山东理工大学：《电磁场》课程教学资源（授课教案）第0、1章

山东理工大学教案 [第3次课教学课型：理论课√实验课口习题课√实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：幸重点 #难点)： 05矢量的环流与旋度 0-6无旋场与无散场 0-7亥姆霍兹定理 重点：拉普拉斯运算 难点：亥姆霍兹定理 课程目标及要求 课程目标：课程目标2 要求 1能理解矢量场的环流与旋度的物理意义 2.会区分无旋场与无散场。 3.了解拉普拉斯运算与格林定理 4能掌握亥姆霍兹定理基本概念。 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体教学 讨论、思考题： 无旋场和无散场的矢量线特点 作业 补充习题1道 参考格料 《电酸场与电破波（第四版）》谢处方，饶克谨。高等教有出版社。 《工程电磁场原理（第二版）》倪光正。高等教育出版社。 《电磁场与电磁波（第2版）》杨儒贵高等教有出版社

山 东 理 工 大 学 教 案 第 3 次课 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课√ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 0-5 矢量的环流与旋度 0-6 无旋场与无散场 0-7 亥姆霍兹定理 重点: 拉普拉斯运算 难点：亥姆霍兹定理 课程目标及要求 课程目标：课程目标 2 要求: 1.能理解矢量场的环流与旋度的物理意义 2.会区分无旋场与无散场。 3.了解拉普拉斯运算与格林定理 4.能掌握亥姆霍兹定理基本概念。 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体教学。 讨论、思考题： 无旋场和无散场的矢量线特点 作业： 补充习题 1 道 参考资料： 《电磁场与电磁波（第四版）》谢处方，饶克谨。高等教育出版社。 《工程电磁场原理（第二版）》倪光正。高等教育出版社。 《电磁场与电磁波（第 2 版）》杨儒贵.高等教育出版社

1.5矢量场的环流旋度 1.矢量场的环流 矢量场的环流是描述矢量场性质的另一个重要概 念。 d 环流的概念：矢量场F沿场中的一条闭合路径C 的曲线积分， 即 线元矢量 「=∮Fdl (1.5.1) 其中dl为线元矢量，其大小为dl、方向沿路径C的切线方向。 环流的物理意义：与回路交链的旋涡源。 环流的特点：不能描述任一点旋涡源的分布。 2.环流面密度(otnF) 环流面密度的概念：在点M处，当面元△S保持以n 称 为法线方向而向点∥处无限缩小时，极限吗过称 为矢量场F在点M处沿方向n的环流面密度，记作rot,F 即 风F= 面元矢量 (1.5.2) n为面元△S的法线单位矢量。 环流面密度的物理意义：旋涡源密度在方向上的投影 环流面密度的特点：OF与方向n有关。在给定点M处沿不同方向n, rot F的值一般是不同的。 3.矢量场的旋度 矢量场的旋度描述场域内的旋涡源分布情况的重要概念。 旋度的概念：矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记作V×F(或记作 rot 它的方向沿着使环流面密度取得最大值的面元法线方向、大小等于该 环流面密度最大值，即 xF=n巴f.r (1.5.3) V×F为环流面密度的最大值，n为取得环流面密度最大值的方向。 旋度的物理意义：旋涡源密度。 旋度的性质： ①V×F为矢量： ②otnF=7xF (1.5.4) ③7.(V×F)=0 (1.5.5) 旋度计算公式： r6停尝登-要尝-要

