高等数学（一）使得f(xo)=yo，则按此对应法则能得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数。2.定义域与值域之间是一一对应关系(二)反函数的求法及其定义域的确定先从方程y-f(x)=0中解出x，得到用y表示x的式子x=f'(y)，然后将x与y互换，得所求函数的反函数。反函数的定义域为直接函数的值域。二、复合函数(一）复合函数的定义定义设函数y=f(u)，若函数u=g(x)的值域与函数y=f(u)的定义域有相交部分时，那么函数f[g(x)称为复合函数，记作：y=f(g(x))或y=(fg)(x).f称为外函数，g称为内函数，x为自变量，u为中间变量第八节初等函数一、初等函数（一）基本初等函数基本初等函数包括：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数.这些函数的简单性质和图形(1)常数函数函数y=c(c为常数)称为常数函数，常数函数的定义域为一切实数，其图形是一条平行于x轴的直线（2）幂函数函数=x"（u为常数)称为幂函数。(3)指数函数函数y=α（a>0,a≠1,a为常数)称为指数函数，其定义域为（-8，+），值域为（0，+）当a>1时，函数严格单调增加；当0<a<1时，函数严格单调减少.函数的图形都过（0，1）点，y=α与y=a-图形关于y轴对称.y=e是工程上常用的指数函数，常数e=2.7182818...（4）对数函数指数函数y=α的反函数。y=log。x（a>0,a≠1)称为对数函数。其定义域为（0，十），值域为（-，+8o），当a>1时，函数严格单调增加；当0<a<1时，函数严格单调减少，函数图形都过（1，0）点.以e为底的对数称为自然对数，记作y=lnx（5）三角函数正弦函数：y=sinx.定义域为（-，+oo），值域为（-1，1），它是以2元为周期的有界的奇数函数余弦函数：y=cosx.定义域为（-8o，十8o），值域为（-1，1），它是以2π为周期的有界的偶函数11
高等数学（一） 11 使得 f(x0)=y0，则按此对应法则能得到一个定义在 f(D)上的函数，称这个函数为 f 的反函数。 2．定义域与值域之间是一一对应关系 (二)反函数的求法及其定义域的确定 先从方程 y-f(x)=0 中解出 x，得到用 y 表示 x 的式子 x=f-1(y)，然后将 x 与 y 互换，得所求函数 的反函数。反函数的定义域为直接函数的值域。 二、复合函数 (一)复合函数的定义 定义 设函数 y=f(u)，若函数 u=g(x)的值域与函数 y=f(u)的定义域有相交部分时，那么函数 f [g(x)]称为复合函数. 记作：y=f(g(x))或 y=(f g)(x). f 称为外函数，g 称为内函数，x 为自变量，u 为中间变量. 第八节 初等函数 一、初等函数 （一）基本初等函数 基本初等函数包括：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数.这些 函数的简单性质和图形. (1)常数函数 函数 y=c(c 为常数)称为常数函数，常数函数的定义域为一切实数，其图形是一条平行于 x 轴 的直线 （2）幂函数 函数 y xμ = (μ为常数)称为幂函数。 (3)指数函数 函数 x y = a (a>0,a≠1,a 为常数)称为指数函数，其定义域为（-∞，+∞），值域为（0，＋∞）. 当 a>1 时，函数严格单调增加; 当 0<a<1 时，函数严格单调减少. 函数的图形都过（0，1）点， x y = a 与 x y a− = 图形关于 y 轴对称. x y = e 是工程上常用的指数函数，常数 e=2．7182818. （4）对数函数 指数函数 x y = a 的反函数。 a y = log x (a>0,a≠1)称为对数函数。其定义域为（0，＋∞）,值 域为（-∞，+∞）.当 a>1 时，函数严格单调增加;当 0<a<1 时，函数严格单调减少，函数图形都过 （1，0）点.以 e 为底的对数称为自然对数，记作 y = ln x （5）三角函数 正弦函数： y x = sin .定义域为（-∞，+∞），值域为〔-1，1〕，它是以 2π为周期的有界的 奇数函数 余弦函数：y=cosx.定义域为（-∞，＋∞），值域为〔-1，1〕，它是以 2π为周期的有界的偶 函数
