圆的方程习题(含答案) 、单选题 1.以点P(2,-3)为圆心,并且与y轴相切的圆的方程是() A.(x+2)2+(y-3)2=4 B.(x+2)2+(y-3)2=9 (x-2)2+(y+3)2 2.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接它与定点Q(3,0),线段PQ的中点M的轨迹方 程是() A.(x+3)2+y2=1B.(x-3)2+y2=1 (2x+3)2+4y2=1 3.圆x2+y2-(4m+2x-2m+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,那么圆的 面积为() 由m的值而定 4.圆x2+y2+2√2x=0的半径是() A.√zB.2C.2yz 5.已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A、 B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为 A.x+y-3=0B.x+y+3=0C.3x-3y+4=0 6.若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(10)为两个定点,则|PA+|PB 的最大值为() 7.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴过点 A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则AB|=( 2 8.若直线1:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a-2)2+(b 2)的最小值为 A.√5B.5 2√5D.10 9.若xab均为任意实数,且(a+2)2+(b-3)2=1,则(x-a)2+(nx-b)2的最小 试卷第1页,总4页
试卷第 1 页，总 4 页 圆的方程 习题（含答案） 一、单选题 1．以点 P(2，－3)为圆心，并且与 y 轴相切的圆的方程是( ) A． (x＋2)2＋(y－3)2＝4 B． (x＋2)2＋(y－3)2＝9 C． (x－2)2＋(y＋3)2＝4 D． (x－2)2＋(y＋3)2＝9 2．当点𝑃在圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 1上运动时，连接它与定点𝑄(3,0)，线段𝑃𝑄的中点𝑀的轨迹方 程是（ ） A． (𝑥 + 3) 2 + 𝑦 2 = 1 B． (𝑥 − 3) 2 + 𝑦 2 = 1 C． (2𝑥 − 3) 2 + 4𝑦 2 = 1 D． (2𝑥 + 3) 2 + 4𝑦 2 = 1 3．圆 x 2＋y 2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0 的圆心在直线 x＋y－4＝0 上，那么圆的 面积为( ) A． 9π B． π C． 2π D． 由 m 的值而定 4．圆𝑥 2 + 𝑦 2 + 2√2𝑥 = 0的半径是（ ） A． √2 B． 2 C． 2√2 D． 4 5．已知圆𝐶1 :𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0与圆𝐶2 :𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 10𝑦 + 4 = 0相交于 A、 B 两点，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 A． 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 B． 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 C． 3𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 D． 7𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 6．若点𝑃为圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 1上的一个动点，点𝐴(−1,0)，𝐵(1,0)为两个定点，则|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| 的最大值为（ ） A． 2 B． 2√2 C． 4 D． 4√2 7．已知直线𝑙：𝑥 + 𝑎𝑦 − 1 = 0(𝑎 ∈ 𝑅)是圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0的对称轴.过点 𝐴(−4, 𝑎)作圆𝐶的一条切线，切点为𝐵，则|𝐴𝐵| =（ ） A． 2 B． 4√2 C． 6 D． 2√10 8．若直线 l：ax+by+1=0 经过圆 M：x 2 + y 2 + 4x + 2y + 1 = 0的圆心则(a − 2) 2 + （b − 2） 2 的最小值为 A． √5 B． 5 C． 2√5 D． 10 9．若𝑥, 𝑎, 𝑏均为任意实数，且(𝑎 + 2) 2 + (𝑏 − 3) 2 = 1，则(𝑥 − 𝑎) 2 + (ln𝑥 − 𝑏) 2 的最小
值为() A.3√2B.18C.32-1D.19-62 二、填空题 10.如图,扇形AOB的圆心角为90°,半径为1,点P是圆弧AB上的动点,作点P关于弦 AB的对称点Q,则DP·0的取值范围为 11.已知x,y满足x2-4x-4+y2=0,则x2+y2的最大值为 12.若直线1:2ax-by+2=0(a>0,b>0)与x轴相交于点A,与y轴相交于B,被 圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则|0A|+|0B|(0为坐标原点)的最小值为 13.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若B=23, 则圆C的面积为 14.已知圆的圆心在曲线xy=1(x>0)上,且与直线x+4y+13=0相切,当圆的面 积最小时,其标准方程为 15.在平面直角坐标系xOy中,已知过点A(2,-1)的圆C和直线x+y=1相切,且圆心 在直线y=-2x上,则圆C的标准方程为 16.已知圆C的圆心在直线2x-y=0上,且经过A(6,2),B(48)两点,则圆C的标准方 程是 17.在平面直角坐标系中,三点0(00),A(24),B(6,2),则三角形OAB的外接圆方程是 18.如图,0是坐标原点,圆0的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从 点A,B同时出发,圆0上按逆时针方向运动若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点 P运动一周的过程中,·而的最大值是 试卷第2页,总4页
