求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当xEN*时所对应的一列函数值，根据.f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出x)的最值，进而求出数列的最大（小）项；[a,≥ag-1,(2)通过通项公式a，研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用[an≥an+a,≤an-1.(n≥2)确定最小项；La,≤an+ian+1，则aa+1>an，则数列(3)比较法:若有 aa+1 -a,=(n +1) -J(n)>0或a,>0时,(am是递增数列，所以数列(an)的最小项为a=f(1)；若有an+1-aa=(n+1)-f(n)<an+1<1)，则an+1<an，则数列(an)是递减数列，所以数列(an)的最大项为ai=0或an>0时，a.f(1) .[跟踪训练]1+an1.若数列(an)满足ai=2，n+1=则a202i的值为(01-anA. 2B. 311D.C.-321 + an解析：选AI因为1=2，am+1=1 - an1 + al1 + a21所以a23,0321- al1-a21 + a31 + a41=2a4=1-a33.(5=1 - (14故数列（an）是以4为周期的周期数列，故2 021=a505x4+1=(1=2.3n+k2．已知数列(an)的通项公式为an若数列a为递减数列，则实数k的取值范2"第11页共91页
第 11 页 共 91 页 求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)将数列视为函数 f(x)当 x∈N*时所对应的一列函数值，根据 f(x)的类型作出相应的函 数图象，或利用求函数最值的方法，求出 f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项； (2)通过通项公式 an 研究数列的单调性，利用 an≥an－1， an≥an＋1 (n≥2)确定最大项，利用 an≤an－1， an≤an＋1 (n≥2)确定最小项； (3)比较法：若有 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0 或an>0时， an＋1 an >1 ，则 an＋1＞an，则数列 {an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为 a1＝f(1)；若有 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜ 0 或an>0时， an＋1 an <1 ，则 an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为 a1＝ f(1)． [跟踪训练] 1．若数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝ 1＋an 1－an ，则 a2 021 的值为( ) A．2 B．－3 C．－ 1 2 D． 1 3 解析：选 A 因为 a1＝2，an＋1＝ 1＋an 1－an ， 所以 a2＝ 1＋a1 1－a1 ＝－3，a3＝ 1＋a2 1－a2 ＝－ 1 2 ， a4＝ 1＋a3 1－a3 ＝ 1 3 ，a5＝ 1＋a4 1－a4 ＝2， 故数列{an}是以 4 为周期的周期数列， 故 a2 021＝a505×4＋1＝a1＝2. 2．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 3n＋k 2 n ，若数列{an}为递减数列，则实数 k 的取值范
围为()A. (3, +o0)B. (2, +00)C. (1, +)D. (0,+)3n+3+k3n+k3-3n-k解析：选D因为an+1-am=，由数列a为递减数列知，-2"24+124+13-3n-k对任意nEN，an+1-ag<0，所以k>3-3n对任意nEN恒成立，所以kE(02″+1+8）.故选D.[课时过关检测]A级--基础达标1.数列3,6,12,21，x,48，中的x等于（)A.29B. 33C. 34D. 28解析：选B因为6-3=3=1×3,12-6=6=2×3,21-12=9=3×3，所以根据规律可得x-21=4×3，所以x=21+12=33.同时也满足48-33=15=5×3.故选B.I2.已知数列(an中，ai=3，an+1=a,+I 则能使 a,=3 的 n 的值可以等于(1A.15B. 16D. 18C.17114解析：选Ba1=3，an+1=.同理可得(3=-3.4=3,,观察..a2=4an+1可得an+3=a（nEN*），则a16=a5×3+1=1=3，因此能使an=3的n的值可以等于16.故选B.3.若数列(an)的前n项和S,满足：S,+Sm=Sh+m，且ai=1，则a1o=(A. 55B. 10C. 9D. 1解析：选D:S,+Sm=Su+m，令m=1，n=9，得S,+Si=S10，即S10-S,=Si=a=1，.a10=S10-Sg=1.故选D.4.在数列an中，“an+i>an”是“数列(an为递增数列”的）第12页共91页
