经济学专业课程教学大纲前言课程号：309010034英文名称：HigherMathematics(一)授课对象：经济学专业和工商管理类专业课程的性质、目的和任务高等数学（一）是我校本科经济学专业、工商管理专业和国际商务专业的一门必修专业基础课程，它内容丰富，学时较多，其任务是既要为经管类专业后继课程提供基本的数学工具，又要培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力。本课程以一元微积分学为核心内容，首先介绍了微积分研究的对象一函数以及微积分研究的重要基础一极限论。并在此基础上建立一元函数微积分学的导数、微分、不定积分、定积分、广义积分的概念和理论。教学重点放在掌握概念，强化应用，培养能力，提高素质”上通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的目的，能力培养贯穿教学全过程。高等数学课程既是一门重要的基础课和工具课，更是一门素质课。在教学中结合教学内容及学生特点，选择适宜的教学方法与教学手段有重点地营造有利于学生能力发展的氛围，启发学生思维，促进学生能力的提高。逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，特别是注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。授课方法：高等数学(一)是一门形数结合的数学学科，在讲解过程中，尽量采用多媒体教学，多用图形和实例引入来说明和描述微积分中的一些主要定义和概念。用问题驱动法逐步展开教学把学生吸引到教学内容中去，并引导学生讨论问题，调动学生听课的积极性，锻炼学生的表达能力，提高课堂教学效率。在讲授传统内容时，运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系，淡化运算技巧训练。说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。中国人民大学出版社教材：微积分赵树螈主编考核方法：采用闭卷考试，以百分制评定成绩。平时成绩20%,期末成绩80%(60学时，4学分）6
经济学专业课程教学大纲 6 前 言 课程号： 309010034 英文名称：Higher Mathematics(一) 授课对象：经济学专业和工商管理类专业 课程的性质、目的和任务 高等数学(一)是我校本科经济学专业、工商管理专业和国际商务专业的一门必修专业基础课 程，它内容丰富，学时较多，其任务是既要为经管类专业后继课程提供基本的数学工具，又要培养 学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力。 本课程以一元微积分学为核心内容，首先介绍了微积分研究的对象—函数以及微积分研究的重 要基础—极限论。并在此基础上建立一元函数微积分学的导数、微分、不定积分、定积分、广义积 分的概念和理论。教学重点放在“掌握概念，强化应用，培养能力，提高素质”上,通过教学要实现传 授知识和发展能力两方面的目的，能力培养贯穿教学全过程。高等数学课程既是一门重要的基础课 和工具课，更是一门素质课。在教学中结合教学内容及学生特点，选择适宜的教学方法与教学手段， 有重点地营造有利于学生能力发展的氛围，启发学生思维，促进学生能力的提高。逐步培养学生的 抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，特别是注意培养学生具有综 合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 授课方法： 高等数学(一)是一门形数结合的数学学科，在讲解过程中，尽量采用多媒体教学,多用图形和实 例引入来说明和描述微积分中的一些主要定义和概念。用问题驱动法逐步展开教学,把学生吸引到 教学内容中去, 并引导学生讨论问题，调动学生听课的积极性，锻炼学生的表达能力，提高课堂教 学效率。在讲授传统内容时，运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同 分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系,淡化运算技巧训练。 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了 解”、“会”等词表述。 教材：微积分 赵树螈主编 中国人民大学出版社 考核方法：采用闭卷考试，以百分制评定成绩。平时成绩 20%,期末成绩 80%. (60 学时，4 学分)
