经济学专业课程教学大纲第五节最大值与最小值极值的应用问题在经济管理和经济核算中，常常要解决在一定条件下，如何使投入最小、产出最多、成本最低、效益最高、利润最大等问题，这些问题反映在数学上，就是求函数的最大值和最小值问题。由连续函数在闭区间上的性质我们知道，若函数在闭区间上连续，则该函数再次区间上存在最大最小值。这给出了函数在闭区间上存在最大（小）值的充分条件。下面将讨论怎样求出这个最大（小）值。闭区间上求最值的方法：（1）求出函数在闭区间上所有驻点和不可导点，设其为有限个，得到可能极值点x，x2，Xn;(2）计算出函数值fx)，f(x2)，，f(x,)以及f(a)，f(b);（3）比较（2）中所有函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。注意：（1）闭区间上单调函数最值为其端点处函数值；（2）如果函数在开区间上有且仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值为函数的最大值极小值亦然：在某些实际问题中，往往可以根据问题的实际意义确定可导函数f(x)的最值一定在定义区间内部取得。这时，如果(x)在定义区间内只有唯一的驻点，则不必讨论该驻点是否为极值点，可直接断定该驻点处是函数的最值。第六节曲线的凹向与拐点一、曲线凹向的定义若曲线f(x)在区间(a,b)内曲线段总位于其上任一点处切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的（上凹）；若曲线总位于其上任一点处切线的下方，则称曲线在（α,b)内是凸的（下凹）二、曲线凹向的判定定理定理：设f(a)在[a,b)上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则有(1)若在(a,b)内"(x)>0，则(x)在(a,b)上的图形是凹的(2）若在(a,b)内f"(x)<0，则f(x)在(a,b)上的图形是凸的三、拐点及其求法（一)拐点：凹弧与凸弧的分界点（xo,f(xo)）称为拐点。注：拐点是F"(x)=0的点或了"(x)不存在的点，反之不成立。(二)求曲线凹向与拐点的步骤：36
经济学专业课程教学大纲 36 第五节 最大值与最小值 极值的应用问题 在经济管理和经济核算中，常常要解决在一定条件下，如何使投入最小、产出最多、成本最低、 效益最高、利润最大等问题，这些问题反映在数学上，就是求函数的最大值和最小值问题。 由连续函数在闭区间上的性质我们知道，若函数在闭区间上连续，则该函数再次区间上存在最 大最小值。这给出了函数在闭区间上存在最大（小）值的充分条件。下面将讨论怎样求出这个最大 （小）值。 闭区间上求最值的方法： （1）求出函数在闭区间上所有驻点和不可导点，设其为有限个，得到可能极值点 x1，x2，.， xn； （2）计算出函数值 f(x1)，f(x2)，.，f(xn)以及 f(a)，f(b)； （3）比较（2）中所有函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。 注意：（1）闭区间上单调函数最值为其端点处函数值； （2）如果函数在开区间上有且仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值为函数的最大值， 极小值亦然； 在某些实际问题中，往往可以根据问题的实际意义确定可导函数 f(x)的最值一定在定义区间内 部取得。这时，如果 f(x)在定义区间内只有唯一的驻点，则不必讨论该驻点是否为极值点，可直接 断定该驻点处是函数的最值。 第六节 曲线的凹向与拐点 一、曲线凹向的定义 若曲线 f ( ) x 在区间(,) a b 内曲线段总位于其上任一点处切线的上方，则称曲线在(,) a b 内是凹 的（上凹）；若曲线总位于其上任一点处切线的下方，则称曲线在(,) a b 内是凸的（下凹） 二、曲线凹向的判定定理 定理：设 f ( ) x 在[a,b]上连续，在(,) a b 内具有一阶和二阶导数，则有 （1）若在(,) a b 内 f x ''( ) 0 > ，则 f ( ) x 在(,) a b 上的图形是凹的 （2）若在(,) a b 内 f x ''( ) 0 < ，则 f ( ) x 在(,) a b 上的图形是凸的 三、拐点及其求法 (一)拐点：凹弧与凸弧的分界点（x0,f(x0)）称为拐点。 注：拐点是 f x ''( ) 0 = 的点或 f ''( ) x 不存在的点，反之不成立。 (二)求曲线凹向与拐点的步骤：
