经济学专业课程教学大纲(3)求Ax→0时,的极限,即AxDy=limf(x+x)-f(x)y'= f'(x)=limOxx→0xx-→0(二)几何意义函数f(x)在点xo的导数f(x)是曲线 y=f(x)在点(xo,f(xo))处切线的斜率.若α表示这个切线与 x轴正向的夹角，则f(x)=tanα。从而fx)>0意味着切线与x轴正向的夹角为锐角：f(x)<0意味着切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x)=0表明切线与x轴平行。切线方程为：y-f(x）=f(x-x）(三)左右导数(x)-()存在，则称1.定义：设函数y=f(x)在点xo的某个邻域内有定义，若limxx-0之为f(x)在点xo处的左导数，记作：f"(x)；(。x)-()存在，则称之为(x)在点xo处的右导数，记作：(xo)。若limxDx→0*2.定理：函数y=f(x)在点xo处可导的充要条件是左右导数都存在且相等。(四)可导与连续的关系定理：若函数在点x=Xo处可导，则函数在x=Xo处连续。注意：（1）定理的逆命题不成立；（2）定理的逆否命题一定成立，即若函数在点X-Xo处不连续，则函数在x=xo处不可导；（3）可导函数的导数不一定连续。(五)导函数1.导函数的定义：若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y=f(x)的导函数，dydf(x)。导函数往往简称为导数。用极限表示为：记做y,f(x),dxdxf(x+△x)-f(x)Ay=limf(x) = lim Ax-0xAr-0Ax2.函数f(x)在区间(a,b)上可导如果函数y=f(x）在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导。第二节导数的基本公式与运算法则(一)导数的基本公式：1.常数的导数：（c）=026
经济学专业课程教学大纲 26 （3）求Δ →x 0时, y x Δ Δ 的极限,即 0 0 ( ) () ' '( ) lim lim x x y fx x fx y fx → → x x + − == = (二)几何意义 函数 f(x)在点 x0 的导数 f '( ) x 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率.若α表示这个切线与 x 轴正向的夹角，则 f x'( ) tan = α 。 从而 f x'( ) 0 > 意味着切线与 x 轴正向的夹角为锐角； f x'( ) 0 < 意味着切线与 x 轴正向的夹 角为钝角； f x'( ) 0 = 表明切线与 x 轴平行。 切线方程为： 0 00 y −= − fx f x x x ( ) '( )( ) (三)左右导数 1．定义：设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义，若 0 0 0 ( ) () lim x f x x fx x → − + − 存在，则称 之为 f(x)在点 x0 处的左导数，记作： 0 f '( ) x − ； 若 0 0 0 ( ) () lim x f x x fx x → + + − 存在，则称之为 f(x)在点 x0 处的右导数，记作： 0 f '( ) x + 。 2．定理：函数 y = f (x)在点 x0 处可导的充要条件是左右导数都存在且相等。 (四)可导与连续的关系 定理 ：若函数在点 x=x0处可导，则函数在 x=x0处连续。 注意：（1）定理的逆命题不成立； （2）定理的逆否命题一定成立，即若函数在点 x=x0 处不连续， 则函数在 x=x0 处不可导； （3）可导函数的导数不一定连续。 (五)导函数 1．导函数的定义：若函数 y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量 x 的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数 y =f (x)的导函数， 记做 ( ) , ( ), , dy df x yfx dx dx ′ ′ 。导函数往往简称为导数。用极限表示为： 0 0 ( ) () ( ) lim lim x x y fx x fx f x Δ→ Δ→ x x Δ +Δ − ′ = = Δ Δ 。 2．函数 f(x)在区间(a,b)上可导 如果函数 y = f (x) 在某个开区间（a,b）内每一点 x 处均可导，则称函数 y = f (x)在区间（a,b） 内可导。 第二节 导数的基本公式与运算法则 (一)导数的基本公式： 1．常数的导数：( ) c 0 ′ =
