高等数学（一)定理：单调有界数列必有极限。单调递增有上界数列有极限：单调递减有下界数列有极限。步骤：（1）判断数列的单调性；（2）证明数列是有界的：（3）求极限。利用极限存在的两个准则，可得到如下两个重要极限，进而可求得其它一些函数的极限。（三）两个重要极限lim sinx =11.xx→0sin f(x)sinx注意：（1）0/0型；（2）一般形式lim(3)lim=0-1f(x)(x)-0x012. (1) lim(1+=e(2) lim(1+x)* =e(3) lim(1 +nx-→0X注意：（1）1°型（2）解题应注意使用凑指数幂，使得底数的第二项与指数互为倒数，同时注意变化趋势。1f(x)=elim [1+ f(x)(x) = e(3）公式可推广即lim (1+f(x)-0f(x)f(x)-第七节函数的连续性一、函数f(x)在xo处连续的定义（一）定义1.连续的极限定义：设函数f(x)在点xo的某邻域内有定义，若lim f(x)= f(xo),则称函数f(x)在点xo连续。说明：（1）f(x)在xo处有定义：(2）limf(x)存在；X->o(3) lim f(x)=f(x);x-→xo（4）f(x)在xo处连续和当x→x时有极限是有区别的。2.连续的e-8定义：V>0,38>0|x-xk8,t.1f(x)-f(x)k3.连续的增量定义：设函数y=f(x)在点xo的某邻域内有定义，如果当△x→0时，有△y→0，21
高等数学（一） 21 定理：单调有界数列必有极限。 单调递增有上界数列有极限；单调递减有下界数列有极限。 步骤：（1）判断数列的单调性； （2）证明数列是有界的； （3）求极限。 利用极限存在的两个准则，可得到如下两个重要极限，进而可求得其它一些函数的极限。 （三）两个重要极限 1． 0 1 x sin x lim → x = 注意：（1）0/0 型； （2）一般形式 ( ) 0 sin ( ) lim 1 ( ) f x f x → f x = （3） sin lim 0 x x →∞ x = 2．(1) 1 lim(1 )n n e →∞ n + = (2) 1 0 lim(1 ) x x x e → + = (3) 1 lim(1 )x x e →∞ x + = 注意：（1）1 ∞ 型 （2）解题应注意使用凑指数幂，使得底数的第二项与指数互为倒数，同时注意变化趋势。 (3) 公式可推广即 ( ) ( ) 1 lim (1 ) ( ) f x f x e →∞ f x + = ( ) () 0 lim [1 ( )]f x f x f x e → + = 第七节 函数的连续性 一、函数 f(x)在 x0 处连续的定义 （一）定义 1．连续的极限定义：设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx → = ， 则称函数 f(x)在点 x0 连续。 说明：（1）f(x)在 x0 处有定义； （2） 0 lim ( ) x x f x → 存在； （3） 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx → = ； （4）f(x)在 x0 处连续和当 0 x → x 时有极限是有区别的。 2．连续的ε-δ定义： 0 0 ∀> ∃> − < − < ε 0, 0,| | , . .| ( ) ( ) | . δδ ε x x st f x f x 3．连续的增量定义：设函数 y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，如果当 Δx → 0时，有 Δ →y 0
经济学专业课程教学大纲即limAy=0，则称f(x)在xo处连续。4.重要结论：在连续的意义下，极限运算lim与对应法则f可交换，即lim f(x)= f(lim x)= f(xo)(→X45.左连续与右连续定义若lim。(x)=f(x)）则称f(x)在点x左连续。若lim。f(x)=f(xo)则称f(x)在点x。右连续。函数f(x）在点xo连续的充要条件是：函数f(x）在点xo既是右连续又是左连续。（二）间断点及其分类1.定义：设函数f(x)在点xo的某个去心邻域内有定义，如果xo不是函数f(x)的连续点，则称Xo是f(x)的间断点。2.间断点的分类（1）可去间断点：若limf(x)=A，而f(x)在xo没有定义，或者有定义但f(x）±A，则称Xo为f(x)的可去间断点。(2）跳跃间断点：若f(x)在点xo存在左右极限，但limf(x)±limf(x)，则称点xo为函数X→X0X→X0f(x)的跳跃间断点。可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点是函数在该点处的左、右极限都存在。（3）第二类间断点：函数在该点处至少有一侧的极限不存在，一概称为第二类间断点。（三）连续的四则运算若函数f(x),g(x)都在点xo连续，则f(x)土g(x)，f(x)g(x)，f(x)/g(x)在点xo也连续。（四）复合函数的连续性定理若函数f(x)在点xo连续，g(u)在点uo连续，且uo=f(xo)，则复合函数g(f(x)在点xo连续。即：limg[f(x)]=g[limf(x)]=g[f(limx)]=g[f(xo))二、函数f(x)在区间上连续(一)定义1.函数f(x)在(a,b)上连续的定义若f(x)在(a,b)内每一点都连续,则f(x)在(a,b)内连续，（a,b)称为f(x)的连续区间。2.函数f(x)在[a,b]上连续的定义若f(x)在（a,b)内连续，且在α处右连续,在b处左连续,即lim (x)=f(a), lim f(x)=f(b)22