高等数学（一)第一章函数本章的教学目的和基本要求：培养学生的函数意识，利用函数的理论分析问题中变量间的关系1.理解函数概念，掌握求函数的定义域、表达式及函数值的方法，并掌握作出简单分段函数的图像的方法；2．理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断所给函数的几何性质的方法。3.理解函数y=f(x)与其反函数y=(x)之间的关系，掌握求单调函数的反函数的方法。4理解复合函数概念，掌握初等函数的复合与分解运算过程，掌握求复合函数的定义域的方法，了解初等函数与分段函数的复合运算过程；5掌握基本初等函数的简单性质及其图像，掌握初等函数概念，掌握判断一个函数是否为初等函数的方法。6．掌握建立常用经济实际问题的函数关系的方法。本章的知识点：函数的概念及表示函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题函数关系的建立重点：函数概念、函数的几何特性、反函数的概念和计算、复合函数的概念及运算、初等函数难点：函数概念、复合函数学时分配：2×2=4第一节集合集合是教学中一个重要的概念，它在现代数学中起着非常重要的作用。（一）集合的概念1.集合，元素2.集合具有确定性（二）表示方法1.列举2.描述3.文氏图（三）全集与空集1.全集U或Q具有相对性Φ区别(0)和(中)2.空集（四）子集VaeA,有aeB,则AcB性质：1.ACA2.ΦCA3. 若ACB,BCC,则AcC（五）集合的运算1.并AUB=xxEA或xEB)7
高等数学（一） 7 第一章 函 数 本章的教学目的和基本要求： 培养学生的函数意识,利用函数的理论分析问题中变量间的关系. 1．理解函数概念，掌握求函数的定义域、表达式及函数值的方法，并掌握作出简单分段函数 的图像的方法； 2．理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断所给函数的几何性质的方法。 3．理解函数 y fx = ( ) 与其反函数 ( ) 1 yf x − = 之间的关系，掌握求单调函数的反函数的方法。 4．理解复合函数概念，掌握初等函数的复合与分解运算过程，掌握求复合函数的定义域的方 法，了解初等函数与分段函数的复合运算过程； 5．掌握基本初等函数的简单性质及其图像，掌握初等函数概念，掌握判断一个函数是否为初 等函数的方法。 6．掌握建立常用经济实际问题的函数关系的方法。 本章的知识点：函数的概念及表示 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反 函数、隐函数、分段函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题函数关系的建 立 重点：函数概念、函数的几何特性、反函数的概念和计算、复合函数的概念及运算、初等函数 难点：函数概念、复合函数 学时分配：2×2=4 第一节 集 合 集合是教学中一个重要的概念，它在现代数学中起着非常重要的作用。 （一）集合的概念 1．集合，元素 2．集合具有确定性 （二）表示方法 1．列举 2．描述 3．文氏图 （三）全集与空集 1．全集 U 或Ω 具有相对性 2．空集 Φ 区别{0}和{Φ} （四）子集 ∀∈ ∈ ⊂ aA aB A B , , 有 则 性质：1． A ⊂ A 2．Φ ⊂ A 3．若 则 A BB C A C ⊂⊂ ⊂ , , （五）集合的运算 1．并 A∪= ∈ ∈ B xx A x B {| } 或
经济学专业课程教学大纲2. 交 AOB(AB)=(x|xE A且xE B)3.差A-B=(x|xEA且xgB)4. 补集A'=(xxeU,x@A)（六）集合的运算律1交换律：AUB=BUAAOB=BNA)(AnB)nC=An(BnC)2.结合律(AUB)UC=AU(BUC)3. 分配律(AUB)nC=(AnC)U(BnC)(AnB)UC=(AUC)n(BUC)4.狄摩根律（AUB)=A'B（AnB)=AUB（七）集合的笛卡尔积：A×B=((x,y)IxeA,yeB）第二节实数集在中学数学课程中，我们知道实数由有理数与无理数两大部分组成。每一个有理数都可用分数形式（p,9为整数，90）表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示；而无限十进q不循环小数则表示一个无理数。1.实数与数轴2.绝对值3.区间4.邻域设a与8是两个实数，且8>0，数集(xx-a<8）称为点a的8邻域。点a叫做这个邻域的中心，8叫做这个邻域的半径。记作U(a)=(xx-a<8）U：（a)=(x0<x-a<8）称为点a的去心8邻域（或空心邻域）。第三节函数关系（一）关系任意两个集合之间都可以建立关系（二）函数定义1.定义若D是一个非空实数集合，设有一个对应规则f，使每一个xED，都有一个确定的实数y与之对应，则称这个对应规则f为定义在D上的一个函数关系，或称变量y是变量x的函数。y=f(x)，xED。x称为自变量,y称为因变量,D或D(f)称为定义域,Z或Z(f)称为值域2.函数图形3.研究一个函数必须知道自变量与因变量的对应规则以及函数定义域（三）多值函数1.单值函数2.多值函数8