高等数学（一）2．幂函数的导数：（x）=αxa-3.对数函数的导数：(log.x)=↓log.e，特别地 (inx)=14.指数函数的导数：(a)=αlna，特别地(e)=er5．正弦函数的导数：（sinx）=cosx6．余弦函数的导数：（cosx）=-sinx（二）四则运算法则设uV都是x的可导函数，则有(1) (u±v)'=u'+(2) (w)'=u+'"-u'v-(3)31（三）复合函数求导设u=(x)在点x可导，y=f(u)在相应的点u可导，则复合函数y=f(d(x))在点xdydy,du或y'=f(u)p(x)可导，且dxdu dx本法则还可以推广到有此复合的情形：如：y=f(u),u=β(v),v=(x)复合函数y=(((x)的导数为=dxdudydx（四）隐函数求导1.法则：对隐函数求导时，只要把y看作x的函数，利用复合函数求导法，将方程F(x,y)=0的两边分别对x求导数，然后解出yx，，即得隐函数的导数。2.显隐互换求导法基本思路：对一些利用定义或利用求导法则来计算导数较繁琐的显函数，即可通过转化为隐函数的形式进行求导。（五）反函数求导设y=f(x)为x=g(y)的反函数，若g(y)在点yo的某邻域内连续，严格单调且g（yo)不为零，则f(x)在点xo（xo=g(yo)）可导且1f'(x)=g'(yo)（六）对数求导法先对表达式的两边取自然对数（以便把乘除运算换成加减运算），然后再在等式的两端再对x求导。27
高等数学（一） 27 2．幂函数的导数：( ) 1 x x α α α ′ − = 3．对数函数的导数：( ) 1 a a log x log e, x ′ = 特别地 ( ) 1 ln x x ′ = 4．指数函数的导数：( ) x x a a ln a ′ = , 特别地 ( ) x x e e ′ = 5．正弦函数的导数：( ) sin x cos x ′ = 6．余弦函数的导数：( ) cos x sin x ′ = − （二）四则运算法则 设 u,v 都是 x 的可导函数,则有 (1) ( )' ' ' uv uv ± =± (2) ( )' ' ' uv u v uv = + 2 ' ' (3) ( ) ' u u v uv v v − = （三）复合函数求导 设u x = φ( ) 在点 x 可导， y fu = ( ) 在相应的点 u 可导，则复合函数 yf x = ( ( )) φ 在点 x 可导，且 ' '( ) '( ) x dy dy du y fu x dx du dx =• = 或 ϕ 本法则还可以推广到有此复合的情形：如： y f u ,u v ,v x = == ( ) ϕ ψ ( ) ( ), 复合函数 y = f x ( ) ϕ ψ( ( )) 的导数为 dy dy du dv dx du dv dx =×× （四）隐函数求导 1．法则：对隐函数求导时，只要把 y 看作 x 的函数，利用复合函数求导法，将方程 F(x,y)=0 的两边分别对 x 求导数，然后解出 yx’，即得隐函数的导数。 2．显隐互换求导法 基本思路：对一些利用定义或利用求导法则来计算导数较繁琐的显函数，即可通过转化为隐函 数的形式进行求导。 （五）反函数求导 设 y=f(x)为 x=g(y)的反函数，若 g(y)在点 y0 的某邻域内连续，严格单调且 ( ) 0 g y ′ 不为零，则 f(x)在点 x0（x0=g(y0)）可导且 0 0 1 '( ) '( ) f x g y = （六）对数求导法 先对表达式的两边取自然对数（以便把乘除运算换成加减运算），然后再在等式的两端再对 x 求导
经济学专业课程教学大纲注意：这种方法的适用范围一一函数表达式为若干因子连乘积、乘方或商的形式。（七）分段函数求导对于分段函数，其各区间段内导数的求法与一般所讲的导数的求法无异，要特别注意的是分界点处的导数一定要用(左、右)导数的定义求，即f(xo +x)- f(xo)f(x)-f(xo)y= lim或f(x)=limf*(xo)= lim xx→0*xx→0*X-→+x0X-Xo其中xo是分界点。第三节高阶导数一、高阶导数的定义1.高阶导数的定义二阶导数：函数y=f(x)的导数y=f(x)仍是x的函数，函数y=f(x)的导数叫做函数y=或崇，也可理解为(y）=兴()-。f(x)的二阶导数，记作v"或dx?dxdxdx?依此类推，二阶导数"的导数称为f(x)的三阶导数，记为"；三阶导数"的导数称为f(x)的四阶导数，记为y(4)或(4)（x)，·，(n-1)阶导数的导数称为f(x)的n阶导，记为(或((x)。2．高阶导数的计算由于高阶导数是在上一阶导数的基础上再次求导。故求高阶导数时，可逐阶求导，具体方法与前面所学的一阶导数的计算相同。二、莱布尼兹公式第四节由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数[x=x()确定了y是x的函数，称为由参数方程所确定的函数由参数方程、y= y(0)二、求导法则[x=x(0)dy,我{y=y()消去参变量t而得到y和x的直接对应关系有一定难度，要想求出有时由dx们可以直接由参数方程求出。28