经济学专业课程教学大纲元元元正切函数：y=tanx.定义域为X≠K元+2，即（K元-2，K元+2）（K=0,±1,±2），它是以元为周期的单调增加的奇函数（在一个周期内）余切函数：y=cotx.定义域为X≠K元即（KⅡ，(K+1)）（K=0，±1,±2），它是以元为周期的单调减少的奇函数（在一个周期内）11一，其图形和性质从略。和余割函数y=cscx=此外，还有正割函数y=secx=cosxsinx（6）反三角函数反正弦函数：y=arcsinx,定义域为（-1，1），值域为（-≥，≥），有界，单调增加，奇22函数，它是正弦函数y=sinx(当-元≤x≤≥时)的反函数22反余弦函数：y=arccosx.定义域为（-1，1），值域为（O，元），有界，单调减少，它是余弦函数y=cosx(当0≤x≤元时）的反函数反正切函数：y=arctanx定义域为（αo，+），值域为（"≤x≤"时）。有界，单调增加，22奇函数，它是正切函数y=tanx(当-元<x<元时)的反函数22反余切函数：y=arccotx定义域为（-α0+），值域为(O,元）有界，单调减少，它是余切函数y=cotx（当0<x<元时）的反函数（二）初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合能用一个式子来表示的函数。高等数学讨论的函数主要是初等函数二、经济中的常用初等函数(一)需求函数与供给函数1.需求函数Q=Q(P)P>0Q—对商品的需求量，P-一商品的价格一般来说，需求量随价格上涨而减少，通常需求函数是价格的单调减少函数。（1）线性需求函数Q=a-bP,a>0,b≥0（2）二次曲线需求函数Q=a-bP-cP2,a≥0,b≥0,c≥0（3）指数需求函数Q=Ae-bP,A≥0,b>02.供给函数（供应函数）商品价格对商品供给量的影响S=S(P)一边，商品供应量随商品价格上涨而增加，因此商品供给函数S是商品价格P的单调增加函数。3.需求函数与供给函数密切相关，将两条曲线画在同一坐标系中，其交点（P,Q），P为均衡价格，Q为均衡数量。12
经济学专业课程教学大纲 12 正切函数：y=tanx.定义域为 X≠Kπ＋ 2 π ，即（Kπ- 2 π ，Kπ＋ 2 π ）（K=0,±1,±2.）,它是 以π为周期的单调增加的奇函数（在一个周期内） 余切函数：y=cotx.定义域为 X≠Kπ,即（Kπ，（K+1）π）（K=0，±1,±2.），它是以π 为周期的单调减少的奇函数（在一个周期内） 此外，还有正割函数 y=secx= 1 cos x 和余割函数 y=cscx= 1 sin x ，其图形和性质从略。 （6）反三角函数 反正弦函数： y = arcsin x ,定义域为〔-1，1〕，值域为〔- 2 π ， 2 π 〕，有界，单调增加，奇 函数，它是正弦函数 y=sinx(当- 2 π ≤x≤ 2 π 时)的反函数. 反余弦函数： y arccos x = .定义域为〔-1，1〕，值域为〔0，π〕，有界，单调减少，它是余 弦函数 y=cosx(当 0≤x≤π时)的反函数. 反正切函数：y=arctanx 定义域为（-∞，+∞），值域为（- 2 π ≤x≤ 2 π 时）。有界，单调增加， 奇函数，它是正切函数 y=tanx(当- 2 π <x< 2 π 时)的反函数. 反余切函数： y = arc x cot 定义域为（-∞,+ ∞），值域为(0, ) π .有界，单调减少，它是余切 函数 y = cot x （当0 < <x π 时〉的反函数. （二）初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合能用一个式子来表示的函数。高等数学讨论的函 数主要是初等函数. 二、经济中的常用初等函数 (一)需求函数与供给函数 1．需求函数 Q=Q(P) P>0 Q——对商品的需求量，P——商品的价格 一般来说，需求量随价格上涨而减少，通常需求函数是价格的单调减少函数。 （1）线性需求函数 Q=a-bP, a≥0, b≥0 （2）二次曲线需求函数 Q=a-bP-cP2 , a≥0,b≥0,c≥0 （3）指数需求函数 Q=Ae-bP, A≥0, b≥0 2．供给函数（供应函数） 商品价格对商品供给量的影响 S=S(P) 一边，商品供应量随商品价格上涨而增加，因此商品供给函数 S 是商品价格 P 的单调增加函 数。 3．需求函数与供给函数密切相关，将两条曲线画在同一坐标系中，其交点（P,Q），P 为均衡 价格，Q 为均衡数量
高等数学（一）三、成本函数1.在短时间内不发生变化或不明显地随产品数量增加而变化的，称为固定成本。C2.随产品数量的变化而直接变化的部分，称为可变成本。C2，是产品数量q的函数C2=C2(q)总成本C=C(q)=C+C2(q)(1)线性总成本C(q)=C,+cq(2)二次成本C(q)=a+bq+cq(3)三次成本C(q)=ko+kiq+k2g+k3q四、收益函数与利润函数1.收益函数总收益销售者售出一定数量q商品所得的全部收入。记为：R(g)2.利润函数生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是总利润。L=L(q)=R(g)-C(g)3.盈亏分析第九节函数图形的简单组合与变换函数图形的基本变换：1.叠加2.翻转3.放缩4平移复习与思考题教材习题一Ａ组B组拓展阅读书目高等数学第五版上下册同济大学应用数学系主编袁荫棠主编经济数学基础（一）微积分解题思路和方法数学复习指南（经济类、考研数学系列）陈文灯主编数学的思想，方法和应用张顺燕主编姚孟臣编大学文科高等数学刘书田主编微积分学习辅导与解题方法13