试卷第 2 页，总 4 页 值为（ ） A． 3√2 B． 18 C． 3√2 − 1 D． 19 − 6√2 二、填空题 10．如图，扇形𝐴𝑂𝐵的圆心角为 90°，半径为 1，点𝑃是圆弧𝐴𝐵上的动点，作点𝑃关于弦 𝐴𝐵的对称点𝑄，则𝑂𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝑄⃑ ⃑ 的取值范围为____． 11．已知 x,y 满足𝑥 2－4𝑥－4＋𝑦 2＝0, 则𝑥 2 + 𝑦 2的最大值为____ 12．若直线 l：2ax − by + 2 = 0(a > 0, b > 0)与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于 B，被 圆x 2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0截得的弦长为 4，则|OA| + |OB|(O为坐标原点)的最小值为 ______． 13．设直线𝑦 = 𝑥 + 2𝑎与圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑦 − 2 = 0相交于𝐴,𝐵两点，若|𝐴𝐵| = 2√3， 则圆𝐶的面积为________. 14．已知圆的圆心在曲线𝑥𝑦 = 1（𝑥 > 0)上，且与直线𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0相切，当圆的面 积最小时，其标准方程为_______． 15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点𝐴(2, −1)的圆𝐶和直线 𝑥 + 𝑦 = 1相切，且圆心 在直线 𝑦 = −2𝑥上，则圆 C 的标准方程为______． 16．已知圆𝐶的圆心在直线2𝑥 − 𝑦 = 0上，且经过𝐴(6,2)，𝐵(4,8)两点，则圆𝐶的标准方 程是__________． 17．在平面直角坐标系中，三点𝑂(0,0),𝐴(2,4)，𝐵(6,2)，则三角形𝑂𝐴𝐵的外接圆方程是 __________． 18．如图，O 是坐标原点，圆 O 的半径为 1，点 A（-1，0），B（1，0），点 P，Q 分别从 点 A，B 同时出发，圆 O 上按逆时针方向运动.若点 P 的速度大小是点 Q 的两倍，则在点 P 运动一周的过程中，𝐴𝑃⃑⃑⃑ ⋅ 𝐴𝑄⃑⃑⃑ 的最大值是_______
三、解答题 19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点, AB|=8. (1)求l的方程 (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程 20.已知圆C:x2+y2+2x-7=0内一点P(-1,2),直线l过点P且与圆C交于A,B两点 (1)求圆C的圆心坐标和面积: (2)若直线l斜率为3,求弦AB的长 (3)若圆上恰有三点到直线l的距离等于√2,求直线l的方程 21.已知点M(xo,y)在圆O:x2+y2=4上运动,且存在一定点N(6,0),点P(x,y)为线 段MN的中点 (1)求点P的轨迹C的方程 (2)过A(0,1)且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点E,F,是否存在实数k使 得DE·DF=12,并说明理由 22.已知圆经过(2,5)(-2)两点,并且圆心在直线y=x上。 (1)求圆的方程; (2)求圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离。 23.在平面直角坐标系x0y中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上 (1)求圆C的方程 (2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值 24.已知点A(1,-2),B(-1,4),求 (1)过点AB且周长最小的圆的方程 (2)过点AB且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程 25.已知Rt△ABC的顶点A(8.5),直角顶点为B(3,8),顶点C在y轴上 (1)求顶点C的坐标 试卷第3页,总4页
试卷第 3 页，总 4 页 三、解答题 19．设抛物线𝐶： 𝑦 2 = 4𝑥的焦点为𝐹，过𝐹且斜率为𝑘(𝑘 > 0)的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点， |𝐴𝐵| = 8． （1）求𝑙的方程； （2）求过点𝐴，𝐵且与𝐶的准线相切的圆的方程． 20．已知圆𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 7 = 0内一点𝑃(−1,2)，直线𝑙过点𝑃且与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点. （1）求圆𝐶的圆心坐标和面积； （2）若直线𝑙的斜率为√3，求弦𝐴𝐵的长； （3）若圆上恰有三点到直线𝑙的距离等于√2，求直线𝑙的方程． 21．已知点𝑀(𝑥0 ,𝑦0 )在圆𝑂: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4上运动，且存在一定点𝑁(6,0)，点𝑃(𝑥, 𝑦)为线 段𝑀𝑁的中点. （1）求点𝑃的轨迹𝐶的方程； （2）过𝐴(0,1)且斜率为𝑘的直线𝑙与点𝑃的轨迹𝐶交于不同的两点𝐸,𝐹，是否存在实数𝑘使 得𝑂𝐸⃑⃑⃑ ⋅ 𝑂𝐹⃑⃑⃑ = 12，并说明理由. 22．已知圆经过 (2,5 , 2,1 ) (− ) 两点，并且圆心在直线 1 2 y x = 上。 (1)求圆的方程； (2)求圆上的点到直线 3 4 23 0 x y − + = 的最小距离。 23．