经济学专业课程教学大纲二、当x→x时，函数f(x)的极限1.定义如果8>0,38>0，使得当0x-x时，1f(x)-A恒成立，则称当x→x时，函数f(x)以常数A为极限。记作：limf(x)=A或者f(x)→A(x→xo)2.说明：（1）ε刻画f(x)与常数a的接近程度，8刻画x与xo的接近程度。(2）0x-xkS，不考虑f(x)在xo处是否有定义。3.几何意义：对于任意给定的正数ε，不论ε多么小，即不论y=A-ε与y=A+ε间的带形区域多么狭窄，总可以找到8>0,当点(x,f(x)的横坐标x进入(x-8,x)(xo,x+)时,纵坐标f(x)全部落入区间(A-6,A+6)之内.此时,y=f(x)的图形处于带形区域之内，6越小,带形区域越窄三、左右极限（单侧极限）1.0<x-X<8，x大于xo而x趋于x0，即x从xo的右侧趋近于xo，用x→x表示，此时A为函数f(x)在xo点的右极限。记作：limf(x)=A0<x-x<，x小于o而x趋于xo，即x从xo的左侧趋近于xo，用×→X表示，此时A为函数f(x)在xo点的左极限。记作：limf(x)=A→Xlim f(x)= A lim f(x)= lim f(x)= A2．定理r→xor-→xoX-x四、函数极限的局部性质若limf(x)存在，则它只有一个极限。（唯一性）（1）定理1（2）定理2(有界性)若limf(x)存在，则存在xo的某个空心邻域，使得f(x)在该空心邻域内有界。X→0（3）定理3（保号性）若limf(x)=A>0(o<r<0)，并且则对任意正数r(0<r<αD)，都存在xo的空心邻域U(xo), 使得VxeU°(x) 恒有 f(x)>r >0(f(x)<-r <0) 。（不等式性质）（4）定理416
经济学专业课程教学大纲 16 二、当 0 x → x 时，函数 f(x)的极限 1．定义 如果∀> ∃> ε 0, 0 δ ，使得当 0 0| | < x x − < δ 时，| () | fx A − < ε 恒成立，则称当 0 x → x 时，函数 f(x)以常数 A 为极限。 记作： 0 lim ( ) x x f x A → = 或者 0 f () ( ) x Ax x → → 2．说明：（1）ε刻画 f(x)与常数 a 的接近程度，δ刻画 x 与 x0 的接近程度。 （2） 0 0| | <− < x x δ ，不考虑 f(x)在 x0处是否有定义。 3．几何意义： 对于任意给定的正数ε ,不论ε 多么小,即不论 y=A-ε 与 y=A+ε 间的带形区域多么狭窄,总可以 找到 δ >0,当点(x,f(x))的横坐标 x 进入 ( x ,x x ,x 0 0 00 −δ ) ∪ + ( δ ) 时,纵坐标 f(x)全部落入区间 ( ) A ,A − + ε ε 之内.此时,y=f(x)的图形处于带形区域之内,ε 越小,带形区域越窄. 三、左右极限（单侧极限） 1． 0 0 <− < x x δ ，x 大于 x0 而 x 趋于 x0，即 x 从 x0的右侧趋近于 x0，用 0 x x → + 表示，此时 A 为函数 f(x)在 x0 点的右极限。记作： 0 lim ( ) x x f x A → + = 0 0 < −< x x δ ，x 小于 x0而 x 趋于 x0，即 x 从 x0的左侧趋近于 x0，用 0 x x → − 表示，此时 A 为函数 f(x)在 x0 点的左极限。记作： 0 lim ( ) x x f x A → − = 2．定理 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x xx xx f x A fx fx A → → → + − =⇔ = = 四、函数极限的局部性质 （1）定理 1 （唯一性） 若 0 lim ( ) x x f x → 存在，则它只有一个极限。 （2）定理 2 （有界性） 若 0 lim ( ) x x f x → 存在，则存在 x0 的某个空心邻域，使得 f(x)在该空心邻域内有界。 （3）定理 3 （保号性） 若 0 lim ( ) 0 ( 0) x x fx A o r → = > << ，并且则对任意正数 r ra (0 | |) < < ，都存在 x0 的空心邻域 Uo (x0)，使得 0 ( ) o ∀ ∈x U x 恒有 fx r fx r ( ) 0( ( ) 0) > > <− < 。 （4）定理 4 （不等式性质）
