山东理工大学：《电磁场》课程教学资源（授课教案）第0、1章

坐标变量：p,0,:坐标单位矢量：已。，已，已位置矢量： F=ep+e.z 8=(圆维面) =r(球面 P(,o) 中=（半平面〉 坐标变量：r,0,0坐标单位矢量：已，已，已。位置矢量：F=已

坐标变量 :  , ,z 坐 标 单 位 矢 量 : , , z e e e   位置矢量 : z r e e z = +   坐标变量: r, ,   坐标单位矢量: , , r e e e   位置矢量: r r e r =

山东理工大学教案 第2次课 教学课型：理论课√实验课口习题课口实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点） 0-3标量场的梯度 0-4矢量场的通量与散度 重点：梯度，散度，旋度的计算。 难点：梯度，散度，旋度的物理意义。 课程目标及要求 课程目标：课程目标2 要求 1.正确理解梯度，散度，旋度的物理意义。 2。能对梯度，散度，旋度进行正确计算。 救学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体教学。 讨论 2.散度、 3.当两电荷距离足够近时，根据库仑定理，其相互之间的库仑力是否为无穷大？ 作业：补充习题1道 参考资料： 《电磁场与电磁波（第四版）》谢处方，饶克谨。高等教有出版社。 《工程电磁场原理（第二版）》倪光正。高等教育出版社。 《电磁场与电磁波（第2版）》杨儒贵高等教有出版社

山 东 理 工 大 学 教 案 第 2 次课 教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 0-3 标量场的梯度 0-4 矢量场的通量与散度 重点：梯度，散度，旋度的计算。 难点：梯度，散度，旋度的物理意义。 课程目标及要求 课程目标：课程目标 2 要求: 1．正确理解梯度，散度，旋度的物理意义。 2．能对梯度，散度，旋度进行正确计算。 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体教学。 讨论、思考题 1. 分布参数与集中参数的区别与联系、适用范围. 2. 散度、旋度、梯度的物理意义及区别. 3. 当两电荷距离足够近时，根据库仑定理，其相互之间的库仑力是否为无穷大? 作业：补充习题 1 道 参考资料： 《电磁场与电磁波（第四版）》谢处方，饶克谨。高等教育出版社。 《工程电磁场原理（第二版）》倪光正。高等教育出版社。 《电磁场与电磁波（第 2 版）》杨儒贵.高等教育出版社

1.3标量场的方向导数梯度 1.方向导数 方向导数的概念 or=)M) (1.3.1) 41 方向导数的意义：方向导数是描述标量场沿1方向的变化情况的重要概念。 方向导数的计算公式 cosa+。 au ou Ou (1.3.2) 式中：coa-产cosB- 7、cos7= 是I方向的方向余弦。 d 方向导数的特点： ①合守是标量场)在点以处沿1方向对距离的变化率。当骨>0时， 0沿1方向增加：当<0时，M)沿1方向减水当贸=0时，沿1 方向无变化： ②方向导数值既与点M有关，也与1方向有关。 因此，在一个给定点M。处沿不同方向1，其方向导数 一般是不同的。 2.梯度(gradu或Vu) 问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、 其最大的变化率又是多少？ 梯度的概念：标量场！在点M处的梯度是一个矢 方向导数 量，它的方向沿场量“变化率最大的方向、大小等于其 最大变化率，并记作gradu或Vu,即 -6 (1.3.3) 其中，6为取得最大值的方向。 梯度的意义：描述标量场(M)的最大变化率及其方向。 梯度的性质 ①标量场r)的梯度“是矢量场，并且 VxVu=0 (1.3.4) ②标量场)中，在给定点沿任意方向巴，的方向导数等于梯度在该方向上 的投影，即 音6 (1.3.5)

1.3 标量场的方向导数 梯度 1． 方向导数 方向导数的概念 （1.3.1） 方向导数的意义：方向导数是描述标量场沿 方向的变化情况的重要概念。 方向导数的计算公式 （1.3.2） 式中： 、 、 是 方向的方向余弦。 方向导数的特点： ① 是标量场 在点 M0处沿 方向对距离的变化率。当 时， 沿 方向增加；当 时， 沿 方向减小；当 时， 沿 方向无变化； ② 方向导数值既与点 有关，也与 方向有关。 因此，在一个给定点 处沿不同方向 ，其方向导数 一般是不同的。 2．梯度（ 或 ） 问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、 其最大的变化率又是多少？ 梯度的概念：标量场 在点 处的梯度是一个矢 量，它的方向沿场量 变化率最大的方向、大小等于其 最大变化率，并记作 或 ，即 （1.3.3） 其中， 为 取得最大值的方向。 梯度的意义：描述标量场 的最大变化率及其方向。 梯度的性质 ① 标量场 的梯度 是矢量场，并且 （1.3.4） ② 标量场 中，在给定点沿任意方向 的方向导数等于梯度在该方向上 的投影，即 （1.3.5） l u M u M l u l M   ( ) ( ) lim 0 0 0 − =   → l cos cos  cos z u y u x u l u   +   +   =   dl dx cos = dl dy cos  = dl dz cos = l l u   u(M ) l  0   l u u(M ) l  0   l u u(M ) l = 0   l u u(M ) l M0 l M0 l gradu u u M u gradu u max grad l u u u l  =  =  e l e u l   u M( ) u( )r u   u 0 u( )r l e l u u l  =   e l △l M0 M 方向导数

