高等数学（一）当x很小时，可以推得：(1) /1+x=1+=(2) e*~1+xn(3) In(1+x)~x(4) sinx=x(x为弧度)(5) tanx=x(x为弧度）复习与思考题习题三A组B组拓展阅读书目：（列每章章末）高等数学第五版上册同济大学应用数学系主编袁荫棠主编经济数学基础（一）微积分解题思路和方法数学复习指南（经济类、考研数学系列）陈文灯主编数学的思想，方法和应用张顺燕主编大学文科高等数学姚孟臣编刘书田主编微积分学习辅导与解题方法31
高等数学（一） 31 当 x 很小时, 可以推得： （1） 1 1 n x x n + ≈+ （2） 1 x e x ≈ + （3）ln(1 ) + ≈ x x （4）sin x ≈ x ( x 为弧度) （5） tan x ≈ x ( x 为弧度) 复习与思考题 习题三 A 组 B 组 拓展阅读书目：（列每章章末） 高等数学 第五版 上册 同济大学应用数学系主编 经济数学基础（一）微积分解题思路和方法 袁荫棠主编 数学复习指南（经济类、考研数学系列） 陈文灯主编 数学的思想，方法和应用 张顺燕主编 大学文科高等数学 姚孟臣编 微积分学习辅导与解题方法 刘书田主编
经济学专业课程教学大纲第四章中值定理导数的应用本章的教学目的和基本要求：1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解柯西(Cauchy)中值定理,掌握这三个定理的简单应用；2.会用罗彼塔(L'Hospital)法则求极限；3.掌握函数单调性的判别方法及简单应用，掌握函数极值、最大值和最小值的求法（含简单的应用题）；4.会用导数判断函数图形的凹向，会求函数图形的拐点和渐近线；5.掌握函数作图的基本步骤和方法，会做简单函数的图形：6了解导数的经济意义（边际和弹性的概念）。本章的知识点重点和难点微分中值定理罗彼塔(L"Hospital)法则求极限函数的单调性函数的极值函数图形的凹向性、拐点、渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值重点：微分中值定理罗彼塔(L'Hospital)法则求极限函数图形的描绘函数的最大值与最小值难点：微分中值定理罗彼塔(L'Hospital)法则求极限学时分配6×2=12第一节中值定理一、罗尔(Rolle)定理(一)定理1（Rolle中值定理）若函数f满足如下条件：（1）f在闭区间[a,b]上连续；(2）f在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)-f(b);则在(a,b)内至少存在一点≤，使得f()=0。（二)几何意义：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线。罗尔定理肯定了点的存在性及其取值范围，却不能肯定点的确切个数及准确位置。注意：定理中三个条件缺一不可。但也不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于(a,b)的，使得f()=0。二、拉格朗日(Lagrange)中值定理（一)定理2（Lagrange中值定理）若函数f满足如下条件：（1）f在闭区间[a,b]上连续；（2）f在开区间(a,b)内可导；32
经济学专业课程教学大纲 32 第四章 中值定理 导数的应用 本章的教学目的和基本要求： 1．理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解柯西(Cauchy)中值定理,掌握这三 个定理的简单应用； 2．会用罗彼塔(L’Hospital)法则求极限； 3．掌握函数单调性的判别方法及简单应用，掌握函数极值、最大值和最小值的求法（含简单 的应用题）； 4．会用导数判断函数图形的凹向，会求函数图形的拐点和渐近线； 5．掌握函数作图的基本步骤和方法,会做简单函数的图形； 6．了解导数的经济意义（边际和弹性的概念）。 本章的知识点 重点和难点 微分中值定理 罗彼塔(L’Hospital)法则求极限 函数的单调性 函数的极值 函数图形的凹 向性、拐点、渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 重点：微分中值定理 罗彼塔(L’Hospital)法则求极限 函数图形的描绘 函数的最大值与最小 值 难点：微分中值定理 罗彼塔(L’Hospital)法则求极限 学时分配 6×2=12 第一节 中值定理 一、 罗尔(Rolle)定理 (一)定理 1 （Rolle 中值定理）若函数 f 满足如下条件： （1）f 在闭区间[a,b]上连续； （2）f 在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)； 则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 f '( ) 0 ξ = 。 (二)几何意义：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的高度相同，则在此曲线上至少存在 一条水平切线。 罗尔定理肯定了点ξ 的存在性及其取值范围，却不能肯定点ξ 的确切个数及准确位置。 注意：定理中三个条件缺一不可。但也不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于(a,b) 的ξ ，使得 f '( ) 0 ξ = 。 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 (一)定理 2 （Lagrange 中值定理）若函数 f 满足如下条件： （1）f 在闭区间[a,b]上连续； （2）f 在开区间(a,b)内可导；
高等数学（一)（3）则在(a,b)内至少存在一点，使得(5)=(6)=(（拉格明日公式)b-a(二)几何意义：如果曲线弧AB是连续的，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧B上至少有一点C，在该点处曲线的切线平行于弦AB。(三)几种变形，可根据不同场合灵活采用f(b)-f(a)= f'()(b-a),a<=<bf(b)-f(a)= f'[a+(b-a)(b-a),0<<1f(a+h)-f(a)= f'(a+0h)h,0<0<1,b=a+h(四)推论1：若函数f在区间1上可导，且f（x)=0，则f为I上的一个常量函数。推论2：若函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内可导，并且f(x)=g(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+C (C为常数)三、柯西(Cauchy)中值定理定理3（Cauchy中值定理）若函数f(x）和g(x)满足如下条件：f(x)和g(x)在闭区间[a,b)上连续；f(x)和g(x)在开区间(a,b)内可导：f(x)与g(x)在(a,b)内不同时为零：g(a)≠g(b)则在(a.b)内至少存在一点，使得J'(三) _ f(b)- f(a)g()g(b)-g(a)第二节未定式的定值法-罗彼塔(L'Hospitai)法则0.型不定式极限0定理若函数f(x)和g(x)在点xo的某一邻域（点xo可以除外）内有定义，且满足条件：(1) lim f(x)= lim g(x)=0x→x33
高等数学（一） 33 （3）则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 () () '( ) f b fa f b a ξ = = − （拉格朗日公式） (二)几何意义：如果曲线弧 AB 是连续的，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线 弧 AB 上至少有一点 C，在该点处曲线的切线平行于弦 AB。 (三)几种变形，可根据不同场合灵活采用 f ( ) ( ) '( )( ), b fa f b a a b − = − << ξ ξ fb fa f a b a b a ( ) ( ) '[ ( )]( ),0 1 − = + − − << θ θ f ( ) ( ) '( ) ,0 1, a h f a f a hh b a h + − = + << =+ θ θ (四)推论 1：若函数 f 在区间 I 上可导，且 f x '( ) 0 ≡ ，则 f 为 I 上的一个常量函数。 推 论 2 ：若函数 f(x) 和 g(x) 在区间 (a,b) 内可导，并且 f '( ) '( ) x gx ≡ ，则在 (a,b) 内 f () () x gx C = + （C 为常数） 三、柯西(Cauchy)中值定理 定理 3 （Cauchy 中值定理） 若函数 f ( ) x 和 g( ) x 满足如下条件： f ( ) x 和 g( ) x 在闭区间[a,b]上连续； f ( ) x 和 g( ) x 在开区间(a,b)内可导； f '( ) x 与 g x'( ) 在(a,b)内不同时为零； g a( ) ≠ g b( ) 则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) f fb fa g gb ga ξ ξ − = − 第二节 未定式的定值法-罗彼塔(L’Hospitai)法则 一、 0 0 型不定式极限 定理 若函数 f(x)和 g(x)在点 x0 的某一邻域（点 x0可以除外）内有定义，且满足条件： （1） 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 xx xx f x gx → → = =
