第一章 矢量分析 主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1.标量场的方向导数与梯度5。格林定理 2.矢量场的通量与散度 6.矢量场的惟一性定理 3.矢量场的环量与旋度 7.亥姆霍兹定理 4.无散场和无旋场 8.正交曲面坐标系 >]L
第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
补充知识一 矢量代数 1.标量和矢量 标量一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示：A=eA=e 矢量的大小模：A=A 矢量的单位矢量： en- A 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 2
2 1. 标量和矢量 矢量的大小模： A A = 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 A A e A = 矢量的代数表示： A e A e A = = A A 补充知识 矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 A 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量
2.矢量用坐标分量表示 A=Ae,+A,e,+Ae. A Acosa Ay AcosB A.Acosy A=A(e,cosa+e,cos B+e.cosy) e=e,cosa+e,cosB+e.cosy
3 A A e A e A e = + + x x y y z z A A A A A A x y z = = = cos cos cos ( cos cos cos ) A A e e e = + + x y z cos cos cos A x y z e e e e = + + 2.矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y
3.矢量的运算 (1)矢量的加法和减法： A±B=e(A±Bx)+e,(A±B,)+e(A±B) (2)矢量的乘法运算 A kA=e kA.+ekA,+e.kA. 矢量A与B的夹角 A.B=AB COS0=A.B,+A,B+A.B. 矢量的点积 AB=B·A 矢量的标积符合交换律 A⊥B→AB=0 AIIB→A·B=AB e·e,=e,·e.=e.·em=0 ees=ee=e.e.=1
4 （2）标量乘矢量 (2)矢量的乘法运算 x x y y z z kA e kA e kA e kA = + + A B B A = ——矢量的标积符合交换律 1 x x y y z z e e e e e e = = = 0 x y y z z x e e e e e e = = = A B q 矢量 A 与 的夹角 B A B ⊥ A B = 0 A B / / A B AB = 3.矢量的运算 ( ) ( ) ( ) A B e A B e A B e A B = + + x x x y y y z z z (1)矢量的加法和减法： cos A B AB A B A B A B q x x y y z z = = + + 矢量的点积
矢量的矢积（叉积） Ax B=e ABsin0 用坐标分量表示为 AxB=e(AB.-A.B)+e(A.B,-AB.)+e.(A B-AB) 写成行列式形式为 es e A×B=A A A. A×B B By B B AB sin 0 AxB=-BxA A 矢量4与B的叉积
5 矢量的矢积（叉积） sin A B e AB = n q ( ) ( ) ( ) A B e A B A B e A B A B e A B A B = − + − + − x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z x y z e e e A B A A A B B B = A B B A = − q AB sin q A B B A 矢量 A 与 的叉积 B 用坐标分量表示为 写成行列式形式为