 0 0 z b zb z b z b − −= − − ∵ 0 0 0 () ( ) k k kk k k k zb zb azb az b M M zb zb θ − − ∴ −= − < ≤ − − 0 z ( 0 ) 0 lim − = →∞ k k k a z b a z b a z b M k k k k ( 0 − ) − 0 = ( 0 − ) <
而∑M是一个收敛的正项级数。由一致收敛级数判别 法1可知:∑(-b在闭圆=-b|-b内且绝对 致收敛 2推论若∑4(2-砂在点=发散,则级数必在圆 2-b=-b的外部发散。 证明:用反证法。设级数在圆=-b=1-b外的某点2收敛, 则由阿贝尔定理可知,给级数必在圆-b=2-b内才收敛, 级数必在某点z收敛,与定理条件矛盾,故级数必在点z2 发散
而 0 k k Mθ ∞ = ∑ 是一个收敛的正项级数。由一致收敛级数判别 法 1 可知： 0 ( )k k k azb ∞ = ∑ − 在闭圆 0 zb z b −≤ − θ 内且绝对一 致收敛。 2.推论 若 0 ( )k k k azb ∞ = ∑ − 在点 1 z z = 发散，则级数必在圆 1 zb z b −= − 的外部发散。 证明：用反证法。设级数在圆 外的某点 收敛， 则由阿贝尔定理可知，给级数必在圆 内才收敛， 级数必在某点 收敛，与定理条件矛盾，故级数必在点 发散。 z − b = z1 − b z −b = z2 −b 2 z 1z 2 z