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 1与坐标轴的交点都在圆𝐶上． （1）求圆𝐶的方程； （2）若圆𝐶与直线𝑥 − 𝑦 + 𝑎 = 0交于𝐴，𝐵两点，且𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵，求𝑎的值． 24．已知点𝐴(1, −2),𝐵(−1,4)，求 （1）过点 A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点 A,B 且圆心在直线2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0上的圆的方程． 25．已知𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(8,5)，直角顶点为𝐵(3,8)，顶点𝐶在 y 轴上； （1）求顶点𝐶的坐标；
(2)求Rt△ABC外接圆的方程 26.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上 点,且M PD (1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程 (2)求过点(3,0)且斜率为一的直线被轨迹C所截线段的长度 M 27.选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程 sine (日为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上 的点按坐标变换,2得到曲线C (Ⅰ)求曲线C的普通方程 (Ⅱ)若点A在曲线C上,点B(30),当点A在曲线C上运动时,求AB中点P的轨迹方程 试卷第4页,总4页
试卷第 4 页，总 4 页 （2）求𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶外接圆的方程． 26．如图,设 P 是圆 2 2 x y + = 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为线段 PD 上 一点,且 4 5 MD PD = ， (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为 4 5 的直线被轨迹 C 所截线段的长度. 27．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线𝐶的参数方程为{ 𝑥 = 3cos𝜃 𝑦 = 2sin𝜃 （𝜃为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线𝐶上 的点按坐标变换{ 𝑥′ = 1 3 𝑥 𝑦′ = 1 2 𝑦 得到曲线𝐶′. （Ⅰ）求曲线𝐶′的普通方程； （Ⅱ）若点𝐴在曲线𝐶′上，点𝐵(3,0)，当点𝐴在曲线𝐶′上运动时，求𝐴𝐵中点𝑃的轨迹方程
参考谷案 【解析】 【分析】 因为与y轴相切,所以可知圆的半径r=2,根据圆心坐标,可得圆的标准方程。 【详解】 圆心为(2,一3)并且与y轴相切 所以半径r=2 所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=4 所以选C 【点睛】 本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程,属于基础题。 【解析】 【分析】 设动点P(xo,y),PQ的中点为M(x,y),由中点坐标公式解出x0=2x-3,y=2y,将点 P(2x-3,2y)代入已知圆的方程,化简即可得到所求中点的轨迹方程 【详解】 x0+3 设动点P(xoy),PQ的中点为M(x,y),可得 y边,得x0=2x-3,yo=2y ∴点P(xo,y)在圆x2+y2=1上运动 ∴(2x-3)2+(2y)2=1,化简得(2x-3)2+4y2=1 所求动点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1 故选C 【点睛】 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(xy)=0; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程 (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程; 答案第1页,总16页
答案第 1 页，总 16 页 参考答案 1．C 【解析】 【分析】 因为与 y 轴相切，所以可知圆的半径𝑟 = 2，根据圆心坐标，可得圆的标准方程。 【详解】 圆心为(2，－3)并且与 y 轴相切 所以半径𝑟 = 2 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4 所以选 C 【点睛】 本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题。 2．C 【解析】 【分析】 设动点𝑃(𝑥0 ,𝑦0 )，𝑃𝑄的中点为𝑀(𝑥, 𝑦)，由中点坐标公式解出𝑥0 = 2𝑥 − 3，𝑦0 = 2𝑦，将点 𝑃(2𝑥 − 3,2𝑦)代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程． 【详解】 设动点𝑃(𝑥0 ,𝑦0 )，𝑃𝑄的中点为𝑀(𝑥, 𝑦)，可得{ 𝑥 = 𝑥0+3 2 𝑦 = 𝑦0 2 ，得𝑥0 = 2𝑥 − 3，𝑦0 = 2𝑦. ∵点𝑃(𝑥0 ,𝑦0 )在圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 1上运动 ∴(2𝑥 − 3) 2 + (2𝑦) 2 = 1，化简得(2𝑥 − 3) 2 + 4𝑦 2 = 1. ∴所求动点𝑀的轨迹方程是(2𝑥 − 3) 2 + 4𝑦 2 = 1. 故选 C. 【点睛】 求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立𝑥， 𝑦之间的关系𝐹(𝑥, 𝑦) = 0； （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程； （3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程；