③标量场()中每一点的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向r)增加 的方向： ④一个标量场可由它的梯度来描述，且u(r)=∫Vdl+C。 梯度的计算公式 (直角坐标系) (1.3.6) (圆柱坐标系 (1.3.7) u=60+6高+6,86（球坐标系) Ou (1.3.8) 1.4矢量场的通量散度 1.矢量场的通量 矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一。 通量的概念：矢量场F在场中的曲面S上的积分称为矢量场的通量，即 =FdS=Fnds (1.4.1) 其中：dS=mdS为面元矢量，n为面元的法线单位矢量。 若S是一闭合曲面，则 Ψ=fnF,dS=F.nds (1.4.2) 其中n为外法线单位矢量。 通量的物理意义： 重FdS>0时，有穿出闭合曲面S的净通量(S内有发出矢量线的源，为正源)： ④，FS<0时，有进入闭合曲面S的净通量(S内有汇聚矢量线的源，为负源)： ∮，FS=0时，无进入闭合曲面S的净通量(S内无净通量源)。 通量的特点：描述的是一定范围内总的净通量源，而不能反映场域内的通量 源分布情况。 2.矢量场的散度VF 矢量场的散度描 述场域内的通量源分 布情况的重要概念。 散度的概念：在 量场F中的任一点M (a)divF>0 (b)divF<0 (c)divF=0 处作一个包围该点的 任意闭合曲面S,当 散度的意义 S所限定的体积△V

③ 标量场 中每一点的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向 增加 的方向； ④ 一个标量场可由它的梯度来描述，且 。 梯度的计算公式 （直角坐标系） （1.3.6） （圆柱坐标系） （1.3.7） （球坐标系） （1.3.8） 1.4 矢量场的通量 散度 1．矢量场的通量 矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一。 通量的概念：矢量场 F 在场中的曲面 上的积分称为矢量场的通量，即 （1.4.1） 其中： 为面元矢量， 为面元的法线单位矢量。 若 是一闭合曲面，则 （1.4.2） 其中 为外法线单位矢量。 通量的物理意义： 时，有穿出闭合曲面 的净通量（ 内有发出矢量线的源，为正源）； 时，有进入闭合曲面 的净通量（ 内有汇聚矢量线的源，为负源）； 时，无进入闭合曲面 的净通量（ 内无净通量源）。 通量的特点：描述的是一定范围内总的净通量源，而不能反映场域内的通量 源分布情况。 2．矢量场的散度 矢量场的散度描 述场域内的通量源分 布情况的重要概念。 散度的概念：在矢 量场 中的任一点 M 处作一个包围该点的 任意闭合曲面 ，当 所限定的体积 u( )r u( )r u u C ( ) d =  +  r l x y z u u u u x y z     = + +    e e e z u u u u z          = + +    e e e sin r u u u u r r r          = + +    e e e S d d S S Ψ S = =   F S F n d d S n = S n S d d S S Ψ S = =   F S F n n d 0 S   F S S S d 0 S   F S S S d 0 S =  F S S S  F F S S V (a) divF＞0 (b) divF＜0 (c) divF＝0 散度的意义

以任意方式趋近于零时，则比值重F~“的极限称为矢量场F在点M处的散度， AV 并记作VF,即 F-重s (1.4.3 0△V 散度的物理意义：通量源的密度。V·F>0时，发出矢量线的正源：V·F<0 时，汇聚矢量线的负源：了·F=0时，无通量源。 散度的计算公式： (1.4.4) dx dy d证 p(oF)+1oRe V.F-10 pdo d (圆轴坐标系) (1.4.5) r-r+高m6帆 1 a 1 aF, (球坐标系)(L.4.6) rsine 8 3.散度定理 矢量场F的散度VF在体积t上的体积分等于矢量场F在限定该体积的 闭合面S上的面积分，即 ∫Fdr=∮FdS (1.4.7) 散度定理的意义：矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个 变换关系，是矢量分析中的一个重要的恒等式

以任意方式趋近于零时，则比值 的极限称为矢量场 在点 M 处的散度， 并记作 ，即 （1.4.3） 散度的物理意义：通量源的密度。 时，发出矢量线的正源； 时，汇聚矢量线的负源； 时，无通量源。 散度的计算公式： （1.4.4） （圆轴坐标系） （1.4.5） （球坐标系） （1.4.6） 3．散度定理 矢量场 的散度 在体积 上的体积分等于矢量场 在限定该体积的 闭合面 上的面积分，即 （1.4.7） 散度定理的意义：矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个 变换关系，是矢量分析中的一个重要的恒等式。 d S V  F S F  F 0 d lim S  →V V  =   F S F •F  0 •F  0 •F = 0 x y z F F F x y z     = + +    F 1 1 ( ) z F F F z            = + +    F 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r F r F F r r r r            = + +    F F  F  F S d d  S  =    F F S