说明：对可去间断点，我们可以补充（f在点x.无定义）或改变f（x）的值(f在点x.有定义但A≠ f(x)得一个新的函数f(x),使它在x,连续。J/ sgn xx0则 f(x)在x = 0连续。 (改变f(O)的值)如例3中，取f(x)=1x=0sin xx*0, 则子(x)在x=0连续。 (补充f(0)的值)如例4中，取f(x)=x1x=02）跳跃间断点：若函数f在点x.的左、右极限都存在但不相等，即lim f(x)± lim f(x)x→xox→xo则称点x.为函数f的跳跃间断点。例5: f(x)=[x], lim[x]= n -1, lim [x]= n(其中n为整数)x>nx-→由于 lim[x]± lim[x]，故x= n是f(x)=[x的跳跃间断点。(如图6)x-nx-→n
说明: 在点 有定义但 得一个新的函数 使它在 连续。 对可去间断点，我们可以补充（ 在点 无定义）或改变 的值 0 0 0 0 0 ( ), ~ ( ( )) ( ) f x A f x f x x f x f x 如例 中，取 ，则 ( )在 0连续。（改变 (0)的值） ~ 1 0 sgn 0 ( ) ~ 3 f x x f x x x f x = = = 如例 中，取 ，则 ( )在 0连续。（补充 (0)的值） ~ 1 0 0 sin ( ) ~ 4 f x x f x x x x f x = = = 2）跳跃间断点： 则称点 为函数 的 若函数 在点 的左、右极限都存在但不相等，即 x f f x f x f x x x x x 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 0 → + → − 跳跃间断点。 例5： f x x x n x n 其中n为整数） x n x n ( ) = [ ], lim [ ] = −1 , lim [ ] = ( → − → + 由于 lim [x] lim [x]，故x n是f (x) [x]的跳跃间断点。(如图6） x n x n = = → − → +
例6: f(x) = sgn x, lim f(x) =1, lim_ f(x)=-1故x=0是sgn x的跳跃间断点。如图7)f(x)=sgnxyf(x)=[x]ytr21OX+2图7图6我们把可去间断点和跳跃间断点通称为第一类间断点注意：第一类间断点的特点是函数在该点的左、右极限均存在。3）第二类间断点：函数至少有一侧极限不存在的那些点成为第二类间断点。例如，函数y=-当x→0时不存在有限的极限，故x=0是它的第二类间断点;X函数y= sin一当x→0时左、右极限均不存在，故x=0是它的第二类间断点;x
例6： 故 是 的跳跃间断点。如图 ） ， ， 0 sgn ( 7 ( ) sgn lim ( ) 1 lim ( ) 1 0 0 x x f x x f x f x x x = = = = − → + → − 。 。 。 。 。 。 x y O 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 -2 -1 图6 。 。 . x y O 1 -1 图7 f(x)=sgnx f(x)=[x] 我们把可去间断点和跳跃间断点通称为第一类间断点。 注意：第一类间断点的特点是函数在该点的左、右极限均存在。 3）第二类间断点：函数至少有一侧极限不存在的那些点成为第二类间断点。 例如，函数 当 0时不存在有限的极限，故 0是它的第二类间断点； 1 = x → x = x y 函数 当 0时左、右极限均不存在，故 0是它的第二类间断点； 1 = sin x → x = x y