线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈V, 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的公的负元系记作一口 证设0有两个负元素3，，即0+3=0,0+=0.于是 9=9+0=9+(+)=0+8)+=0+= 3.0=0:(-1a=-aA0=0 证0+00=1a+00=(1+0)0=10=0,所以0a=0 1+(一1a=10+(-1a=1+-1)a=00=0.所以(-1a=-0 A0=Aa十(-1)0=Aa+-入0=A十（-入0=00=0 张鞘同济大学 4121
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈'， 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的.α的负元素记作-a. 证：设a有两个负元素B,Y,即a+B=0,a+y=0.于是 B=B+0=B+(a+y)=(a+)+Y=0+Y=Y. 3.00=0:(-1a=-aA0=0 证0+00=1a+00=(1+0)a=10=a,所以0a=0 1+(一1a=10+(-1a=1+-1)a=00=0.所以(-1a=-0 A0=Aa十(-1)0=Aa+-入0=A十（-入0在=0a=0 4.果a=0.则入=0或位=0 证若入≠0，在=0两边同乘得（入）=0=0 而(a)=(失人a=la=a 听以=0 张鞘同济大学 4/21
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈'， 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的.α的负元素记作-a. 证：设a有两个负元素B,Y,即a+B=0,a+Y=0.于是 B=B+0=B+(a+y)=(a+)+Y=0+Y=Y. 3.0a=0:(-1)a=-a;0=0 证：a+0a=1a+0a=(1+0)a=1a=a;所以0a=0 a+(-1)a=1a+(-1)a=[1+(-1)]a=0a=0,所以(-1)a=-a. A0=[a+(-1)al=λa+(-)a=[A+(-入)]a=0a=0. 4.果入a=0.则入=0或0=0 正若入≠0，在a=0两边同乘得（入）=0=0 而(a)=(失人a=la=a 听以= 张销同济大学 4/21
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈V, 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的.α的负元素记作-a. 证：设a有两个负元素B,Y,即a+B=0,a+Y=0.于是 B=B+0=B+(a+y)=(a+)+Y=0+Y=Y. 3.0a=0:(-1)a=-a;λ0=0 证：a+0a=1a+0a=(1+0)a=1a=a;所以0a=0. a+(-1)a=1a+(-1)a=[1+(-1)]a=0a=0,所以(-1)a=-a. λ0=[a+(-1)a=λa+(-X)a=[A+(-λ)]a=0a=0 4.如果入a=0,则入=0或a=0. 证：若入≠0，在λa=0两边同乘得(Aa)=0=0, 而(a)=(侵入)a=la=a. 所以a=0. 张南同济大学 4/21
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的子空间 L.定义A:设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称L为V的 子空间 2.定理线性空间V的非空子集构成子室间的充分必要条件是：上 对于中的线性运算封网 3.定义：为线性空何，，02，，，E则子空间 P=k+02十+0，三R1三上.2，，称为的 出{01,0.·，0}生成的子空间，记作L(01.a2,·,0, 你{a1,02.·,》为L(0,,,0,)的一组生成元 张鞘同济大学 5/21
线性空间的子空间 1. 定义 A: 设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的 子空间. 2. 定理 1: 线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是: L 对于 V 中的线性运算封闭. 3. 定义：V 为线性空间，α1, α2, · · · , αr ∈ V, 则子空间 W = {kα1 + kα2 + · · · + krαr , k ∈ R, i = 1, 2, · · · ,r} 称为 V 的 由 {α1, α2, · · · , αr} 生成的子空间，记作 L(α1, α2, · · · , αr)． 称 {α1, α2, · · · , αr} 为 L(α1, α2, · · · , αr) 的一组生成元. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 5 / 21