经济学专业课程教学大纲 22 即 0 lim 0 x y Δ → Δ = ， 则称 f(x)在 x0 处连续。 4．重要结论：在连续的意义下，极限运算 0 limx x → 与对应法则 f 可交换，即 0 0 0 lim ( ) (lim ) ( ) xx xx f x f x f x → → = = 5．左连续与右连续定义 若 0 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx → − = 则称 0 f ( ) x x 在点 左连续。 若 0 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx → + = 则称 0 f ( ) x x 在点 右连续。 函数 f(x)在点 x0 连续的充要条件是：函数 f(x)在点 x0 既是右连续又是左连续。 （二）间断点及其分类 1．定义：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果 x0 不是函数 f(x)的连续点，则称 x0 是 f(x)的间断点。 2．间断点的分类 （1）可去间断点：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，而 f(x)在 x0没有定义，或者有定义但 0 f ( ) x A ≠ ，则称 x0 为 f(x)的可去间断点。 （2）跳跃间断点：若 f(x)在点 x0 存在左右极限，但 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x fx → → + − ≠ ，则称点 x0 为函数 f(x)的跳跃间断点。 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点是函数在该点处的左、右极限都存在。 （3）第二类间断点：函数在该点处至少有一侧的极限不存在，一概称为第二类间断点。 （三）连续的四则运算 若函数 f(x),g(x)都在点 x0连续，则 f(x)±g(x)，f(x)g(x)，f(x)/g(x)在点 x0 也连续。 (四)复合函数的连续性定理 若函数 f(x)在点 x0 连续，g(u)在点 u0 连续，且 u0=f(x0)，则复合函数 g(f(x))在点 x0 连续。即： 000 0 xx xx xx lim g[ f ( x )] g[ lim f ( x )] g[ f ( lim x )] g[ f ( x )] →→→ === 二、函数 f(x)在区间上连续 (一)定义 1．函数 f(x)在(a,b)上连续的定义 若 f ( ) x 在(a,b)内每一点都连续,则 f ( x) 在(a,b)内连续, （a,b)称为f ( ) x 的连续区间。 2．函数 f(x)在[a,b]上连续的定义 若 f x( )在（a,b)内连续，且在 a 处右连续,在b 处左连续,即 () () () ( ) xa xb lim f x f a , lim f x f b → → + − = =
高等数学（一）在[a,b]上连续。则称(二)初等函数的连续性定理一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。任何初等函数都是在它有定义的区间上的连续函数。(三)反函数连续性定理若函数f(x)在[a,b]上严格递增（递减）且连续，则其反函数f（x)在相应的定义域上连续。（四）闭区间上连续函数的性质1.最值定理（1）定义：设函数f(x）在区间I上有定义，如果存在XE1使得VxEI，都有f(x）≤f(x）（或f(x)≥f(xo）），则称f(x)为函数f(x)在区间I上的最大值（或最小值）。（最大最小值是在整个定义区间上的）（2）定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必存在最大值和最小值。注意：“闭区间”，“函数f(x）连续”这两个条件缺一不可。（3）推论（有界性定理）：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界。2.介值定理(1)定理：若函数f(x)在闭区间[a,b)上连续，且f(a)≠f(b)，则对于f(a)与f(b)之间的任何数u,在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f）u。注意：“闭区间”，“函数(x）连续”这两个条件缺一不可。(2）零点定理或根值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b)上连续，且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f(5)=0。（3）推论：闭区间上的连续函数必能取得它的最大值与最小值之间的一切值。复习与思考题教材习题二A组B组拓展阅读书目高等数学第五版上册同济大学应用数学系主编袁荫棠主编经济数学基础（一）微积分解题思路和方法数学复习指南（经济类、考研数学系列）陈文灯主编数学的思想，方法和应用张顺燕主编姚孟臣编大学文科高等数学刘书田主编微积分学习辅导与解题方法23