线元矢量 C dl F 1.5 矢量场的环流 旋度 1．矢量场的环流 矢量场的环流是描述矢量场性质的另一个重要概 念。 环流的概念：矢量场 F 沿场中的一条闭合路径 C 的曲线积分，即 （1.5.1） 其中 为线元矢量，其大小为 、方向沿路径 C 的切线方向。 环流的物理意义：与回路交链的旋涡源。 环流的特点：不能描述任一点旋涡源的分布。 2．环流面密度（ ） 环流面密度的概念：在点 M 处，当面元 保持以 为法线方向而向点 M 处无限缩小时，极限 称 为矢量场F 在点M处沿方向 的环流面密度，记作 ， 即 （1.5.2） 为面元 的法线单位矢量。 环流面密度的物理意义：旋涡源密度在方向 上的投影。 环流面密度的特点： 与方向 有关。在给定点 M 处沿不同方向 ， 的值一般是不同的。 3．矢量场的旋度 矢量场的旋度描述场域内的旋涡源分布情况的重要概念。 旋度的概念：矢量场 在点 M 处的旋度是一个矢量，记作 （或记作 ），它的方向沿着使环流面密度取得最大值的面元法线方向、大小等于该 环流面密度最大值，即 （1.5.3） 为环流面密度的最大值， 为取得环流面密度最大值的方向。 旋度的物理意义：旋涡源密度。 旋度的性质： ① 为矢量； ② （1.5.4） ③ （1.5.5） 旋度计算公式： d C Γ =  F l dl dl rot n F S n 0 d lim C  →S S  F l n rot n F 0 d rot lim C n  →S S =   F l F n S n rot n F n n rot n F F F rotF 0 max 1 lim d  →S S C    =       F n F l F n F rot n F n F =    = ( ) 0 F ( ) ( ) ( ) z z y y x x x y z F F F F F F y z z x x y        = − + − + −       F e e e 面元矢量 n C S dl

ex ev e = (直角坐标系)》 (1.5.6) F e p ap (圆轴坐标系) (1.5.7) F。 e ree rsin e 1 a (球坐标系) (1.5.8) F rF rsinef. 4.斯托克斯定理 矢量场F的旋度V×F在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭 曲线C上的线积分，即 Jn7xF.dS=∮Fd (1.5.9) 斯托克斯定理的意义：矢量旋度的曲面积分（非闭合）与该矢量沿闭合曲线 积分之间的一个变换关系，也是矢量分析中的一个重要的恒等式。 1.6矢量场的分类 无爱药想场的放度和生可将矢墨场分方无码、无提场和省露有美酱。 V×F=0 (1.6.1 无旋场可以表示为一个标量场的梯度，即 F=-Vu (1.62) 无源场 F=0 (163 无源场可以表示为一个矢量位函数的旋度，即 F=VxA (164) 有源有旋场 V.F=8 VxF-G (16.5) 可将矢量场F表示为一个无源场F,和一个无旋场F的叠加，即 F=F+F (1.6.6) 因而，可定义一个标量位函数“和矢量位函数A,使得 F=-Vu+VxA (16.7)

（直角坐标系） （1.5.6） （圆轴坐标系） （1.5.7） （球坐标系） （1.5.8） 4．斯托克斯定理 矢量场 的旋度 在曲面 S 上的面积分等于矢量场 在限定曲面的闭 曲线 C 上的线积分，即 （1.5.9） 斯托克斯定理的意义：矢量旋度的曲面积分（非闭合）与该矢量沿闭合曲线 积分之间的一个变换关系，也是矢量分析中的一个重要的恒等式。 1.6 矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度可将矢量场分为：无源场、无旋场和有源有旋场。 无旋场 （1.6.1） 无旋场可以表示为一个标量场的梯度，即 （1.6.2） 无源场 （1.6.3） 无源场可以表示为一个矢量位函数的旋度，即 （1.6.4） 有源有旋场 （1.6.5） 可将矢量场 表示为一个无源场 和一个无旋场 的叠加，即 （1.6.6） 因而，可定义一个标量位函数 和矢量位函数 ，使得 （1.6.7） x y z x y z x y z F F F    =    e e e 1 z z z F F F              =    e e e F 2 sin 1 sin sin r r r r r r F rF r F              =    e e e F F F F d d S C  =   F S F l   F 0 F = −u   F 0 F A =   = g   = F F G F F s Fi F F F = +s i u A F A = − + u

1.7亥姆霍兹定理 表述：在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限 定区域V的闭合面S上的矢量场的分布)唯一的确定。 重要性：它是对矢量场性质的完整描述，是研究电磁场理论的一条主线，无 论对静态电磁场还是时变电磁场，都要研究它们的散度、旋度和边界条件。 山东理工大学教案

