[解题技法]1.已知S,求a的3个步骤(1)先利用ai=Si求出al;(2)用n-1替换S,中的n得到一个新的关系利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时a.的表达式；(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并。2.S.与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用an=Sm-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解；(2)利用S-S-1=a(n≥2)转化为只含am，an-的关系式，再求解.[跟踪训练]1.数列(an的前n项和S,=2n2-3n(nEN)，若p-q=5，则ap—a,=（）A. 10B. 15D. 20C. 5解析：选D当n≥2时,am=S,-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)-3(n-1)]=4n-5;当n=1时，a1=S=-1，符合上式，所以an=4n-5，所以ap-a,=4(p-q)=20.2.已知数列(an)的前n项和S,=(一1)"+1-n，则as+a6=an=解析: as + a6=S - S4=( - 6) -(- 4)= - 2.当n=1时，1=Si=1;当n≥2时,an=Sh - Sn-1=(- 1)n+I-n -( - 1)"-(n - 1)=( - 1)"+1 [n + (n - 1)]=( - 1)*+1-(2n - 1) ,又也适合于此式，所以 a,=(- 1)"+1.(2n - 1) .答案：—2(—1)a+1.(2n-1)老点由递推关系求通项公式第6页共91页
第 6 页 共 91 页 [解题技法] 1．已知 Sn求 an的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an的表达式； (3)注意检验 n＝1 时的表达式是否可以与 n≥2 时的表达式合并． 2．Sn与 an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式，再求解； (2)利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解． [跟踪训练] 1．数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n 2－3n(n∈N* )，若 p－q＝5，则 ap－aq＝( ) A．10 B．15 C．－5 D．20 解析：选 D 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n 2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5；当 n ＝1 时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以 an＝4n－5，所以 ap－aq＝4(p－q)＝20. 2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝(－1)n＋1 ·n，则 a5＋a6＝ ，an＝ . 解析：a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2. 当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1 ·n－(－1)n ·(n－1) ＝(－1)n＋1 ·[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1 ·(2n－1)， 又 a1 也适合于此式， 所以 an＝(－1)n＋1 ·(2n－1)． 答案：－2 (－1)n＋1 ·(2n－1) 由递推关系求通项公式
[师生共研过关][例2]设数列(an中，ai=2，an+1=a十n十1，则a,=[解析】由条件知aa+1-an=n+1.则 an = (a2 - al) + (a3 - a2) + (a4 - a3) + *" + (an - an-1) + a1=(2 +3 + 4+ *" + n) +2=n°+n+22n2+n+2又a=2适合上式，故a=2n2+n+2[答案]2[对点变式]1.(变条件)若将“an+1=an+n+1”改为“au+1=+{a"，如何求解?解：：an+1=an，a1=2,..a,0.n+1an+1ann+1nan-1ag-2432..an=aaza1an-1an-2an-3n-1n-2n-312.2·2=nn2n-1n-2又=2适合上式，故4,=元2.(变条件)若将“an+1=an十n+1”改为“an+1=2an+3”，如何求解？解：设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(aa-t)，即an+1=2an-t，解得t= - 3.故原式可化为am+1+3=2（a+3）：bn+1an+1+3令b=a,+3，则bi=a1+3=5，且= 2.ban+3所以(bn）是以5为首项，2为公比的等比数列。所以bh=5×2"-1，故an=5×2-1-3.第7页共91页
第 7 页 共 91 页 [师生共研过关] [例 2] 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝ . [解析] 由条件知 an＋1－an＝n＋1. 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋.＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋.＋n)＋2＝ n 2＋n＋2 2 . 又 a1＝2 适合上式，故 an＝ n 2＋n＋2 2 . [答案] n 2＋n＋2 2 [对点变式] 1.(变条件)若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝ n n＋1 an”，如何求解？ 解：∵an＋1＝ n n＋1 an，a1＝2，∴an≠0. ∴ an＋1 an ＝ n n＋1 . ∴an＝ an an－1 · an－1 an－2 · an－2 an－3 ·.· a3 a2 · a2 a1 ·a1 ＝ n－1 n · n－2 n－1 · n－3 n－2 ·.· 1 2 ·2＝ 2 n . 又 a1＝2 适合上式，故 an＝ 2 n . 2.(变条件)若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？ 解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)，即 an＋1＝2an－t，解得 t ＝－3. 故原式可化为 an＋1＋3＝2(an＋3)． 令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝5，且 bn＋1 bn ＝ an＋1＋3 an＋3 ＝2. 所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列． 所以 bn＝5×2 n－1，故 an＝5×2 n－1－3