高等数学（一） 23 则称 f ( ) x 在[a,b]上连续。 (二)初等函数的连续性定理 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。任何初等函数都是在它有定义的区间上的连续 函数。 (三)反函数连续性定理 若函数 f(x)在[a,b]上严格递增（递减）且连续，则其反函数 f -1(x)在相应的定义域上连续。 （四）闭区间上连续函数的性质 1．最值定理 （1）定义：设函数 f(x)在区间 I 上有定义，如果存在 0 x ∈I 使得∀x∈ I ，都有 0 f () ( ) x fx ≤ （或 0 f () ( ) x fx ≥ ），则称 f(x)为函数 f(x)在区间 I 上的最大值（或最小值）。（最大最小值是在整个 定义区间上的） （2）定理：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必存在最大值和最小值。 注意：“闭区间”，“函数 f(x) 连续”这两个条件缺一不可。 （3）推论（有界性定理）：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界。 2．介值定理 （1）定理：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)≠f(b)，则对于 f(a)与 f(b)之间的任何数 u， 在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得 f(ξ)=u。 注意：“闭区间”，“函数 f(x) 连续”这两个条件缺一不可。 （2）零点定理或根值定理：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)与 f(b)异号，则在开区间 (a,b)内至少存在一点ξ，使得 f(ξ)=0。 （3）推论：闭区间上的连续函数必能取得它的最大值与最小值之间的一切值。 复习与思考题 教材 习题二 A 组 B 组 拓展阅读书目 高等数学 第五版 上册 同济大学应用数学系主编 经济数学基础（一）微积分解题思路和方法 袁荫棠主编 数学复习指南（经济类、考研数学系列） 陈文灯主编 数学的思想，方法和应用 张顺燕主编 大学文科高等数学 姚孟臣编 微积分学习辅导与解题方法 刘书田主编
经济学专业课程教学大纲第三章导数与微分本章的教学目的和基本要求：本章的导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的速度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。关于导数和微分的理论在实际问题中有广泛的应用，例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等等。这些问题的解决，有待于导数概念的引进，才能很好地说明这些量的变化情况。1：理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的儿何意义2.熟练掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则3.掌握反函数求导公式。4熟练掌握复合函数求导的链式法则。5.掌握隐函数求导法与取对数求导法。6.掌握分段函数的导数计算。7.理解高阶导数概念，掌握简单函数求n阶导数的方法。8．了解微分的概念，可导与可微的关系及微分形式不变性，掌握利用导数求微分的方法。9.了解微分的近似计算。本章的知识点重点和难点导数的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则一阶微分形式不变性重点：导数和微分的概念，导数和微分的运算法则及其计算方法，导数和微分的应用难点：导数与微分的概念、复合函数求导法，求高阶导数的方法。学时分配5×2=10第一节导数概念一、引出导数概念的实例(一)变速直线运动的速度设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s，于是该动点的运动规律可由函数s=s(t)）确定。我们要求在某一to时刻的瞬时速度v（to）。在时间段[o.t+AT内，动点经过的路程为As=s(t+A1)-s(f),于是会即为该时间段At内动点的平均速度。它并不是to时刻的瞬时速度v（to），但是如果时间间隔△t较短，则有As(o)~At。显然，时间间隔△t越短，平均速度与瞬时速度v（to）的近似程度就越好。也就是说，当^tAt无限缩短时，平均速度二S就会无限接近于瞬时速度v（to），而运用我们第一章所学的极限概念，At24
经济学专业课程教学大纲 24 第三章 导数与微分 本章的教学目的和基本要求： 本章的导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的速度，而微分则指明当自变量有微小变化 时，函数大体上变化多少。关于导数和微分的理论在实际问题中有广泛的应用,例如物体运动的速 度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等等。这些问题的解决，有待于导数概念的引进， 才能很好地说明这些量的变化情况。 1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义 2．熟练掌握基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则. 3．掌握反函数求导公式。 4．熟练掌握复合函数求导的链式法则。 5．掌握隐函数求导法与取对数求导法。 6．掌握分段函数的导数计算。 7．理解高阶导数概念，掌握简单函数求 n 阶导数的方法。 8．了解微分的概念，可导与可微的关系及微分形式不变性，掌握利用导数求微分的方法。 9．了解微分的近似计算。 本章的知识点 重点和难点 导数的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 导数的四则 运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的导数 高阶导数 微分的概念和运算法 则 一阶微分形式不变性 重点：导数和微分的概念，导数和微分的运算法则及其计算方法,导数和微分的应用 难点：导数与微分的概念、复合函数求导法,求高阶导数的方法。 