经济学专业课程教学大纲 28 注意：这种方法的适用范围——函数表达式为若干因子连乘积、乘方或商的形式。 （七）分段函数求导 对于分段函数，其各区间段内导数的求法与一般所讲的导数的求法无异，要特别注意的是分界 点处的导数一定要用(左、右)导数的定义求，即 0 0 0 0 () ( ) ' ( ) limx x f x f x f x x x + → + − = − 或 0 0 0 0 0 ( ) () ' ( ) lim lim x x y f x x f x f x x x + → → + + + − = = 其中 x0 是分界点。 第三节 高阶导数 一、高阶导数的定义 1．高阶导数的定义 二阶导数：函数 y = f (x)的导数 y fx ′ ′ = ( ) 仍是 x 的函数，函数 y fx ′ = ′( ) 的导数叫做函数 y = f (x)的二阶导数，记作 2 2 d y y dx ′′或 ，也可理解为 2 2 () ( ) d dy d y y y dx dx dx ′ ′ ′′ = = , 。 依此类推，二阶导数 y′′ 的导数称为 f(x)的三阶导数，记为 y′′′；三阶导数 y′′′的导数称为 f(x)的 四阶导数，记为 ( ) ( ) ( ) 4 4 y 或f x ,······，(n-1)阶导数的导数称为 f (x)的 n 阶导， 记为 ( ) ( ) ( ) n n y 或 。 f x 2．高阶导数的计算 由于高阶导数是在上一阶导数的基础上再次求导。故求高阶导数时，可逐阶求导，具体方法与 前面所学的一阶导数的计算相同。 二、莱布尼兹公式 第四节 由参数方程所确定的函数的导数 一、由参数方程所确定的函数 由参数方程 ( ) ( ) x x t y y t ⎧⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ 确定了 y 是 x 的函数, 称为由参数方程所确定的函数 二、求导法则 有时由 ( ) ( ) x x t y y t ⎧⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ 消去参变量 t 而得到 y 和 x 的直接对应关系有一定难度，要想求出 dy dx ，我 们可以直接由参数方程求出
高等数学（一）设x=x(t),y-y(t)关于t可导，且x(t)±0,x=x(t)存在反函数t=x-(x)，那么y是x的复合函数。(y>t>x),y=y[-(x)).由复合函数及反函数的求导法则，有dy1d=y(t)dy_dy.dt_dydr=9dxx(t)dxdtdxdtdtdt第五节微分一、微分的定义(一)定义：设函数y=(x)在某区间内有定义，及xx在这区间内，如果函数的增量y=(xx)-(x)可以表示为y=Ax+o(x）其中A是不依赖于x的常数，而o(x)是比x高阶的无穷小，则称函数y=f(x)在点x是可微的，而Ax叫函数y=f(x)在点x相应于自变量增量x的微分，记作dy=A口x（二）可微与可导的关系定理：函数f(x)在点x处可微的充分且必要条件是函数f(x)在点x处可导，且dylx=f(xo）口x.（函数在一点处可微分与可导是等价的)一般地，把自变量增量口x称为自变量的微分记作dx，即dx=x，则函数y=f(x)的微分又可以记作：dy=F(s)d，于是=F(x)即函数的微分dy与自变量的微分d之商等于该函数的导dx数。因此，导数又称为“微商”(三)微分的几何意义函数y=f(x)的图形为一条曲线，对于x，曲线上有一个确定的点M(xo,%），当x有微小增量x时，得到曲线上另一点N(xx,+y)，直线MT是过M点的曲线的切线，由图可知MQx,NQy,PQ=MQtanα=x（x）=dy，即当y是曲线上点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当口x很小时口y-dy|比口x小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近的代替曲线段二、微分法则由微分定义dy=f(x)dx，若要求函数的微分只需计算函数的导数，再乘以自变量的微分dx,因此根据导数公式及求导的运算法则，即可得到微分的基本公式和运算法则，归纳总结如下：(一)基本初等函数的微分公式：29
高等数学（一） 29 设 x=x(t) , y=y(t)关于 t 可导，且 x t ′() 0 ≠ , x=x(t)存在反函数 1 txx( ) − = , 那么 y 是 x 的复合函 数。(y→t→x) , y=y[ 1 x− (x)]. 由复合函数及反函数的求导法则，有： dy dx = dy dt ⋅ dt dx = dy dt ⋅ 1 dx dt = dy dt dx dt = ( ) ( ) y t x t ′ ′ 第五节 微 分 一、微分的定义 (一)定义：设函数 y fx = ( ) 在某区间内有定义， 0 x 及 0 x +x 在这区间内，如果函数的增量 0 0 y = +− fx x fx ( ) () 可以表示为 y Ax o x = + ( ) 其中 A 是不依赖于 x 的常数， 而 o x ( ) 是比x高阶的无穷小，则称函数 y fx = ( ) 在点 0 x 是可微的，而 A x 叫函数 y=f(x)在点 0 x 相 应于自变量增量x的微分，记作 dy A x = ⋅ (二) 可微与可导的关系 定理：函数 f ( ) x 在 点 0 x 处可微的充分且必要条件是函数 f(x) 在 点 0 x 处可导，且 0 0 | () . x x dy f x x = = ′ (函数在一点处可微分与可导是等价的) 一般地，把自变量增量x称为自变量的微分记作 dx，即 dx x = ，则函数 y=f(x)的微分又可以 记作： dy f x dx = ′( ) ，于是 ( ) dy f x dx = ′ 即函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导 数。