高等数学（一） 13 三、成本函数 1．在短时间内不发生变化或不明显地随产品数量增加而变化的，称为固定成本。C1 2．随产品数量的变化而直接变化的部分，称为可变成本。C2，是产品数量 q 的函数 C2=C2(q) 总成本 C=C(q)=C1+C2(q) (1)线性总成本 C(q)=C1+cq (2)二次成本 C(q)=a+bq+cq2 (3)三次成本 C(q)=k0+k1q+k2q 2 +k3q 3 四、收益函数与利润函数 1．收益函数 总收益 销售者售出一定数量 q 商品所得的全部收入。记为：R(q) 2．利润函数 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是总利润。L=L(q)=R(q)-C(q) 3．盈亏分析 第九节 函数图形的简单组合与变换 函数图形的基本变换： 1．叠加 2．翻转 3．放缩 4 平移 复习与思考题 教材习题一 A 组 B 组 拓展阅读书目 高等数学 第五版 上下册 同济大学应用数学系主编 经济数学基础（一）微积分解题思路和方法 袁荫棠主编 数学复习指南（经济类、考研数学系列） 陈文灯主编 数学的思想，方法和应用 张顺燕主编 大学文科高等数学 姚孟臣编 微积分学习辅导与解题方法 刘书田主编
经济学专业课程教学大纲第二章极限与连续本章的教学目的和基本要求：通过本章的学习，使学生了解数列极限和函数极限以及连续的概念，理解极限和连续的性质，掌握极限的运算，掌握函数连续性的讨论。1．理解数列极限的直观定义，掌握数列极限的性质。2.理解函数极限的直观定义，掌握函数极限的性质。3.理解无穷大量与无穷小量的概念，掌握无穷大量与无穷小量的关系和性质。掌握无穷小量的阶的比较方法。4.熟练掌握极限运算法则和计算方法。5.了解极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）掌握第一重要极限的证明，了解第二重要极限的证明方法，能熟练的应用两个重要极限计算函数的极限。6.理解函数在某点连续，在（a、b）上连续，以及在[a、b]上连续的概念。了解函数间断的概念。理解连续函数的性质和初等函数的连续性。7.熟练掌握函数的间断点的计算。8.掌握闭区间上连续函数的性质以及简单的证明。本章的知识点：数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准lum sinx=1, lim(1+则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念函数间断=e→00xaX点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质重点：极限的性质和运算法则、两个重要极限的应用月函数的连续性讨论难点：函数极限的概念极限存在的两个准则和两个重要极限闭区间上连续函数的性质及应用学时分配6×2=12第一节数列的极限一、数列极限（一）数列1.定义：一个定义在正整数集合上的函数yn=f(n）（称为整标函数），当自变量n按正整数1，2，3，…依次增大的顺序取值时，函数值按相应的顺序排成一串数：f(1),f(2)…f(n),…·称为一个无穷数列，简称数列。2.数列的单调与有界（二）数列的极限1.数列极限的ε—N定义：设(x)是一个数列，a是一个确定的数，若对于Vs>0,NeN，使得n>N时，14
经济学专业课程教学大纲 14 第二章 极限与连续 本章的教学目的和基本要求： 通过本章的学习，使学生了解数列极限和函数极限以及连续的概念，理解极限和连续的性质， 掌握极限的运算，掌握函数连续性的讨论。 1．理解数列极限的直观定义，掌握数列极限的性质。 2．理解函数极限的直观定义，掌握函数极限的性质。 3．理解无穷大量与无穷小量的概念，掌握无穷大量与无穷小量的关系和性质。掌握无穷小量 的阶的比较方法。 4．熟练掌握极限运算法则和计算方法。 5．了解极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）掌握第一重要极限的证明， 了解第二重要极限的证明方法，能熟练的应用两个重要极限计算函数的极限。 6．理解函数在某点连续，在（a、b）上连续，以及在[a、b]上连续的概念。了解函数间断的概 念。理解连续函数的性质和初等函数的连续性。 7．熟练掌握函数的间断点的计算。 8．掌握闭区间上连续函数的性质以及简单的证明。 本章的知识点： 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念 及关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准 则和夹逼准则 两个重要极限 0 1 1 1 x x x sin x lim , lim e → →∞ x x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ 函数连续的概念 函数间断 点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 重点：极限的性质和运算法则、两个重要极限的应用 函数的连续性讨论 难点：函数极限的概念 极限存在的两个准则和两个重要极限 闭区间上连续函数的性质及 应用 学时分配 6×2=12 第一节 数列的极限 一、数列极限 （一）数列 1．