经济学专业课程教学大纲(2）f(x)与g(x)在xo的某空心邻域内可导，且g'(x)+0；f(x)(3) lim == A(AeR,o0,0)+o g'(x)f(x)f'(x)= lim则limAr→o g(x)+o g(x)80型不定式极限定理：若函数f(x)和g(x)在点xo的某一邻域（点xo可以除外）内有定义，且满足条件：(1) lim f(x)= lim g(x)= 00X→x0x-→Xo(2）f(x)与g(x)在xo的某空心邻域内可导，且g'(x)0f'(x)(3) limA(AeR,±00,00)x-o g(x)f(x)f(x)limA则lim0 g(x)x-+o g'(x)二()仍为~或型可继续对此极限式应用罗彼塔法则，由此类推可多次连注：（1）若lim0x g(x)80imimf(n)(x)=lim续使用此法则。」+o g'(x)1-0 g"(x)x- g(n)(x)（2）求导过程中要注意化简，也可使用其它求极限的方法，如等价无穷小代换等(3)当 limL()不存在时（不是），limL(只仍可能存在g(x)g (x)三、其他类型不定式极限：00，1°,0°,°,00-00方法：通过适当变换，化为或=型。0x00第三节函数的增减性单调函数是一重要的函数类，对此，我们从极限、连续等知识看到了它的一些特性。下面将讨论怎样运用导数这一工具判断函数的单调性。定理设函数f(x)在区间(a,b)内可导，那么34
经济学专业课程教学大纲 34 （2）f(x)与 g(x)在 x0 的某空心邻域内可导，且 g x ′( ) ≠ 0 ； （3） 0 '( ) lim ( , , ) '( ) x x f x A A → g x = ∈ℜ ±∞ ∞ 则 0 0 ( ) '( ) lim lim ( ) '( ) xx xx fx f x A → → gx g x = = 二、 ∞ ∞ 型不定式极限 定理：若函数 f(x)和 g(x)在点 x0 的某一邻域（点 x0 可以除外）内有定义，且满足条件： （1） 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x gx → → = =∞ （2）f(x)与 g(x)在 x0 的某空心邻域内可导，且 g x ′( ) ≠ 0 ； （3） 0 '( ) lim ( , , ) '( ) x x f x A A → g x = ∈ℜ ±∞ ∞ 则 0 0 ( ) '( ) lim lim ( ) '( ) xx xx fx f x A → → gx g x = = 注：（1）若 0 '( ) lim '( ) x x f x → g x 仍为 0 0 或 ∞ ∞ 型可继续对此极限式应用罗彼塔法则，由此类推可多次连 续使用此法则。 0 '( ) lim '( ) x x f x → g x = 0 "( ) lim "( ) x x f x → g x =.= 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) n n x x f x → g x =. （2）求导过程中要注意化简，也可使用其它求极限的方法， 如等价无穷小代换等 (3)当 lim ( ) ( ) ' ' g x f x 不存在时（不是∞ ），lim ( ) ( ) ' ' g x f x 仍可能存在 三、其他类型不定式极限：0∞ ， ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ 1 ,0 , , 0 方法：通过适当变换，化为 ∞ ∞ 或 0 0 型。 第三节 函数的增减性 单调函数是一重要的函数类，对此，我们从极限、连续等知识看到了它的一些特性。下面将讨 论怎样运用导数这一工具判断函数的单调性。 定理 设函数 f(x)在区间(a,b)内可导，那么
