一、 同轴线中的波 图1.20示出了同轴线的结构。使圆柱坐标系(r,P,z)的z轴与同轴线内导体的轴重合。 在：与空心波导相似的同轴线中，可传输任意波长的横电磁波，也可传播横电波和横磁波。 2a 25 a 图1.20同轴线 1:横电磁波(TEM波) 在图1.20所示的系统中，二维的拉普拉斯方程为 }(,8）片=0 由丁线是轴对称的，可以认为0与9无关，也就是。=0。于是上式可简化为 2 }(:)0 (1.120a) 对此方程积分两次得 =AInr +B 应用r=a处=严。和在r=b处中=0的边界条件，得 Y0=A1n4+B, 0=Ain6+B 从而得 B=-AIn6, A=V/In(a/b) -.88 (1.1206) 则沿±2轴方向传播的TEM波的电场和磁场为 B=0。=加e=16…}6m =dxB=8·,e (1.121) 式上。为T比M波的波阻抗。同轴线中TEM波的场结构示守图(1.206)。显然，两子体 间的电位差为V,所以与电场有关的电压波为 =f右e* (1.122) 内导体上的电流密度为 .nxn=x顶点品e 32
不计因子e,总电流为 * adp=2xy,, In(b/a) (1:123) 不难证明，外导体的内表面上的电流也等于。，但方向相反。因丽，与磁场相连系的电流 波为 I=±Iie (1,124) 沿线的功率（即能流密度）为 n=合R&×.元rrdm=月 (1.125) In(b/a) 如所预计的那样，所传输的功率也可表示为 告风wy=r,82品 传揄线特性阻抗的定义为 乙=先e2经1a@ (1.126) 关于传输线的特性阻抗艺。，我们还可通过传输线的分布参数来讨论。对于同轴线，我 们由电位中来求得内导体上的电荷为（电场的振幅矢量以e表示） 0eea0=e染adp=6器 In(b/a) 因为，电容只由与导体周围媒质的电容率ε的实部ε'相联系的那部分电荷产生，所以 每单位长度的电容为 2花e C= e7。in(ba) (1,127) 而中心导休的磁链为 =dr器胎华y (o 所以每单位长度的电感 … L=兰=2a6/o)=2是16/e = (1.128) 1.2rY。V。 由上可见， LC=μe' 1,129) (L/C)72=Zc (1.130) 由(1,129)和(1.130)式得知，如果一个传输线的分布参数已知，那么它的基本特性参数 知特性阻抗乙。、相位常数B就可由上述两式很容易求出。对于煤质损耗非常小的传输线有 √EC=1/,其中v为电磁波在煤质中的传播速度。 2.横磁型波 在同轴线中，问题归结为求解(1.52)的波动方程，并由此方程确定(r,p)函数，所有 的场分量则通过(1.62)式表出。类似于，波导情况样，其解为 (r,p)兰Am6Zm(是。r)c08i印 其中Zm(k。r)是贝塞尔函数。 33
在前面研究圆波导中的电磁场时，没有川第二类和第三类贝塞尔函数，因为当”=0训， 这些函数变为无限大。现在，在所研究的整个区域内，”都不等于零，所以全解应该包合有 第一类和第二类贝塞尔函数。因此(r,)所满足波动方程的解可以表示为： (r,p)=[AJn(her）+BNm(ker)门cosn9 (1.131) 其中Wm(k。r)是变量为kr的第二类贝塞尔函数，A和B为常数。 解中没有用第三类贝塞尔函数，因为它可以由第一·类和第二类贝塞尔函效来表示。 在内、外导体上=0，出此得到两个方程： AJm(k。a）+BNn(kna)=0 AJm(k。b)+BNm(k。b)=0 (1.132) 因此，A和B的比值遵子下列方程式 合Y-Y} (1.133) 方程(1,133)是一超越方程，它有无限多个根。其中每一个都对应一个确定的截止波长。通 常藏兴趣的是。的最小值，因为它决定最大的藏止波长。当m=0时，利用大宗量(x→1) 贝塞尔函数的渐近展开 .(√7xox-r] N)≈√m[-者] 关系式可使(1.133)式变为 i血(6：6-子r)os(ka-是r）im(a-）oa(a:b-）=0 攻 sin[k(6-a)]-0 k(b-4)=nr, n=1,2, -8。 (1.134) 当a<6<3a时，式(1.134)为式(1.133)的近似解，n越大，式(1.134)越特确。可见n=1 时，k。有最小慎，所以截止波长为 g101≈2(6-a) (1.135) 3。横电型皮 对檔电型波的分析方法与j上面类似，此时，由(1.52)式所得的*(r,)的解为 *(r,p)=[CJn(k。r)+DNm(k。r)门co8ig (1.136) k。的伯由在r=a和r±b上的边界条件确定，对横电型波要求a*/r云0，由此得出 C(k。g)+DN(kna)=0 (J(kb)+DNin(k 6)=0 (1.137) 或者 -是品=品 (1.138)》 式(1.138仍是超越方程，公析可知，方程有无限多个根p。根：近似地等于 p≈(a0) 2a# (1.139 34