高等数学（一）若limf(x)与limg(x)皆存在，且存在xo的某空心邻域U(xo,8)），使得VxeU(xo,)，有Af(x)≤g(x), 则 lim (x)≤lim g(x)。X-X0（5）定理5（（迫敛性）若limf(x)=limg(x)=A，且存在xo的某空心邻域U(xo,8)，使得VxeU°(xo,)，有X→3r→xf(x)≤h(x)≤g(x),则 lim h(x)= A。第三节变量的极限把数列f(n)及函数f(x)概括为“变量y”,把n→0,x→0,x→x概括为“某个变化过程中”，那么，数列极限和函数极限可概括为变量的极限一、变量极限（一)定义：对于任意给定的正数6,在变量y的变化过程中，总有那么一个时刻,在那个时刻以后，y-A<s恒成立,则称变量y在此变化过程中以A为极限.记作limy=A这里的极限定义和记号概括了两种变量,f(n)和f(x),在三种变化过程中,即f(n)在n→oo时及f(x)在x→8或x→时的极限问题二）变量极限的符号使用若对两种变量、三种过程均适用的定义、推理或规律性结论可使用通用记号limy=a,但是变量y已给出具体函数，则不能使用通用记号二、有界性定理(一)变量有界的定义：变量y在某一变化过程中,如果存在正数M,使得变量y在某一时刻之后，恒有y<M,则称y在那个时刻之后为有界变量(二)定理：如果在某一变化过程中,变量y有极限,则变量y是有界变量第四节无穷小量与无穷大量一、无穷大量1.定义：如果对于任意给定的正数E,变量y在其变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,不等式>E恒成立,则称变量y是无穷大量,或称变量y趋近于无穷大记作limy=o0说明：（1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数。17
高等数学（一） 17 若 0 lim ( ) x x f x → 与 0 lim ( ) x x g x → 皆存在，且存在 x0的某空心邻域 Uo (x0,δ)，使得 0 ( ,) o ∀ ∈xUx δ ，有 f () () x gx ≤ ，则 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x g x → → ≤ 。 （5）定理 5 （迫敛性） 若 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x gx A → → = = ，且存在 x0 的某空心邻域 Uo (x0,δ)，使得 0 ( ,) o ∀ ∈xUx δ ，有 f () () () x hx gx ≤ ≤ ，则 0 lim ( ) x x hx A → = 。 第三节 变量的极限 把数列 f(n)及函数 f(x)概括为“变量 y”,把 0 n ,x ,x x →∞ →∞ → 概括为“某个变化过程中”, 那么,数列极限和函数极限可概括为变量的极限 一、变量极限 (一)定义：对于任意给定的正数ε ,在变量 y 的变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以 后, y A − < ε 恒成立,则称变量 y 在此变化过程中以 A 为极限.记作lim y A = . 这里的极限定义和记号概括了两种变量,f(n)和 f(x),在三种变化过程中,即 f(n)在 n → ∞ 时及 f(x) 在 x → ∞或 0 x → x 时的极限问题. (二)变量极限的符号使用 若对两种变量、三种过程均适用的定义、推理或规律性结论可使用通用记号lim y a = ,但是变 量 y 已给出具体函数,则不能使用通用记号. 二、有界性定理 (一)变量有界的定义：变量 y 在某一变化过程中,如果存在正数 M,使得变量 y 在某一时刻之后, 恒有 y M≤ ,则称 y 在那个时刻之后为有界变量. (二)定理：如果在某一变化过程中,变量 y 有极限,则变量 y 是有界变量. 第四节 无穷小量与无穷大量 一、无穷大量 1．定义：如果对于任意给定的正数 E,变量 y 在其变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻 以后,不等式 y E > 恒成立,则称变量 y 是无穷大量,或称变量 y 趋近于无穷大. 记作lim y = ∞ 说明：（1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数
经济学专业课程教学大纲（2）若f（x）为X>x。时的无穷大量，则fx）为U(xo）上的无界函数。反之，无界函数不一定是无穷大量。2.定义：如果f(x)当x→x。或x→xo时为无穷大量，则称直线x=Xo为曲线y=f(x)的铅直渐近线。二、无穷小量(一)无穷小量的定义1.定义：若在自变量x的某个变化过程中limy=0，则称函数y为x在该变化过程中的无穷小量。2.注意：谈到无穷小量时必须指明自变量的变化过程。(二)无穷小量与极限的关系定理：变量y以A为极限的必要充分条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小量的和即：在某个自变量的变化过程中limy=A的充要条件是y=A+α(x），α(x）是在该自变量变化过程中的无穷小量。(三)无穷小量的性质：定理1：有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。推论1常量与无穷小量的乘积为无穷小量。推论2有极限的量与无穷小量的乘积为无穷小量。（四）无穷向量与无穷大量的关系定理在变量y的变化过程中(1)如果y是无穷大量,则一是无穷小量；y(2)如果y(≠0)是无穷小量,则一是无穷大量；y(五)无穷小量阶无穷小量是以零为极限的变量，但收敛于零的速度有快有慢。为此，考察两个无穷小量的比以便对他们的收敛速度作出判断。设α,β是同一过程中的两个无穷小量(1)若lim%=0，则称α为比β高阶无穷小量，或称β为比α低阶无穷小量，记作：α=o(β)βα（2）若lim=0，则称α与β为同阶无穷小量。记作：α=O(β)βm?=1，则称α与β为等价无穷小量。记作：αβ（3）若limβ1o