学时分配 5×2=10 第一节 导数概念 一、引出导数概念的实例 (一)变速直线运动的速度 设动点在时刻 t 在某一直线上的位置坐标为 s，于是该动点的运动规律可由函数 s= s (t) 确定。 我们要求在某一 t0 时刻的瞬时速度 v（t0）。 在时间段[t0,t0+ Δ t]内，动点经过的路程为 0 0 Δs = +Δ − st t st ( ) () .于是 s t Δ Δ 即为该时间段 内动点的平均速度。它并不是 t0 时刻的瞬时速度 v（t0），但是如果时间间隔 Δt 较短，则有 0 ( ) s v t t Δ ≈ Δ 。 显然，时间间隔 Δt 越短，平均速度 s t Δ Δ 与瞬时速度 v（t0）的近似程度就越好。也就是说，当 Δ t 无限缩短时，平均速度 s t Δ Δ 就会无限接近于瞬时速度 v（t0），而运用我们第一章所学的极限概念
高等数学（一)就有As.m s(to + At)- s(t)= limv(to)= lim00At这样，该极限值就是to时刻的瞬时速度v（to）。（二)曲线切线的斜率问题设有曲线C及C上一点M，在点M外另取C上一点N做割线MN。当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限位置为MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。设割线MN与X轴的夹角为切线MT与X轴的夹角为α。曲线方程为y=f (x),点M的坐标为(xo，yo)，点N 的坐标为(%+Ax,+Ay)。于是，割线MN的斜率为Ay_f(x+Ax)-f(xo)tan@=AxAx当点N沿曲线C趋向点M时，就有△x→0→α，割线的斜率tanβ就会无限接近切线tanαAy=limf(x+Ax)-f(x=即为切线的斜率。的斜率,又由极限的定义，有tanα=limAr-0 AxAr→0Ax二、导数概念(一)函数f(x)在一点xo处的导数定义1.定义：设函数y=f(x)在点xo的某个邻域内有定义，当自变量在点xo处取得改变量△x≠0兴的极限存在，即时，函数(x)取得相应的改变量Ay=(+x)-(x),若Ax→>0时，Axf(x +x)-f(x)Ay=limlimArAr→0△x4x→0存在，则称此极限值为函数f(x)在点xo处的导数（或微商），并称函数f(x)在点xo处可导.记或业作f(x）或dxx=xo2.导数的定义也可取如下两种形式：f(x+h)-f(xo)f(x)=limh-0[(x)= lim )-T(g)X-Xo3.由导数的定义求导数的步骤：（1）求出对应于自变量改变量的函数改变量：y=f（x+x）-f(x）y_f(x+x)-f(x)（2）作比值：xx25
高等数学（一） 25 就有 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim lim t t s st t st v t t t Δ→ Δ→ Δ +Δ − = = Δ Δ 这样，该极限值就是 t0时刻的瞬时速度 v（t0）。 (二)曲线切线的斜率问题 设有曲线 C 及 C 上一点 M，在点 M 外另取 C 上一点 N 做割线 MN。当 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，如果割线 MN 的极限位置为 MT，则称直线 MT 为曲线 C 在点 M 处的切线。 设割线 MN 与 X 轴的夹角为ϕ 切线 MT 与 X 轴的夹角为α 。曲线方程为 y=f (x),点 M 的坐 标为(x0，y0)，点 N 的坐标为 0 0 (, ) x +Δ +Δ xy y 。于是，割线 MN 的斜率为 0 0 ( )( tan y f x x fx x x ϕ Δ +Δ − = = Δ Δ ） 。 当点N沿曲线C趋向点M时，就有Δx → → 0,ϕ α ，割线的斜率 tanϕ 就会无限接近切线 tanα 的斜率,又由极限的定义，有 0 0 0 0 ( )( tan lim lim x x y fx x fx k x x α Δ→ Δ→ Δ + Δ − == = Δ Δ ） 即为切线的斜率。 二、导数概念 (一)函数 f(x)在一点 x0 处的导数定义 1．定义：设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量在点 x0 处取得改变量△x≠0 时，函数 f(x)取得相应的改变量 Δ = +Δ − y fx x fx ( 0 0 ) ( ),若 Δx → 0时， y x Δ Δ 的极限存在，即 ( ) () 0 0 x x 0 0 y f x x fx lim lim Δ→ Δ→ x x Δ +Δ − = Δ Δ 存在，则称此极限值为函数 f(x)在点 x0 处的导数（或微商），并称函数 f(x)在点 x0 处可导.记 作 ( ) 0 f ′ x 或 0 x x y = ′ 或 0 x x dy dx = 2．导数的定义也可取如下两种形式： 0 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim () ( ) ( ) lim h x x f x h fx f x h fx fx f x → → + − ′ = − ′ = 。 0 x-x 3．由导数的定义求导数的步骤： （1）求出对应于自变量改变量的函数改变量： y fx x fx = ( ) () + − （2）作比值： y fx x fx ( ) () x x + − =