i应地k。m1=ph1/a=2n/八a+b),而 hemomi 2花-=不(atb） (1.140) 当m=1时，得到最大的截止波长 iet1≈x(a+b) (1.141) 当同轴线在TEM波工作时，工作波长必须大于π(a+b)。否则在传播TEM波的同时 还可能存在有H:波的传播。同轴线中H:,波的场结构示于图1.21。 (c) (d) 1图1.21阿轴孔H盛的场为 四1.22微指线的商 二、微带 微带是微战集城电路广之伙用的基术化输线之一，它可以看作是由双导线发展来的传 输系统。其演变过程由图1.22()的平彳行双学线变换到(b)的有限尺寸半行板传输线；知果 在平板的结构对税面L放置无限大平厅导电板，这一导电板的存在，所应满足的边界条 件并不破坏钊始的场分布，因此取其上部即为(c);最终的结构(d)是在：两寸体板之间插入 介质板（基片）而获得。由于最后的一步，使传输线的煤质成为非均匀问趣。另外，微带线 的顶端是开放的。这种开式结构对于微波集成电路是很方便的，例如可在其上安袋集中元件 (无源或有源的）以便形成所希电路，并易子实施调谐或调整。 尽管微带线在使用上有某些优点，但分析上由于微带的开式结构及其不均匀媒质的填 允，却带来了一些困难，这是因为介质一空气交界面的存在，微带中传播的被是非纯TEM 波的混合模。 微带传输线的典型横截面小十图1.23。在这种结构上电磁场的特性可用一标量位函数 图123放带4构 35
(×,y)来表示，(x,y)应满足 V中+（路-B2)中=0 在空气中 (1.142) 口p+(e,8-B)中=0在基片中 式中。=2/，B是传播常数。由式可见，当e,=1时，方程(1.142)的最低阶的解是k= B条件下，对应于这种极限悄况，位函数(×，y)满足于所示截面的拉普拉斯方程，它的解 不会存在电场或磁场的纵向分量。对于e≠1的情况，方程(1.142)的第二式可以认为是对 ￡，÷1情况时的一种扰动。当工作频率较低，即，为小值时，这个扰动很小，我们以准TEM 波近似作为(1.142)精确方程的零阶解。虽然使用准TEM近似使分析大为简化，但是要注 意到对于大的。值，通过这个方法获得的结果保证不了所需的精确性。 下面我们在TEM波的近似下，来讨论微带的特性。它可以通过两个基本参数即特性阻 抗Z。及传播常数Y来适当的描述。 在同轴线的讨论中，我们业已指出对无耗TEM传输系统与确定B和Z。相关的边值问 题，实际上简化为计算TEM波传输线单位长度的电容C。所以，在准TEM波近似下，我 们主要是详细地研究微带线的分布电容计算。为此，研究图1.23所示的微带结构的两种状 态！第一种状态是含有相对电容率为￡的介质衬底，第二种状态是不含衬底的均匀媒质填充 的TEM线。对于后者，已知 Bo=@/ve, Zo=1/√.C (1.143) 其中'。是自由空间的光速，C。为分布电容，下标0用以区别对于￡，≠1的非均匀微带线。 如果衬底是非磁性材料，那么对于两种状态而言，每单位长度的电感L值认为是相同的。这 样，含有衬底的微带线的特性阻抗Z。和传播常数B分别为 2.=Z(C/CCC 1 (1.144) B=RcG,-品() 式中2和P。由(1.143)给出。由(1.144)式可见，Z。和B取决于微带与无载线的单位长度 的电容C与C。。 现在我们就来研究微带线电容的计 算。最常用的一种方法是利用共形变换 ① 法。对于图1.23所示的微带结构，相对 ② ③ 于y轴是对称的，并且y轴恰是准TEM 波场分布的磁壁处。因此，对于电容的 ④ 计算，我们敢出微带线的右半部分（图 1.24)。且为了简化起见，设被研究的 微带的导带厚度是无限薄的。 0 首先，对图1.24的结构应用共形变 换，使得在新域中获得一简单的平行板 图上24之平面上开式微带的右半部分，2=x+少 几何结构。对于宽导带，选择知下的变换函数 2=ja+d th(z/2)-2' (1.145) 对于g‘/2≥1，由于d=；；其1g是图(1,24)所示变换平面中平行板的有效宽度。 36