定义：一个定义在正整数集合上的函数 yn=f(n)（称为整标函数），当自变量 n 按正整数 1， 2，3，.依次增大的顺序取值时，函数值按相应的顺序排成一串数：f(1), f(2),.,f(n),.称为一个 无穷数列，简称数列。 2．数列的单调与有界 （二）数列的极限 1．数列极限的 ε—N 定义： 设{xn}是一个数列，a 是一个确定的数，若对于∀ε > ∃ ∈Ν 0, , N 使得 n N> 时
高等数学（一）都有x-ak，则称数列(xn)收敛于a，a称为它的极限。记作：limx,=a或者x,→a(n→)2.注意：（1）ε的任意性。ε的作用在于衡量x，和a的接近程度。（2）N的相应性。N依赖于e，但并不是由ε唯一确定。3几何意义：所有下标大于N的x都落在a的ε邻域内，而在这个邻域之外，至多有N（有限）个项。二、数列极限的性质定理定理1（唯一性）若数列(xn)收敛，则它的极限值是唯一的。定理2（有界性）若数列(xn)收敛，则它为有界数列。定理3数列收敛的充要条件是其任意子列都收敛并且具有相同的极限。第二节函数的极限数列是一个特殊的函数，若将其定义与从自然数n扩充到整个实数域R，则数列α，就是一般意义的函数f(x）。以下考察两种情况：当x的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势当x逐渐趋向点x。时，函数值的变化趋势。一、当x→>00时，函数f(x)的极限1.定义设f为定义在(-0,+)上的函数，A是一个定数，若Vs>0,3M>0,使得当x>M,时,恒有F(x)-A<8则称函数f当x趋于正无穷时极限存在并以A为极限。记作：limf(x)=A2.几何意义：当x>M时，都有If(x)-Akε，表示在直线x=-M,x=M的两侧，曲线y=f(x)整个地落在以y=A为中心，2e为宽度的带型区域内。类似地可定义 limf(x)=A，limf(x)=A3. 定理: lim f(x)=A lim f(x)= lim f(x)= A4.水平渐近线定义：若limf(x)=A或者limf(x)=A，则称直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线。15
高等数学（一） 15 都有| | n x a − < ε ，则称数列{xn}收敛于 a，a 称为它的极限。 记作： lim n n x a →∞ = 或者 ( ) n x an → →∞ . 2．注意：（1）ε 的任意性。ε 的作用在于衡量 xn和 a 的接近程度。 （2）N 的相应性。N 依赖于 ε，但并不是由 ε 唯一确定。 3．几何意义：所有下标大于 N 的 xn都落在 a 的 ε 邻域内，而在这个邻域之外，至多有 N（有 限）个项。 二、数列极限的性质定理 定理 1 （唯一性）若数列{xn}收敛，则它的极限值是唯一的。 定理 2 （有界性）若数列{xn}收敛，则它为有界数列。 定理 3 数列收敛的充要条件是其任意子列都收敛并且具有相同的极限。 第二节 函数的极限 数列是一个特殊的函数，若将其定义与从自然数 n 扩充到整个实数域 R ，则数列 n a 就是一般 意义的函数 f ( ) x 。以下考察两种情况：当 x 的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势;当 x 逐渐趋 向点 0 x 时，函数值的变化趋势。 一、当 x → ∞ 时，函数 f(x)的极限 1．定义 设 f 为定义在( ) −∞ +∞ , 上的函数，A 是一个定数，若 ∀> ∃ > ε 0 0 , M ,使得当 x > M ,时,恒有 fx A ( ) − < ε 则称函数 f 当 x 趋于正无穷时极限存在并以 A 为极限。记作： lim ( ) x f x A →∞ = 2．几何意义：当 x > M 时，都有| () | fx A − < ε ，表示在直线 x = − = M,x M 的两侧，曲 线 y=f(x)整个地落在以 y=A 为中心，2ε为宽度的带型区域内。 类似地可定义 ( ) ( ) x x lim f x A, lim f x A →+∞ →−∞ = = 3．定理： lim ( ) lim ( ) lim ( ) x xx f x A fx fx A →∞ →+∞ →−∞ =⇔ = = 4．水平渐近线 定义：若 lim ( ) x f x A →+∞ = 或者 lim ( ) x f x A →−∞ = ，则称 直线 y=A 是曲线 y=f(x)的水平渐近线