经济学专业课程教学大纲 18 （2）若 f(x)为 0 x → x 时的无穷大量，则 f(x)为 U(x0)上的无界函数。反之，无界函数不一定 是无穷大量。 2．定义：如果 f(x)当 0 x x → + 或 0 x x → − 时为无穷大量，则称直线 x=x0 为曲线 y=f(x)的铅 直渐近线。 二、无穷小量 (一)无穷小量的定义 1．定义：若在自变量 x 的某个变化过程中lim 0 y = ，则称函数 y 为 x 在该变化过程中的无 穷小量。 2．注意：谈到无穷小量时必须指明自变量的变化过程。 (二)无穷小量与极限的关系 定理：变量 y 以 A 为极限的必要充分条件是：变量 y 可以表示为 A 与一个无穷小量的和. 即：在某个自变量的变化过程中lim y A = 的充要条件是 yA x = +α( ) ，α( ) x 是在该自变量 变化过程中的无穷小量。 (三)无穷小量的性质： 定理 1：有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。 推论 1 常量与无穷小量的乘积为无穷小量。 推论 2 有极限的量与无穷小量的乘积为无穷小量。 (四)无穷向量与无穷大量的关系 定理 在变量 y 的变化过程中 (1)如果 y 是无穷大量,则 1 y 是无穷小量; (2)如果 y(≠0)是无穷小量,则 1 y 是无穷大量; (五)无穷小量阶 无穷小量是以零为极限的变量，但收敛于零的速度有快有慢。为此，考察两个无穷小量的比以 便对他们的收敛速度作出判断。 设α,β 是同一过程中的两个无穷小量. （1）若lim 0 α β = ，则称α为比β高阶无穷小量，或称β为比α低阶无穷小量,记作：α = o( ) β （2）若lim c 0 α β = ≠ ，则称α与β为同阶无穷小量。记作：α = O( ) β （3）若lim 1 α β = ，则称α与β为等价无穷小量。记作：α β
高等数学（一）第五节极限的运算法则一、极限的四则运算法则(一)定理1:在某一变化过程中,如果变量x和变量y分别以A与B为极限,则变量x±y以A±B为极限,即有lim(x±y)=limx±limy=A±B推论1：两个无穷小量的代数和仍为无穷小量(二)定理2：在某一变化过程中,如果变量x和变量y分别以A与B为极限,则变量y以AB为极限，即有lim(xy)=limxlimy=AB推论1：两个无穷小量的乘积仍为无穷小量推论2：常数因子可以提到极限符号外面，即limcy=climy推论3：如果n是正整数,则(1)limx"=(limx)(2) lim x= (limx)(三)定理3：在某一变化过程中,如果变量x和变量y分别以A与B(≠0)为极限,则为极限,即有lim±=limx_4二以会变量一-limy"BByy二、极限计算方法(一)直接利用法则（二）当x一→0时，若分子、分母均趋于0，则上、下同除以x的最高次幂，再用法则一般地，当×→80时，有理公式(%0,b0)的极限有以下结果：(o,n=mbox*+ax*++a-o,.n<mlim-+bx"+bxm-l+.+bm00,n>m（三）当x→x时，若分子、分母均趋于0，则将分子、分母分解因式（能分解的），约去(x-x)(当x→x时,xx,x-±0)再用法则19
高等数学（一） 19 第五节 极限的运算法则 一、极限的四则运算法则 (一)定理1：在某一变化过程中,如果变量x和变量y分别以A与B为极限,则变量 x ± y 以 A± B 为极限,即有 lim x y lim x lim y A B ( ) ± = ± =± 推论 1：两个无穷小量的代数和仍为无穷小量. (二)定理 2：在某一变化过程中,如果变量 x 和变量 y 分别以 A 与 B 为极限,则变量 xy 以 AB 为 极限,即有 lim xy lim xlim y AB ( ) = = 推论 1：两个无穷小量的乘积仍为无穷小量 推论 2：常数因子可以提到极限符号外面,即 limcy clim y = 推论 3：如果 n 是正整数,则 (1) ( )n n lim x lim x = (2) ( ) 1 1 n n lim x lim x = (三)定理 3：在某一变化过程中,如果变量 x 和变量 y 分别以 A 与 B(≠0)为极限,则 变量 x y 以 A B 为极限,即有 x lim