经济学专业课程教学大纲 8 2．交 A∩ =∈∈ B AB x x A x B ( ) {| } 且 3．差 A−= ∈ ∉ B xx A x B {| } 且 4．补集 A′ = ∈∉ {xx U x A , } （六）集合的运算律 1 交换律： A∪=∪ ∩=∩ BBA ABBA 2．结合律 ( ) AB CA BC AB CA BC ∪ ∪=∪ ∪ ∩ ∩=∩ ∩ ( ) ( ) ( ) 3．分配律 () () AB C AC BC AB C AC BC ∪ ∩= ∩ ∪ ∩ ∩ ∪= ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )( ) 4．狄 摩根律 () () AB A B AB A B ′ ′ ∪ =∩ ∩ =∪ ′′ ′′ （七）集合的笛卡尔积： A ×= ∈ ∈ B x {( , ) | , } y x A y B 第二节 实数集 在中学数学课程中，我们知道实数由有理数与无理数两大部分组成。每一个有理数都可用分数 形式 p q （ p,q 为整数，q ≠ 0 ）表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示；而无限十进 不循环小数则表示一个无理数。 1．实数与数轴 2．绝对值 3．区间 4．邻域 设 a 与δ是两个实数，且δ>0，数集{x||x-a|<δ}称为点 a 的δ邻域。点 a 叫做这个邻域的中心, δ叫做这个邻域的半径。记作 Uδ(a)={x||x-a|<δ}. Uδo (a)={x|0<|x-a|<δ}称为点 a 的去心δ邻域（或空心邻域）。 第三节 函数关系 （一）关系 任意两个集合之间都可以建立关系 （二） 函数定义 1．定义 若 D 是一个非空实数集合，设有一个对应规则 f，使每一个 x∈D，都有一个确定 的实数 y 与之对应，则称这个对应规则 f 为定义在 D 上的一个函数关系，或称变量 y 是变量 x 的函 数。y=f(x)，x∈D。x 称为自变量,y 称为因变量,D 或 D(f)称为定义域,Z 或 Z(f)称为值域 2．函数图形 3．研究一个函数必须知道自变量与因变量的对应规则以及函数定义域 （三）多值函数 1．单值函数 2．多值函数
高等数学（一）第四节函数表示法（一）公式、表格和图形（二）分段函数函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达。1.绝对值函数2.符号函数3.取整函数4.Dirichlet函数5.Riemann函数（三）隐函数1.函数因变量可以用自变量表达式表示出来，称为显函数。2．函数的因变量与自变量的对应规则是用一个方程F(x,y)=0表示的，称为隐函数。第五节建立函数关系的例题为了解决应用问题，先要明确问题中变量之间的函数关系，根据题意建立变量的关系等式，即给出问题的数学模型,应用问题的定义域的确定，除了考虑函数的解系式外还要考虑变量在实际问题中的含义最后对所得的解进行合理性解释第六节函数的几种简单性质一、函数的奇偶性(一)函数的奇偶性定义1.偶函数定义：设函数=f(x)的定义域关于原点对称，即当xeD时，-xED,如果对于定义域D中的任意x,均有f(-x)=f(x)则称f(x)为偶函数偶函数图形关于y轴对称2.奇函数定义：如果对任意的xED，均有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数奇函数图形关于原点对称(二)函数奇偶性的有关命题命题1：两个偶函数之积是偶函数。两个奇函数之积是偶函数。一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。命题2：设f(x)是定义在对称区间(-1,I)上的任意函数，则f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数。命题3：若函数y=f(t)，t=g(x)的奇偶性不同，则其复合函数y=flg(t)必为偶函数；若奇偶性相同，则其复合函数y-f[g(x))与f(x)具有相同的奇偶性。命题4：定义在区间(-1,I)上的任意函数可以表为一个偶函数与一个奇函数的和。命题5：定义在区间（-1,I）或全体实数上的不恒等于零的函数为非奇非偶函数的充要条件是它可表为一个奇函数与一个偶函数之和。9
高等数学（一） 9 第四节 函数表示法 （一）公式、表格和图形 （二）分段函数 函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达。 1．绝对值函数 2．符号函数 3．取整函数 4．Dirichlet 函数 5．Riemann 函数 （三）隐函数 1．函数因变量可以用自变量表达式表示出来，称为显函数。 2．函数的因变量与自变量的对应规则是用一个方程 F(x,y)=0 表示的，称为隐函数。 第五节 建立函数关系的例题 为了解决应用问题,先要明确问题中变量之间的函数关系,根据题意建立变量的关系等式,即给 出问题的数学模型,应用问题的定义域的确定,除了考虑函数的解系式外还要考虑变量在实际问题中 的含义.最后对所得的解进行合理性解释. 第六节 函数的几种简单性质 一、函数的奇偶性 (一)函数的奇偶性定义 1．偶函数 定义：设函数 y fx = ( ) 的定义域关于原点对称，即当 x∈D 时， −x∈ D ,如果对于定义域 D 中的任意 x ,均有 f ( ) () − = x fx 则称 f ( ) x 为偶函数. 偶函数图形关于 y 轴对称. 2．