高等数学（一）（1）求定义域（2）求"(α）（写成乘积形式）。(3）求f"(x)=0的点和"(x)不存在的点。（4）用上述点将定义域分成若干小区间，考查每个小区间上"（x)的符号，并判断凹凸性。（5）若"(x)在点xo两侧异号，则（xo,f(xo)）是拐点，否则不是。第七节函数图形的作法一、渐近线定义：若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线。（一）斜渐近线f(x)limJim+若f(x)满足：（1）-=a,(2)r-[f(x)-ax)=b 则曲线 y=f(x)有斜渐近线 y=ax+b（二）垂直渐近线lim f(x)=+o0lim f(x)= 00 lim f(x)= 00若X→0或一场则称直线x=x。为垂直渐近线(三）水平渐近线lim.limlim f(x)=b若 x- f(x)=b,或 x-- f(x)=b,.则称直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线。二、函数图形的作法步骤：（1）求函数的定义域，值域，考察奇偶性，周期性（2）确定函数的单调区间，极值点,凹凸区间及拐点（3）考察渐近线（4）画出坐标轴，标出特殊点（极值点、拐点、及与坐标轴的交点等）的位置，画出渐近线（5）据讨论结果逐段描绘函数图象。第八节变化率及相对变化率在经济中的应用--边际分析与弹性分析介绍一、函数变化率一一边际函数(一)边际函数的概念37
高等数学（一） 37 （1）求定义域 （2）求 f ''(x) （写成乘积形式）。 （3）求 f x ''( ) 0 = 的点和 f ''( ) x 不存在的点。 （4）用上述点将定义域分成若干小区间，考查每个小区间上 f "(x) 的符号，并判断凹凸性。 （5）若 f "(x) 在点 x0 两侧异号，则（x0,f(x0)）是拐点，否则不是。 第七节 函数图形的作法 一、渐近线 定义：若曲线 C 上的动点 P 沿着曲线无限地远离原点时，点 P 与某一固定直线 L 的距离趋于 零，则称直线 L 为曲线 C 的渐近线。 (一) 斜渐近线 若 f(x)满足：（1 ） limx→∞ f ( ) x x =a ,(2) limx→∞ [f(x)-ax]=b 则曲线 y=f(x) 有斜渐近线 y=ax+b (二) 垂直渐近线 若 ( ) 0 x x lim f x → = +∞ 或 ( ) 0 x x lim f x → + = ∞ , ( ) 0 x x lim f x → − = ∞ 则称直线 x=xo 为垂直渐近线 (三) 水平渐近线 若 limx→∞ f(x)=b，或 limx→−∞ f(x)=b， lim ( ) x f x b →+∞ = .则称直线 y=b 为曲线 y=f(x)的水平渐近线。 二、函数图形的作法 步骤： （1）求函数的定义域,值域,考察奇偶性，周期性 （2）确定函数的单调区间，极值点,凹凸区间及拐点 （3）考察渐近线 （4）画出坐标轴，标出特殊点（极值点、拐点、及与坐标轴的交点等）的位置，画出渐近线 （5）据讨论结果逐段描绘函数图象。 第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用 -边际分析与弹性分析介绍 一、函数变化率——边际函数 (一)边际函数的概念