x A lim y lim y B = = 二、极限计算方法 (一)直接利用法则 (二) 当 x → ∞时，若分子、分母均趋于∞ ，则上、下同除以 x 的最高次幂，再用法则 一般地，当 x → ∞时，有理公式 0 0 ( 0, 0) a b ≠ ≠ 的极限有以下结果： 0 0 1 0 1 1 0 1 , . lim 0, . , n n n m m x m a n m b ax ax a n m bx bx b n m − →∞ − ⎧ = ⎪ ⎪ + ++ ⎪ = < ⎨ + ++ ⎪∞ > ⎪ ⎪⎩ (三) 当 0 x → x 时，若分子、分母均趋于 0，则将分子、分母分解因式（能分解的），约去 0 ( ) x − x ,(当 0 x → x 时, 0 x ≠ x , 0 x x − ≠ 0 )再用法则
经济学专业课程教学大纲(四）当×→o时，两分式均趋于0，两式相减为0-0型，则先通分变形后再计算；（五）含有根式的未定式（%型或=型），则分子或分母有理化，再用法则080三、复合函数的极限法则定理：设y=f(u),u=p(x),则y是x的复合函数y=f[p(x)若 lim 0(x)=a,lim f (u)= A,则 lim f[0(x)]=lim f(u)= A四、利用等价无穷量计算极限1．等价无穷小的传递与代换性质设limα=0,limβ=0,lim=0(1)若α~β,β~则α~(2)若α~β,则lim=lim， lim~=limBβα1Y2．常用的等价无穷小量当x→0时有1sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,e"-1~x,1-cosx2In(1+x)~x, (1+x)-1~n第六节两个重要的极限一、极限存在的准则(一)夹逼准则(squeezerule)即极限的迫敛性若limf(x)=limg(x)=A，且存在xo的某空心邻域U(xo,)，使得VxeU(xo,0)，有x→30X4f(x)≤h(x)≤g(x),则lim h(x)=A。n→o在研究比较复杂的数列极限问题时，通常分作两步走。第一，考察索给的数列是否有极限（极限的存在性问题）；第二，若数列有极限，则考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两个基本问题。在实际应用上，第一个问题解决后，即使一时求不出极限值，但因为n充分大时，a,能充分接近于其极限a，故可用a,作为α的近似值。(二)单调有界数列的极限准则20
经济学专业课程教学大纲 20 (四) 当 0 x → x 时，两分式均趋于∞ ，两式相减为∞ − ∞ 型，则先通分变形后再计算; (五) 含有根式的未定式 0 0 ∞ ∞ （ 型或 型），则分子或分母有理化，再用法则 三、复合函数的极限法则 定理：设 y f u ,u x = = () () ϕ ,则 y 是 x 的复合函数 y = f x ⎡ϕ ( )⎤ ⎣ ⎦ 若 () () 0 xx ua lim x a,lim f u A ϕ → → = = ,则 ( ) ( ) 0 xx ua lim f x lim f u A ϕ → → ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ 四、利用等价无穷量计算极限. 1．等价无穷小的传递与代换性质 设lim ,lim ,lim α = == 0 00 β γ (1)若α ~,~ ββ γ 则 α ~ γ (2)若α ~ β ,则lim lim , lim lim γ γ αβ α β γγ = = 2．常用的等价无穷小量 当 x → 0 时,有 1 2 1 1 2 x sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x, e ~ x, cos x ~ x − − () () 1 1 11 n x ln x ~ x, x ~ n + +− 第六节 两个重要的极限 一、极限存在的准则 (一)夹逼准则(squeeze rule)即极限的迫敛性 若 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x gx A → → = = ，且存在 x0 的某空心邻域 Uo (x0,δ)，使得 0 ( ,) o ∀ ∈xUx δ ，有 f () () () x hx gx ≤ ≤ ， 则 lim ( ) n hx A →∞ = 。 在研究比较复杂的数列极限问题时，通常分作两步走。第一，考察索给的数列是否有极限（极 限的存在性问题）；第二，若数列有极限，则考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。这是极 限理论的两个基本问题。在实际应用上，第一个问题解决后，即使一时求不出极限值，但因为 n 充 分大时， n a 能充分接近于其极限 a ，故可用 n a 作为 a 的近似值。 (二)单调有界数列的极限准则