第 12 页 共 91 页 围为( ) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选 D 因为 an＋1－an＝ 3n＋3＋k 2 n＋1 － 3n＋k 2 n ＝ 3－3n－k 2 n＋1 ，由数列{an}为递减数列知， 对任意 n∈N*，an＋1－an＝ 3－3n－k 2 n＋1 <0，所以 k>3－3n 对任意 n∈N*恒成立，所以 k∈(0， ＋∞)．故选 D. [课时过关检测] A 级——基础达标 1．数列 3,6,12,21，x,48，.中的 x 等于( ) A．29 B．33 C．34 D．28 解析：选 B 因为 6－3＝3＝1×3,12－6＝6＝2×3,21－12＝9＝3×3，所以根据规律可 得 x－21＝4×3，所以 x＝21＋12＝33.同时也满足 48－33＝15＝5×3.故选 B. 2．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－ 1 an＋1 ，则能使 an＝3 的 n 的值可以等于( ) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：选 B ∵a1＝3，an＋1＝－ 1 an＋1 ，∴a2＝－ 1 4 .同理可得 a3＝－ 4 3 ，a4＝3，.，观察 可得 an＋3＝an(n∈N* )，则 a16＝a5×3＋1＝a1＝3，因此能使 an＝3 的 n 的值可以等于 16.故选 B. 3．若数列{an}的前 n 项和 Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，则 a10＝( ) A．55 B．10 C．9 D．1 解析：选 D ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴令 m＝1，n＝9，得 S9＋S1＝S10，即 S10－S9＝S1＝a1 ＝1，∴a10＝S10－S9＝1.故选 D. 4．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B“[an+>an”→an+1>n或-an+1>An，充分性不成立，数列(an)为递增数列lan+≥an+>an成立，必要性成立，“Au+a”是“数列an为递增数列”的必要不充分条件.故选B.115.(多选)已知数列an满足a则下列各数是（a的项的有（2'an+11-anB.3A. -233c.D. 312111解析：选BD因为数列(a满足a1,ant1-(120323'1-(.)1-a1 - dn(211=a1，数列(a)是周期为3的数列，且前3项为-,，3，故选B、=304=2231-a3D.1 1.21.2.3112+3+..6. (多选)2021-并射市高三模拟)已知数列(ag;+,++，10+10+1091+,若b,设数列(bm)的前n项和 Sn，则(10aautiA. an=B. an=n24n5nD. S,=C. S,=n+1n+11+2+3+...+nn12I解析：选ACe由题意得an..bn=2n+1n+1n+1n+154n+1nn+i"n(n+)22数列bm的前n项和S.bl+b2+b3+bn-4nC.+).---故选A、C+1n+1业gVYm+n7.已知数列根据前3项给出的规律，实数对（m4'6'm-n'2210n)为第13页共91页
第 13 页 共 91 页 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B “|an＋1|>an”⇒an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列 ⇒|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，∴“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充 分条件．故选 B. 5．(多选)已知数列{an}满足 a1＝－ 1 2 ，an＋1＝ 1 1－an ，则下列各数是{an}的项的有( ) A．－2 B． 2 3 C． 3 2 D．3 解析：选 BD 因为数列{an}满足 a1＝－ 1 2 ，an＋1＝ 1 1－an ，∴a2＝ 1 1－ － 1 2 ＝ 2 3 ，a3＝ 1 1－a2 ＝3，a4＝ 1 1－a3 ＝－ 1 2 ＝a1，∴数列{an}是周期为 3 的数列，且前 3 项为－1 2 ， 2 3 ，3，故选 B、 D. 6．(多选)(2021·开封市高三模拟)已知数列{an}： 1 2 ， 1 3 ＋ 2 3 ， 1 4 ＋ 2 4 ＋ 3 4 ，.， 1 10＋ 2 10＋ 3 10＋. ＋ 9 10，.，若 bn＝ 1 an·an＋1 ，设数列{bn}的前 n 项和 Sn，则( ) A．an＝ n 2 B．an＝n C．Sn＝ 4n n＋1 D．Sn＝ 5n n＋1 解析：选 AC 由题意得 an＝ 1 n＋1 ＋ 2 n＋1 ＋.＋ n n＋1 ＝ 1＋2＋3＋.＋n n＋1 ＝ n 2 ，∴b n＝ 1 n 2 · n＋1 2 ＝ 4 n(n＋1) ＝4 1 n － 1 n＋1 ， ∴ 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 Sn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ . ＋ bn ＝ 4 1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋.＋ 1 n － 1 n＋1 ＝4 1－ 1 n＋1 ＝ 4n n＋1 .故选 A、C. 7．已知数列 3 2 ， 5 4 ， 7 6 ， 9 m－n ， m＋n 10 ，.，根据前 3 项给出的规律，实数对(m， n)为 ．