经济学专业课程教学大纲1.定义：设函数y=f(x）可导，导函数f(x)也称为边际函数。_(+x)-()称为(x)在(xo,+r)内的平均变化率（平均变化速度）。AxArm=m(s+X)-(a)称为 ()在点×=,处的边际函数值（(变化遗度)。Ar-→0△rAr→0Ax2.含义：f(x)在x=x处，当X产生一个单位的改变时，y近似改变f(x）个单位。Ay lx~dy lx==f'(xo)dx /x=x=f(xo)Ax=ldx=dx(二)经济中常见的边际函数1.边际成本函数：总成本的变化率C(Q)，称为边际成本边际成本C（Q）应表示当已生产了Q个单位产品时，再增加一个单位产品时总成本增加的数量。2.边际收益函数：总收益的变化率R（Q)，称为边际收益。它表示销售Q个单位产品后，再销售一个单位的产品所增加的收益。3.边际利润函数：令L(Q)=R(Q)-C(Q),则称L(Q)为利润函数,利润函数的变化率L(Q)，称为边际利润L(Q)=R(Q)-C(Q)它表示若已经生产了Q个单位的产品，再多生产一个单位的产品总利润的增加量。(三).利润极大化原则L(Q)取得最大值的必要条件：L(Q)=0；L(Q)取得最大值的充分条件：L"(Q)<0二、函数的相对变化率一一函数的弹性（弹性分析）(一)弹性函数的概念1. 设函数 (t)在点X=处可导，函数的相对改变量_(3+4)-1()，与自变量f(x)yo的相对改变量之比/，称为函数于(1)从x=到X=+Ax两点间的相对变化率，Ax/xoXo/的极限称为(x)在x=x处的相对变化率，也就是或称两点间的弹性。当△x→0时，4Ax/xo相对导数，或称弹性。38
经济学专业课程教学大纲 38 1．定义：设函数 y = f x( ) 可导，导函数 f '( ) x 也称为边际函数。 0 0 y f ( ) () x x fx x x Δ +Δ − = Δ Δ 称为 f ( ) x 在 0 0 (, ) x x x + Δ 内的平均变化率（平均变化速度）。 0 0 0 0 ( ) () lim lim x x y f x x fx Δ→ Δ→ x x Δ +Δ − = Δ Δ 称为 f ( ) x 在点 0 x = x 处的边际函数值（变化速度）。 2．含义： f ( ) x 在 0 x = x 处，当 x 产生一个单位的改变时， y 近似改变 0 f '( ) x 个单位。 00 0 0 0 11 1 | | '( ) | '( ) xx xx xx x dx dx y dy f x dx f x == = Δ= = = Δ≈ = = (二)经济中常见的边际函数 1．边际成本函数：总成本的变化率C Q'( ) ，称为边际成本. 边际成本 C Q'( ) 应表示当已生产了 Q 个单位产品时，再增加一个单位产品时总成本增加的数 量。 2．边际收益函数：总收益的变化率 R Q'( ) ，称为边际收益。它表示销售 Q 个单位产品后，再 销售一个单位的产品所增加的收益。 3．边际利润函数：令 L() () () Q RQ CQ = − ,则称 L( ) Q 为利润函数,利润函数的变化率 L Q'( ) ，称为边际利润 L'( ) '( ) '( ) Q RQ CQ = − 它表示若已经生产了 Q 个单位的产品，再多生产一个单位的产品总利润的增加量。 (三).利润极大化原则 L( ) Q 取得最大值的必要条件： L Q'( ) 0 = ； L( ) Q 取得最大值的充分条件： L Q''( ) 0 < 二、函数的相对变化率——函数的弹性（弹性分析） (一)弹性函数的概念 1．设函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处可导，函数的相对改变量 0 0 0 0 ( ) () ( ) y f x x fx y fx Δ + Δ − = ，与自变量 的相对改变量 0 x x Δ 之比 0 0 / / y y x x Δ Δ ，称为函数 f ( ) x 从 0 x = x 到 0 x = x x + Δ 两点间的相对变化率， 或称两点间的弹性。当 Δx → 0时， 0 0 / / y y x x Δ Δ 的极限称为 f ( ) x 在 0 x = x 处的相对变化率，也就是 相对导数，或称弹性