因此，导数又称为“微商” (三)微分的几何意义 函数 y=f(x)的图形为一条曲线，对于 0 x ，曲线上有一个确定的点 0 0 M (, ) x y ，当 x 有微小增量 x时，得到曲线上另一点 0 0 Nx xy y (, ) + + ，直线 MT 是过 M 点的曲线的切线, 由图可知 0 MQ x NQ y PQ MQtan xf x dy === = = , , () α ′ ， 即当 y 是曲线上点的纵坐标 的增量时，dy 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当x很小时| | y dy − 比x小得多，因 此在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近的代替曲线段 二、微分法则 由微分定义 dy f x dx = ′( ) ，若要求函数的微分只需计算函数的导数，再乘以自变量的微分 dx, 因此根据导数公式及求导的运算法则，即可得到微分的基本公式和运算法则，归纳总结如下： (一)基本初等函数的微分公式：
经济学专业课程教学大纲d(c)=01.常数的微分：d(xa)= αxa-'dx2．幂函数的微分d(a")= a" In adx3．指数函数的微分：d(log, t)-↓log,edx4对数函数的微分：5.正弦函数的微分：d(sinx)=cosxdx6．余弦函数的微分：d(cosx)=-sinxdx17.反正弦函数的微分：d(arcsinx)dxV1-x218.反正切函数的微分：d(arctanx)dx1+ x2(二)函数的和、差、积、商的微分法则(1) d(u± v)=du± dv(2) d(cu)=cdu（c为常数）(4)d(")-vdu-udy(3) d(u.v)=udv+vdu12V三、微分形式不变性设y=f(u), u=P (x),(y→u→x）则复合函数y=f((x)的导数为= f()(), dy=I(u)()d,dxu故dy=f(u)du而(x)dx = du由此可见，不论u是自变量，还是中间变量，微分形式dy=f(u)du保持不变，这一性质叫做微分形式的不变性。四、微分的近似计算在实际应用问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，往往费时费力，而利用微分则可把一些复杂性的计算公式用简单的近似公式来代替。由微分定义y=f(xx+(x）当x很小时y=f'(xx=dyx越小，近似程度越好。上式还可表示为(x+x)~(x+(x令x+x=x则有：F(x)~f(x)+J(%)x特别地当x=0时：f(x)=f(0)+f(0)x30
经济学专业课程教学大纲 30 1．常数的微分： d(c)=0 2．幂函数的微分 1 d x x dx ( ) α α α − = 3．指数函数的微分： ( ) ln x x d a a adx = 4．对数函数的微分： ( ) 1 a a d log x log edx x = 5．正弦函数的微分： d(sinx)=cosxdx 6．余弦函数的微分： d(cosx)=-sinxdx 7．反正弦函数的微分：d(arcsinx)= 2 1 1 dx − x 8.反正切函数的微分：d(arctanx)= 2 1 1+ x dx (二)函数的和、差、积、商的微分法则 （1）d(u ± v)=du ± dv (2) d(cu)=cdu （c 为常数） (3) d(u⋅ v)=udv+vdu (4)d( u v )= 2 vdu udv v − 三、微分形式不变性 设 y=f(u), u=ϕ (x), （y→u→x）则复合函数 y=f(ϕ (x))的导数为 ( ) ( ) , ( ) ( ) , dy f u x dy f u x dx dx = = ′′ ′′ φ φ 而ϕ′( ) x dx du = 故 dy f u du = '( ) 由此可见，不论 u 是自变量，还是中间变量，微分形式 dy f u du = '( ) 保持不变，这一性质叫 做微分形式的不变性。 四、微分的近似计算 在实际应用问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，往往费时 费力，而利用微分则可把一些复杂性的计算公式 用简单的近似公式来代替。 由微分定义 0 o y = + fx x x ′() ( ) 当 x 很小时 ( ) o y ≈ f x x dy ′ = x 越小，近似程度越好。上式还可表示为 0 00 f ( ) ( () x x fx f x x + ≈ + ′ 令 0 x + = x x 则有： 0 0 f () ( ) ( ) x fx f x x ≈ + ′ 特别地当 0 x = 0 时： f ( ) (0) (0) xf f x ≈ + ′