1.7 亥姆霍兹定理 表述：在有限的区域 V 内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限 定区域 V 的闭合面 S 上的矢量场的分布）唯一的确定。 重要性：它是对矢量场性质的完整描述，是研究电磁场理论的一条主线，无 论对静态电磁场还是时变电磁场，都要研究它们的散度、旋度和边界条件。 山 东 理 工 大 学 教 案

第4次课 教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口持能课口其它口 主要教学内容（注明：重点 #难点)： 1-1电场强度和电位 1.电场强度矢量的定义：单个及多个电荷产生电场的场强表达式：重点强调：矢量叠加 2.线电荷、面电荷和体电荷的定义及产生电场的场强表达式。重点强调：矢量叠加 3.申压、由位差、申位、申位参老点的洗取： 1)静电场是保守场（积分形式基本方程）：电场强度的环路线积分恒等于零 电位的定义及其与电压的关系，电位参考点的选择3)电位与场强的关系 1-2高斯定 1.真空中高斯定理运用 重点： ,静电场是保守场：场强的环路线积分恒为零。即：环路线电场力做功为零 2.电位与场强的换算：已知场强如何求电位： 已知电位如何求场强 难点： 1.“点”、“线”、“面”、“体”的定义及适用范围 2.利用电位求解场强，其梯度算子在不同坐标系下的展开式是不同的：利用已知条件如何化简该 展开式 课程目标及要求 课程目标：课程目标2 要求， ()能准确掌握电场强度矢量的基本概念： (②)会计算各种分布电荷产生电场E、F。 (3)正确理解电位与场强的关系。 教学方法和教学手段 课堂讲授，问题导向教学法，多媒体教学。 讨论、思考题： 场强与电位的联系与区别：电位零点与场强零点有何联系与区别？ 分别画出电荷均匀分布的球体、电荷均匀分布的球壳的E线并与电荷非均匀分布时相比较。 作业：P13 1-1-3 (④)参考资料： (⑤)《电磁场与电磁波（第四版）》谢处方，饶克谨。高等教育出版社。 (6)《工程电酷场原理（第二版》倪光正。高等教有出版社 (7)《电磁场与电磁波（第2版）》杨儒贵高等教有出版社。 1-1电场强度和电位

第 4 次课 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 1-1 电场强度和电位 1. 电场强度矢量的定义：单个及多个电荷产生电场的场强表达式；重点强调：矢量叠加 2. 线电荷、面电荷和体电荷的定义及产生电场的场强表达式。重点强调：矢量叠加 3. 电压、电位差、电位、电位参考点的选取： 1）静电场是保守场（积分形式基本方程）：电场强度的环路线积分恒等于零 2）电位的定义及其与电压的关系，电位参考点的选择 3）电位与场强的关系 1-2 高斯定律 1. 真空中高斯定理运用 重点： 1．静电场是保守场：场强的环路线积分恒为零。即：环路线电场力做功为零 2. 电位与场强的换算：已知场强如何求电位；已知电位如何求场强 难点： 1．“点”、“线”、“面”、“体”的定义及适用范围 2. 利用电位求解场强，其梯度算子在不同坐标系下的展开式是不同的；利用已知条件如何化简该 展开式 课程目标及要求 课程目标：课程目标 2 要求: (1) 能准确掌握电场强度矢量的基本概念； (2) 会计算各种分布电荷产生电场 E、F。 (3) 正确理解电位与场强的关系。 教学方法和教学手段： 课堂讲授，问题导向教学法，多媒体教学。 讨论、思考题： 场强与电位的联系与区别；电位零点与场强零点有何联系与区别？ 分别画出电荷均匀分布的球体、电荷均匀分布的球壳的 E 线并与电荷非均匀分布时相比较。 作业： P13 1—1—3 (4) 参考资料： (5) 《电磁场与电磁波（第四版）》谢处方，饶克谨。高等教育出版社。 (6) 《工程电磁场原理（第二版）》倪光正。高等教育出版社。 (7) 《电磁场与电磁波（第 2 版）》杨儒贵.高等教育出版社。 1-1 电场强度和电位