或改变量; Ay= f(x)-f(xo)=f(xg+Ax)-f(xo)= y-yo称为函数（在点x）的增量或改变量。要说明的是增量△x、△1可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示yt)y=f(x)f(xo +Ax)AyAx(f(xo)0XxoXo +Ar图4利用增量定义得等价定义1：设函数f(x)在x,的某邻域内有定义,若 lim Ay=0，则称1x->0函数f(x）在X点连续
或改变量； 0 0 0 0 y = f (x) − f (x ) = f (x + x) − f (x ) = y − y 称为函数 ) 0 y（在点x 的增量或改变量。要说明的是增量 x、y 可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示 x0 x + x 0 ( ) 0 f x x y y = f (x) O x y ( ) 0 f x + x 图4 利用增量定义得 等价定义1：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若 lim 0，则称 0 = → y x 函数 f (x) 在 x0 点连续
也可以改用一定义：等价定义2：设函数f(x)在x.的某邻域内有定义,若对Vε>0,3S>0使得当x-xl<S时，有f(x)-f(xo)<,则称函数f(x)在Xo点连续。注意问题：(1)f(x)在x。有极限是f(x)在x.连续的必要条件；(2）函数f(x)在x,连续，要求f(x)在x点有定义，而等价定义2中不等式f(x)-f(xo)|<ε对x=x。总成立，因此极限的“ε一s”语言叙述中把"0<x-xo<8" 换成“x-x。<8”;(3) (1) 式又可表示为 lim f(x)= f(lim x)= f(xo)可见“f在x=0连续”意味着极限运算 lim与对应法则f的可交换性。例1:证明函数f(x)= xD(x)在点x = O连续，其中D(x)为狄利克雷函数
也可以改用－定义： 等价定义2：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若对 0 , 0 使得当 x − x0 时，有 f (x) − f (x0 ) ,则称 函数 f (x) 在 x0 点连续。 注意问题： 可见“ 在 连续”意味着极限运算 与对应法则 的可交换性。 （ ）（）式又可表示为 “ ”换成“ ”； 对 总成立，因此极限的“ － ”语言叙述中把 （ ）函数 在 连续，要求 在 点有定义，而等价定义 中不等式 （） 在 有极限是 在 连续的必要条件； f x f f x f x f x x x x x f x f x x x f x x f x x f x x f x x x x x x x x 0 0 0 0 lim 3 1 lim ( ) (lim ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → → → = = = − − − = 例1： 证明函数 f (x) = x D(x)在点x = 0连续，其中D(x)为狄利克雷函数
证明：由f(0)=0及D(x)≤1，对于Vs>0，为使f(x)- f(O)|=xD(x)≤x <8只要取S一ε，即可按ε-S定义推得f(x)在x=0连续。4.左、右连续的定义当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论f（x）的连续性，为此我们在定义1的基础上，由f(x)在xo左、右极限的定义得定义2：设f(x)在x。的某右邻域U(x)(或左邻域U_(x))内有定义，若lim f(x) = f(xo)(或 lim f(x)= f(xo))x→xo则称函数f（x）在xo点右连续（或左连续）。根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系定理4.1：f(x）在x点连续的充要条件为f(x）在xo点既右连续又左连续。由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
只要取 ＝ ，即可按 定义推得 在 连续。 证明：由 及 ，对于 ，为使 ( ) 0 ( ) (0) ( ) (0) 0 ( ) 1 0 − = − = = f x x f x f x D x x f D x 4．左、右连续的定义 当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论 f (x) 的连续性，为此我们在定义1的基础上，由 f (x) 在 x0 左、右极限的定义得 定义2：设 lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( ) ) ( ) ( )( ( )) 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x U x U x x x x x = = → + → − + − 或 在 的某右邻域 或左邻域 内有定义，若 则称函数 f (x) 在 x0 点右连续（或左连续）。 根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理4．1： f (x) 在 x0 点连续的充要条件为： f (x) 在 x0 点既右连续又左连续。 由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
Vx+2x≥0例2：讨论函数f(x）=在x=0的连续性x-2x<02解: 因为 lim f(x) = lim (x +2)= 2 = f(0)X-0x>00xlim f(x) = lim(x -2) =-2 + f(0)-2所以f(x)在x=0右连续，但不左连续，x-2图5从而f(x)在x=0不连续。(如图5)二.间断点及其分类1．间断点的定义定义3：设函数f在某Ux。)内有定义，若f在点x.无定义，或在点x有定义但不连续，则称点x为f的间断点或不连续点。从定义我们可以得到，若x.为函数f的间断点，则是下列情形之一：1）f在点x.无定义（如图2）
例2： 讨论函数 在 0的连续性。 2 0 2 0 ( ) = − + = x x x x x f x lim ( ) lim ( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x = + = = → + → 解：因为lim ( ) lim ( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x = − = − → − → 从而 在 不连续。如图 ） 所以 在 右连续，但不左连续， ( ) 0 ( 5 ( ) 0 = = f x x f x x 2 －2 x y O x+2 x-2 图5 二.间断点及其分类 1．间断点的定义 定义3： 但不连续，则称点 为 的 设函数 在某 内有定义，若 在点 无定义，或在点 有定义 x f f U x f x x 0 0 0 0 0 ( ) 间断点或不连续点。 从定义我们可以得到， 若x0为函数 f 的间断点，则是下列情形之一： 1) f 在点x0无定义（如图2）
2) lim f(x)不存在;3) f 在点x.有定义且 lim f(x)= A存在，但A≠ f(xo)(如图3)X→X根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类2.间断点的分类1）可去间断点：若 lim f(x)= A，而f在点x.无定义，或有定义但-→xoA≠f(x)，则称x为函数f的可去间断点。例3: f(x)=sgn x，lim f(x)=1,f(0)=0,f(0)±1故x=0是f(x)的可去间断点。sn±,m (x)=1, 但(x)在x=0无定义例4: f(x)=x故x=0是f(x)的可去间断点
） 在点 有定义且 存在，但 如图 ） 不存在； 3 lim ( ) ( )( 3 2) lim ( ) 0 0 0 0 f x f x A A f x f x x x x x = → → 根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类 2．间断点的分类 1）可去间断点： ，则称 为函数 的 若 ，而 在点 无定义，或有定义但 A f x x f f x A f x x x 0 0 0 ( ) lim ( ) 0 = → 可去间断点。 例3： 故 是 的可去间断点。 ， ， ， 0 ( ) ( ) sgn lim ( ) 1 (0) 0 (0) 1 0 x f x f x x f x f f x = = = = → 例4： 故 是 的可去间断点。 ， ，但 在 无定义 0 ( ) lim ( ) 1 ( ) 0 sin ( ) 0 x f x f x f x x x x f x x = = = = →