[解题技法]由数列递推式求通项公式的常用方法形如a.=pa1+m(p、m为常数，p±1，m0）时，（构造法））构造等比数列形如a,=aa-Itf(n)((f(n)可求和）时，用累加法累加法）求解果积[形如-a)(n)可来积)时,用果积法求解)【提醒】利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到"漏掉aT而导致错误；二是根据连乘求出a,之后，不注意检验ai是否成立。[跟踪训练]1.已知数列(an中，a1=1中，an+1=an十n(nEN)中，则a4=,an=解析：由题意可得ai=1，an+1-an=n，则 a,= ai + (a2 - ai) + (a - a2)+*** + (an - an- 1)n(n-1)n2-n+2=1+[1+2+3+...+(n-1)]=1+22n?-n+2又a1=1也适合此式，故am=242 - 4 + 2则a4==7.2n2-n+2答案：722.设数列(an满足a=1，an+1=2"an，则通项公式anan =2m-(n≥2) ,解析：由an+1=2"am，得an-1n(n- 1)anan-1az-a1 =2"-1.2-2....2-1 =21+2+3+*+(n.1);所以an2aian-1an-2n(n - 1)又1=1适合上式，故a=22(n-1)答案：22第8页共91页
第 8 页 共 91 页 [解题技法] 由数列递推式求通项公式的常用方法 [提醒] 利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a2 a1 ，漏掉 a1 而导致错误；二是根据连乘求出 an之后，不注意检验 a1 是否成立． [跟踪训练] 1．已知数列{an}中，a1＝1 中，an＋1＝an＋n(n∈N* )中，则 a4＝ ，an＝ . 解析：由题意可得 a1＝1，an＋1－an＝n， 则 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋.＋(an－an－1) ＝1＋[1＋2＋3＋.＋(n－1)]＝1＋ n(n－1) 2 ＝ n 2－n＋2 2 ， 又 a1＝1 也适合此式，故 an＝ n 2－n＋2 2 ， 则 a4＝ 4 2－4＋2 2 ＝7. 答案：7 n 2－n＋2 2 2．设数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2 nan，则通项公式 an＝ . 解析：由 an＋1＝2 nan，得 an an－1 ＝2 n－1 (n≥2)， 所以 an＝ an an－1 · an－1 an－2 ·.· a2 a1 ·a1＝2 n－1 ·2n－2 ·.·2·1＝2 1＋2＋3＋.＋(n－1)＝2 n(n－1) 2 . 又 a1＝1 适合上式，故 an＝2 n(n－1) 2 . 答案：2 n(n－1) 2
考点三数列的函数特征[定向精析突破]考向1数列的周期性[例3]已知数列(an中，ai=1，a2=2，且anam+2=n+1(nEN)，则a2020的值为(A. 2B. 111D.C.24[解析】因为anan+2=an+i(nEN')，由a=1，2=2，得3=2，由a2=2，(3=2，得a4=11由4=2, 4=1,得4s=2,112,得=2,由a4=1,as=-I由as =2得a7=1,2.46=1由=2,=1,得=2,由此推理可得数列（an是周期为6的数列，所以a2020=4=1，故选B[答案] B[解题技法]解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值，考向2数列的单调性(最值)[2"-1,n≤4,[例4]数列(an)的通项公式为an=5(nEN),若as是(a)中的最[-n2+(a-1)n, n≥5大值，则a的取值范围是[解析】当n≤4时，an=2"-1单调递增，因此n=4时取最大值，a4=24-1=15；当n≥5时，an=-n2+(a-1)n第9页共91页
第 9 页 共 91 页 数列的函数特征 [定向精析突破] 考向 1 数列的周期性 [例 3] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且 an·an＋2＝an＋1(n∈N* )，则 a2 020 的值为( ) A．2 B．1 C． 1 2 D． 1 4 [解析] 因为 an·an＋2＝an＋1(n∈N* )， 由 a1＝1，a2＝2，得 a3＝2， 由 a2＝2，a3＝2，得 a4＝1， 由 a3＝2，a4＝1，得 a5＝ 1 2 ， 由 a4＝1，a5＝ 1 2 ，得 a6＝ 1 2 ， 由 a5＝ 1 2 ，a6＝ 1 2 ，得 a7＝1， 由 a6＝ 1 2 ，a7＝1，得 a8＝2， 由此推理可得数列{an}是周期为 6 的数列， 所以 a2 020＝a4＝1，故选 B. [答案] B [解题技法] 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 考向 2 数列的单调性(最值) [例 4] 数列{an}的通项公式为 an＝ 2 n－1，n≤4， －n 2＋(a－1)n，n≥5 (n∈N* )，若 a5 是{an}中的最 大值，则 a 的取值范围是 ． [解析] 当 n≤4 时，an＝2 n－1 单调递增， 因此 n＝4 时取最大值，a4＝2 4－1＝15； 当 n≥5 时，an＝－n 2＋(a－1)n
因为as是(an)中的最大值，a-1≤5.5,2所以(-25 +5(a-)≥15 ,解得9≤a≤12.所以a的取值范围是[9,12][答案] [9,12][解题技法]解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据an+1-a的符号判断数列(an)是递增数列、递减数列或是常数列an+1作商比较法根据一(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断a数形结合法结合相应函数的图象直观判断考向3数列的最大（小）项n[例5]数列(an)的通项an则数列(an)中的最大项是(n2+90A.3V10B. 19Vo1C.D.196090(x>0)，运用基本不等式得.x)≥6/10，当且仅当x=3V10时等[解析]令f(x)=x+X号成立。11190·所以因为an=，由于nEN，不难发现当n=9或n=10时，an=906V10n+n+nh11g最大.[答案] C[解题技法]第10页共91页
第 10 页 共 91 页 ＝－ n－ a－1 2 2＋ (a－1) 2 4 . 因为 a5 是{an}中的最大值， 所以 a－1 2 ≤5.5， －25＋5(a－1)≥15， 解得 9≤a≤12.所以 a 的取值范围是[9,12]． [答案] [9,12] [解题技法] 解决数列的单调性问题的 3 种方法 作差比较法 根据 an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据 an＋1 an (an>0 或 an<0)与 1 的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 考向 3 数列的最大(小)项 [例 5] 数列{an}的通项 an＝ n n 2＋90，则数列{an}中的最大项是( ) A．3 10 B．19 C． 1 19 D． 10 60 [解析] 令 f(x)＝x＋ 90 x (x＞0)，运用基本不等式得 f(x)≥6 10，当且仅当 x＝3 10时等 号成立． 因为 an＝ 1 n＋ 90 n ，所以 1 n＋ 90 n ≤ 1 6 10 ，由于 n∈N*，不难发现当 n＝9 或 n＝10 时，an＝ 1 19最大． [答案] C [解题技法]