奇函数 定义：如果对任意的 x∈D ，均有 f ( ) () −x fx = − ,则称 f ( ) x 为奇函数. 奇函数图形关于原点对称. (二)函数奇偶性的有关命题 命题 1：两个偶函数之积是偶函数。两个奇函数之积是偶函数。一个奇函数与一个偶函数之积 是奇函数。 命题 2：设 f(x)是定义在对称区间(-l,l)上的任意函数，则 f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函 数。 命题 3： 若函数 y=f(t)，t=g(x)的奇偶性不同，则其复合函数 y=f[g(t)]必为偶函数；若奇偶性 相同，则其复合函数 y=f[g(x)]与 f(x)具有相同的奇偶性。 命题 4：定义在区间(-l,l)上的任意函数可以表为一个偶函数与一个奇函数的和。 命题 5：定义在区间（-l,l）或全体实数上的不恒等于零的函数为非奇非偶函数的充要条件是它 可表为一个奇函数与一个偶函数之和
经济学专业课程教学大纲二、周期性(一)周期函数定义定义：设函数y=f(x)xED,如果存在不为零的实数T，对于每一个xED，都有x+TED.且总有f(x+T)=f(x)则称y=f(x)为周期函数，称T为f(x)的周期。若T为函数f(x)的一个周期，则kT(kEZ)也是f(x)的周期。通常我们说周期函数的周期指的是函数的最小正周期(二)性质(1）若T为f(x)的周期，则f(ax+b)的周期为T/la(2）若f(x),g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)g(x)也是以T为周期的函数(3）若f(x),g(x)分别是以 Ti,T2为周期的函数，TiT2，则f(x)±g(x)是以Ti,T2最小公倍数为周期的函数。三、函数的单调增减性(一)函数增减性的定义1.单调递增设函数y=f(x)在区间I内有意义，对于区间I内任意两点Xi,X2当Xi<x2时，函数y=f(x)满足f(xi)<f(x2),则称函数y=f(x)在区间 I内单调增加.2.单调递减如果函数y=f(x)在区间I内有定义，对于区间I任意两点x,x,当x,<x,时，函数y=f(x)满足f(x)>f(x),则称函数f(x)在区间I内单调减少(二)函数单调性的判定（三)函数单调性的有关命题1.严格单调函数的图像与任意平行于横轴的直线至多有一个交点，2.严格单调函数必有反函数，并且严格递增（递减）函数的反函数也必是严格递增（递减）的。四、有界性定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的xEI,对应的函数值f(x)恒有If(x)≤M成立，则称函数f(x)在I内有界，如果这样的正数M不存在，则称函数f(x)在I内无界。注意：同一函数在自变量的不同范围上的有界性不一定相同第七节反函数复合函数一、反函数(一)反函数的定义1.定义：已知函数y=f(x)，xED。若对于值域f(D)中每一个值yo，D中有且只有一个值xo10
经济学专业课程教学大纲 10 二、周期性 (一)周期函数定义 定义： 设函数 y=f(x), x∈D,如果存在不为零的实数 T，对于每一个 x∈D，都有 x+T∈D,且总 有 f(x+T)=f(x) 则称 y=f(x)为周期函数，称 T 为 f(x)的周期. 若 T 为函数 f(x)的一个周期，则 kT(k∈Z)也是 f(x) 的周期. 通常我们说周期函数的周期指的是函数的最小正周期. (二)性质 （1）若 T 为 f(x)的周期，则 f(ax+b)的周期为 T/|a| （2）若 f(x),g(x)均是以 T 为周期的函数，则 f(x)±g(x)也是以 T 为周期的函数 （3）若 f(x),g(x)分别是以 T1,T2 为周期的函数，T1≠T2，则 f(x)±g(x)是以 T1,T2 最小公倍数为周 期的函数。 三、函数的单调增减性 (一)函数增减性的定义 1．单调递增 设函数 y=f(x)在区间 I 内有意义，对于区间 I 内任意两点 x1,x2 当 x1<x2 时，函数 y=f(x)满足 f(x1)<f(x2),则称函数 y=f(x)在区间 I 内单调增加. 2．单调递减 如果函数 y=f(x)在区间 I 内有定义，对于区间 I 任意两点 1, 2 x x 当 1 2 x < x 时，函数 y=f(x)满足 1 2 f () () x fx > ,则称函数 f(x)在区间 I 内单调减少. (二)函数单调性的判定 (三)函数单调性的有关命题 1．严格单调函数的图像与任意平行于横轴的直线至多有一个交点。 2．严格单调函数必有反函数，并且严格递增（递减）函数的反函数也必是严格递增（递减） 的。 四、有界性 定义：设函数 f(x)在区间Ｉ上有定义，如果存在一个正数Ｍ，对于所有的 x∈I,对应的函数值 f(x) 恒有|f(x)|≤M 成立，则称函数 f(x)在 I 内有界，如果这样的正数 M 不存在，则称函数 f(x)在 I 内 无界。 注意：同一函数在自变量的不同范围上的有界性不一定相同 第七节 反函数 复合函数 一、反函数 (一)反函数的定义 1．定义：已知函数 y=f(x)，x∈D。若对于值域 f(D)中每一个值 y0，D 中有且只有一个值 x0