m-n=8,解析：由数列的前3项的规律可知m+n=1l,19m=23解得故实数对(m，n)为3Ln=2:31228.已知数列a的前n项和S,=n2+十2n十1，则a,=解析：当n=1时，a1=Si=1+2+1=4；当n≥2时，an=S-Sh-1=2n+1,经检验a1=4不适合an=2n+1，[4, (n=1) ,故an=[2n+1,(n≥2)[4, (n=1),答案：[2n+1, (n≥2)n+1项.9.已知数列的通项为a3n-16(nEN),则数列(a)的最小项是第n+1n+116解析：因为an=数列(an)的最小项必为an<0即<0,3n-16<0从而m33n-163n-16又因为nEN*，且数列(an的前5项递减，所以n=5时an的值最小.答案：5110.(2021·衡阳市高三联考）在数列(a中，a1=3，an+1=an十则a2=nn+1)通项公式an=117=3+解析：由已知，a2=a1+1X2=322111因为an+1-an)nn+1n(n+ 1)1所以 a2 - (1=1 -211a3 - az =23...第14页共91页
第 14 页 共 91 页 解析：由数列的前 3 项的规律可知 m－n＝8， m＋n＝11， 解得 m＝ 19 2 ， n＝ 3 2 ， 故实数对(m，n)为 19 2 ， 3 2 . 答案： 19 2 ， 3 2 8．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n 2＋2n＋1，则 an＝ . 解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， 经检验 a1＝4 不适合 an＝2n＋1， 故 an＝ 4，(n＝1)， 2n＋1，(n≥2). 答案： 4，(n＝1)， 2n＋1，(n≥2) 9．已知数列的通项为 an＝ n＋1 3n－16(n∈N* )，则数列{an}的最小项是第 项． 解析：因为an＝ n＋1 3n－16 ，数列{an}的最小项必为an<0，即 n＋1 3n－16 <0,3n－16<0，从而n< 16 3 ， 又因为 n∈N*，且数列{an}的前 5 项递减，所以 n＝5 时 an的值最小． 答案：5 10．(2021·衡阳市高三联考)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ 1 n(n＋1) ，则 a2＝ ， 通项公式 an＝ . 解析：由已知，a2＝a1＋ 1 1×2 ＝3＋ 1 2 ＝ 7 2 . 因为 an＋1－an＝ 1 n(n＋1) ＝ 1 n － 1 n＋1 ， 所以 a2－a1＝1－ 1 2 ， a3－a2＝ 1 2 － 1 3 ，
11an-an-1=n-ln1以上(n-1)个式子累加可得，an-ai=1-n因为 a=3,所以a,=4-1n3 4-1答案：2n11.已知数列(an)的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=一5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于nEN，都有an+>an，求实数k的取值范围.解：(1)由 n2-5n+4<0,解得1<n<4因为nEN*，所以n=23，所以数列中有两项是负数，即为a2，(3因为a,=n-5n+4=(-)-2-4由二次函数性质，得当n=2或n=3时，a,有最小值，其最小值为a2=a3=-2(2)由an+1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an=n2+kn+4，可以看作k3是关于n的二次函数，考虑到nEN，所以-22，解得>-3.所以实数k的取值范围为（-3，+）.12.已知数列(an满足ai=3，an+1=4an十3(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列(an)的通项公式；an+1+1(2)证明：a,+1 =4.解：(1)a=3az=15，a3=63，a4=255因为a1=4-1，a2=42-1，3=43-1，=4t-1，，所以归纳得a=4"-1.(2)证明：因为am+1=4am+3，an+1+1 4au+3+1 4(an+1)所以=4aa +1an +1an + 1B级一一综合应用第15页共91页
第 15 页 共 91 页 an－an－1＝ 1 n－1 － 1 n ， 以上(n－1)个式子累加可得，an－a1＝1－ 1 n ， 因为 a1＝3，所以 an＝4－ 1 n . 答案：7 2 4－ 1 n 11．已知数列{an}的通项公式是 an＝n 2＋kn＋4. (1)若 k＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)对于 n∈N*，都有 an＋1>an，求实数 k 的取值范围． 解：(1)由 n 2－5n＋4<0，解得 1<n<4. 因为 n∈N*，所以 n＝2,3， 所以数列中有两项是负数，即为 a2，a3. 因为 an＝n 2－5n＋4＝ n－ 5 2 2－ 9 4 ， 由二次函数性质，得当 n＝2 或 n＝3 时，an有最小值，其最小值为 a2＝a3＝－2. (2)由 an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an＝n 2＋kn＋4，可以看作 是关于 n 的二次函数，考虑到 n∈N*，所以－k 2 < 3 2 ，解得 k>－3. 所以实数 k 的取值范围为(－3，＋∞)． 12．已知数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝4an＋3. (1)写出该数列的前 4 项，并归纳出数列{an}的通项公式； (2)证明：an＋1＋1 an＋1 ＝4. 解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255. 因为 a1＝4 1－1，a2＝4 2－1，a3＝4 3－1，a4＝4 4－1，.，所以归纳得 an＝4 n－1. (2)证明：因为 an＋1＝4an＋3， 所以 an＋1＋1 an＋1 ＝ 4an＋3＋1 an＋1 ＝ 4(an＋1) an＋1 ＝4. B 级——综合应用