高等数学（一）= lim= lim()=(x)ExAr-=0Ax/xAr-0Axyf(x)E(%)表示在点处，当X改变1%时，()近似地改变(s.)%ExEx(二)需求函数与供给函数1.需求函数：设P表示商品价格，Q表示需求量，那么Q=f(P)为需求函数。一般地：需求量随价格上涨而减少。因此，通常需求函数是价格的单调减少函数。需求量Q对价格P的导数，f（P）称为边际需求函数。它表示价格上涨一个单位，需求量将减少f(P）个单位。2.供给函数：设P表示商品价格，S表示供给量，那么S=p(P）为供给函数。一般地，商品供给量随商品价格上涨而增加，因此商品供给函数S是商品价格P的单调增加函数。3.需求函数与供给函数之间的关系需求函数Q是单调减少函数，供给函数S是单调增加函数，把需求曲线和供给曲线（供给函数的图形）画在同一坐标系中，他们将相交于点处(,の)，P是供需平衡的价格，叫均衡价格；0是均衡数量。(三)需求弹性与供给弹性1.需求价格弹性函数：某商品需求函数Q=f(P)在P=P处可导，-.号成为该商品在APQ0AO.PP=P与P=P+△P两点间的需求弹性。记作：7(P,P+AP)=-会△PO.(-A01C)=-f(P)-D)P.lim(-(AP/Pf(P)称为该商品在P=Pβ处的需求弹性。记作：71=n(B)=-T(P)品f(P)2.供给价格弹性函数：设某商品的供给函数Q=β(P)在点P处可导，称E(P,P+AP)=%为该商品在Po和P+AP两点间的供给弹性；△PQP lp=β=e(P)= p(P)-(P)称为在P处的供给弹性。复习与思考题B组习题四A组39
高等数学（一） 39 0 0 / lim lim ( ) '( ) / () x x Ey y y y x x f x Ex x x x y f x Δ→ Δ→ Δ Δ = = ⋅= ⋅ Δ Δ 0 ( ) E f x Ex 表示在点 0 x 处，当 x 改变 1%时， f ( ) x 近似地改变 0 ( ) E f x Ex % (二)需求函数与供给函数 1．需求函数：设 P 表示商品价格，Q 表示需求量，那么 Q=f(P)为需求函数。 一般地：需求量随价格上涨而减少。因此，通常需求函数是价格的单调减少函数。 需求量 Q 对价格 P 的导数， f '( ) P 称为边际需求函数。它表示价格上涨一个单位，需求量将 减少 f '( ) P 个单位。 2．供给函数：设 P 表示商品价格，S 表示供给量，那么 S P = ϕ( ) 为供给函数。一般地，商 品供给量随商品价格上涨而增加，因此商品供给函数 S 是商品价格 P 的单调增加函数。 3．需求函数与供给函数之间的关系 需求函数 Q 是单调减少函数，供给函数 S 是单调增加函数，把需求曲线和供给曲线（供给函 数的图形）画在同一坐标系中，他们将相交于点处(, ) P Q ，P 是供需平衡的价格，叫均衡价格；Q 是均衡数量。 (三)需求弹性与供给弹性 1．需求价格弹性函数：某商品需求函数Q = f ( ) P 在 P = P0 处可导， 0 0 Q P P Q Δ − ⋅ Δ 成为该商品在 P P = 0 与 P = +Δ P P 0 两点间的需求弹性。记作： 0 0 0 0 (, ) Q P PP P P Q η Δ + Δ =− ⋅ Δ 0 0 0 0 0 0 / lim ( ) '( ) / () P QQ P f P Δ → PP fP Δ − =− Δ 称为该商品在 P = P0 处的需求弹性。记作： 0 0 0 0 0 | ( ) '( ) ( ) P P P P fP f P η η = = =− 2．供给价格弹性函数：设某商品的供给函数Q P = ϕ( ) 在点 P0处可导，称 0 0 0 0 (, ) Q P PP P P Q ε Δ +Δ = ⋅ Δ 为该商品在 P0 和 P P 0 + Δ 两点间的供给弹性； 0 0 0 0 0 | ( ) '( ) ( ) P P P P P P εεϕ ϕ = = = 称为在 P0 处的供给弹性。 复习与思考题 习题四 A 组 B 组
经济学专业课程教学大纲拓展阅读书目：（列每章章末）高等数学第五版上册同济大学应用数学系主编袁荫棠主编经济数学基础（一）微积分解题思路和方法数学复习指南（经济类、考研数学系列）陈文灯主编数学的思想，方法和应用张顺燕主编大学文科高等数学姚孟臣编刘书田主编微积分学习辅导与解题方法40
经济学专业课程教学大纲 40 拓展阅读书目：（列每章章末） 高等数学 第五版 上册 同济大学应用数学系主编 经济数学基础（一）微积分解题思路和方法 袁荫棠主编 数学复习指南（经济类、考研数学系列） 陈文灯主编 数学的思想，方法和应用 张顺燕主编 大学文科高等数学 姚孟臣编 微积分学习辅导与解题方法 刘书田主编