82.3拉普拉斯方程分离变量法1、笛卡儿坐标系拉普拉斯方程（简称拉氏方程）的形式为a'+*+=0(2.3.1)axay20z?设电势(x,y,=)可分离变数，即p(x,y,=)=X(x)y(y)z()，则拉氏方程可分为以下三个方程1d'X--k?(2.3.2)X dx?1d'Y=-?(2.3.3 )Y dy?1d'Z=k2+(2.3.4)Z dz?由此得方程的通解为p(x,y,z)=(Au coskx+ A2 sin kx)(Bu, cos lx + B2, sin bx)(CiuevPtf: +Cave-Ver:)(2.3.5)式中各常数Ak，A2k，Bu，Bu，Ck/，C2k，等由问题的具体条件决定。2、柱坐标系拉氏方程为1a(0)+1app=0(2.3.6)r设电势p(r,Φ,-)可分离变数，即p(r,Φ,=)=R(r)p()z(),代入上式求得z()的解为(2.3.7)Z(-)= C, cosh bz + C, sinh bz
§2.3 拉普拉斯方程 分离变量法 1、笛卡儿坐标系 拉普拉斯方程（简称拉氏方程）的形式为 0 2 2 2 2 2 2 = + + x y z （2.3.1） 设电势 (x, y,z) 可分离变数，即 (x, y,z) = X(x)Y(y)Z(z) ，则拉氏方程可分 为以下三个方程 2 2 2 1 k dx d X X = − （2.3.2） 2 2 2 1 l dy d Y Y = − （2.3.3） 2 2 2 2 1 k l dz d Z Z = + （2.3.4） 由此得方程的通解为 ( , , ) ( cos sin )( cos sin ) 1 2 , 1 2 x y z A k x A k x B lx B lx l l k l = k + k + ( ) k l z k l k l z k l C e C e 2 2 2 2 1 , 2 , + − + + (2.3.5) 式中各常数 A1k ， A2k ， B1l ， B2l ，C1k ,l ，C2k ,l 等由问题的具体条件决定。 2、柱坐标系 拉氏方程为 0 1 1 2 2 2 2 = + + r r z r r r （2.3.6） 设电势 (r,,z) 可分离变数，即 (r,,z) = R(r)()Z(z) ，代入上式求得 Z(z) 的解为 Z(z) C coshbz C sinh bz = 1 + 2 （2.3.7）
d(d)的解为D(p)= C, cosap+ C, sin ap(2.3.8)在0≤Φ<2元内，符合物理实际的解必须是单值的，因此a必须是整数。R(r)的解为R(r)=C,J. (br)+C,N,(br)(2.3.9)式中(-1)"/J.(br)=(2.3.10 )=0 m!r(a+m+1)和N,(br)= (cosaz),(br)-J(br)(2.3.11)sin a元其中级数J(br)是α阶第一类贝塞耳函数，如果a=n（整数），则在幂级数中的伽玛函数Ia+m+1)可以用（n+m）！来代替。N。(br）是a阶第二类贝塞耳函数。函数N。(br)在r=0附近的奇异性与1,r相似。因此，只要已知r=0处的电势是有限的，在解中就不包含N。（br），即系数C.为零。3、球坐标系球坐标系中拉氏方程为1p1%(%)+.%(sin0%)+-0(2.3.12 )ararsinl00sin000设电势p(r,0,9)可分离变数，即g(r,0,9)=R(r)0(0)p()，且在=0和元时(pr,0,Φ)为有限值，则拉氏方程（2.3.12）的通解为
() 的解为 () = C3 cos a +C4 sin a （2.3.8） 在 0 2 内，符合物理实际的解必须是单值的，因此 a 必须是整数。 R(r) 的解为 R(r) C J (br) C N (br) = 5 a + 6 a （2.3.9） 式中 ( ) ( ) ( ) = + + + − = 0 2 ! 1 2 1 m a m m a m a m br J br （2.3.10） 和 ( ) ( ) ( ) ( ) a a J br J br N br a a a sin cos − − = （2.3.11） 其中级数 J(br) 是 a 阶第一类贝塞耳函数，如果 a = n （整数），则在幂级数中的 伽玛函数 (a + m +1) 可以用 (n + m)! 来代替。 N (br) a 是 a 阶第二类贝塞耳函数。 函数 N (br) a 在 r = 0 附近的奇异性与 l rn 相似。因此，只要已知 r = 0 处的电 势是有限的，在解中就不包含 N (br) a ，即系数 C6 为零。 3、球坐标系 球坐标系中拉氏方程为 0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 = + + r r r r r r （2.3.12） 设电势 (r,,) 可分离变数，即 (r,,) = R(r)( )() ，且在 = 0 和 时 (r,,) 为有限值，则拉氏方程（2.3.12）的通解为