高等数学（一）如果xE(a,b)时恒有f(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调增加;如果xE(a,b)时恒有f(x)<0，则f(x)在(a,b)内单调减少；注意：如果在区间(ab)内f(x)≥0（或f(x)≤0），但等号只在个别点处成立，则函数f(x)在(a,b)内仍是单调增加（或单调减少）的。第四节函数的极值一、函数极值的定义1.定义：设函数f(x)在点xo的某邻域内有定义，如果对该邻域内一切异于xo的x,恒有f(x)<f(xo)，则称f(xo)是函数f(x)的一个极大值，点xo称为函数f(x)的极大值点；如果对该邻域内一切异于xo的x，恒有f(x)>f(xo)，则称f(xo)是函数f(x)的一个极小值，点xo称为函数f(x)的极小值点；2．极值的局部性：极值是曲线增减的局部转折点。二、函数极值存在的必要条件定理：设函数f(x)在点xo处具有导数，且xo是极值点，则必有于（x。）=0。说明：此命题的逆命题不一定成立，极值点还有可能是导数不存在的点。所以，函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点，反之不成立。三、判定极值的充分条件(一)定理（极值的第一充分条件）设函数f(x)在xo的某邻域(xo-8，Xo+8)内连续并且可导（但在点xo处导数可以不存在）(1）如果当xE(x-8,x）时，f(x)>0，而当xE(x,x+)时，f(x)<0，则函数f(x)在点xo处取极大值f(xo);(2）如果当xE(x-0,xo)时，f(x)<0，而当xE(Xo,X+)时，f(x)>0，则函数f(x)在点xo处取极小值f(xo);（3）如果当xEU(x）时，f(x）不变号，则f(x)在xo处无极值。（二）定理（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点xo处具有二阶导数，且f（x）=0,f"(x）≠0，那么（1）若f"（x）>0，则xo是函数的极小值点；（2）若f"（x）<0，则xo是函数的极大值点；35
高等数学（一） 35 如果 x ∈(,) a b 时恒有 f x'( ) 0 > ，则 f(x)在(a,b)内单调增加； 如果 x ∈(,) a b 时恒有 f x'( ) 0 < ，则 f(x)在(a,b)内单调减少； 注意：如果在区间(a,b)内 f x '( ) 0 ≥ （或 f x'( ) 0 ≤ ），但等号只在个别点处成立，则函数 f(x) 在(a,b)内仍是单调增加（或单调减少）的。 第四节 函数的极值 一、函数极值的定义 1．定义：设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对该邻域内一切异于x0的x，恒有f(x)<f(x0)， 则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，点 x0 称为函数 f(x)的极大值点；如果对该邻域内一切异于 x0 的 x，恒有 f(x)>f(x0)，则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，点 x0 称为函数 f(x)的极小值点； 2．极值的局部性：极值是曲线增减的局部转折点。 二、函数极值存在的必要条件 定理：设函数 f(x)在点 x0 处具有导数，且 x0 是极值点，则必有 0 f x'( ) 0 = 。 说明：此命题的逆命题不一定成立,极值点还有可能是导数不存在的点。所以，函数的极值点 必是函数的驻点或导数不存在的点，反之不成立。 三、判定极值的充分条件 (一)定理（极值的第一充分条件） 设函数 f(x)在 x0 的某邻域(x0-δ, x0+δ)内连续并且可导（但在点 x0 处导数可以不存在） （1）如果当 0 0 x∈ − ( ,) x x δ 时， 0 f x'( ) 0 > ，而当 0 0 x xx ∈(, ) +δ 时， 0 f x'( ) 0 < ，则函数 f(x)在点 x0 处取极大值 f(x0)； （2）如果当 0 0 x∈ − ( ,) x x δ 时， 0 f x'( ) 0 < ，而当 0 0 x xx ∈(, ) +δ 时， 0 f x'( ) 0 > ，则 函数 f(x)在点 x0 处取极小值 f(x0)； （3）如果当 0 ( ) o x U x ∈ δ 时， 0 f '( ) x 不变号，则 f(x)在 x0 处无极值。 (二) 定理（极值的第二充分条件） 设函数 f(x)在点 x0 处具有二阶导数，且 0 f x'( ) 0 = , 0 f x ''( ) 0 ≠ ，那么 （1）若 0 f x ''( ) 0 > ，则 x0 是函数的极小值点； （2）若 0 f x ''( ) 0 < ，则 x0 是函数的极大值点；