第18讲自反空间与一致凸空间 教学目的 掌握具有明显几何特征与重要应用的一致凸空间的定义 及相关性质 授课要点 1自反性的概念和常用空间的自反性 2自反空间的各种属性 我们在前一讲已经定义过自反空间,当X自反时,自然嵌入映射 J:X→>X”是到上的等距映射,X与X”等距同构. James曾经给出 过例子:一个 Banach空间X与其二次共轭空间X”等距同构,而自 然嵌入映射J却不是相应的到上的等距映射,于是这样的空间X不是 自反空间.这告诉我们,自反空间定义中到上的映射J一定要求是自 然嵌入算子 例1Φ",1,[ab](1<p≤∞)都是自反空间 这里仅验证LP[a小]的自反性.由本章第15讲定理2的证明我们 已经知道当+=1时,I[a,b=[ab=L[],利用那里建 立的等距同构映射复合起来可以得到LP[a,b]与L[ab]之间一一的 到上的等距同构映射,记此映射为q:[[ab→E[ab],x→9 我们验证q即是自然嵌入J.实际上,对于任何f∈L[ab,若∫对 应于函数5∈L[ab],则由第15讲定理2的证明,q作为L[vb]上 的线性泛函对应地有
1 第 18 讲 自反空间与一致凸空间 教学目的 掌握具有明显几何特征与重要应用的一致凸空间的定义 及相关性质. 授课要点 1 自反性的概念和常用空间的自反性. 2 自反空间的各种属性. 我们在前一讲已经定义过自反空间，当 X 自反时，自然嵌入映射 JX X : → ∗∗ 是到上的等距映射， X 与 X ∗∗ 等距同构. James 曾经给出 过例子：一个 Banach 空间 X 与其二次共轭空间 X ∗∗ 等距同构，而自 然嵌入映射 J 却不是相应的到上的等距映射，于是这样的空间 X 不是 自反空间. 这告诉我们，自反空间定义中到上的映射 J 一定要求是自 然嵌入算子. 例 1 n Φ ， p l ， [ , 1 ]( ) p L ab p ＜ ＜∞ 都是自反空间. 这里仅验证 [ , ] p L ab 的自反性. 由本章第 15 讲定理 2 的证明我们 已经知道当 1 1 1 p q + = 时， [ , ,, ] [ ] [ ] p qp L ab L ab L ab ∗∗ ∗ = = ，利用那里建 立的等距同构映射复合起来可以得到 [ , ] p L a b 与 [ , ] p L ab ∗∗ 之间一一的 到上的等距同构映射. 记此映射为 :, , [ ] [ ] p p ϕ L ab L ab ∗∗ → ， x x →ϕ ， 我们验证 ϕ 即是自然嵌入 J . 实际上，对于任何 [ , ] p f L ab ∗ ∈ ，若 f 对 应于函数 [ , ] q ξ ∈ L a b ，则由第 15 讲定理 2 的证明，ϕx 作为 [ , ] p L ab ∗ 上 的线性泛函对应地有
9()=9、()5()d=∫x()5(0d=( ∫是任意的,所以由定义即是J 例2c,7,L[a,b]都不是自反的 这里仅验证’我们知道(1)=F,并且空间是可分的,P不 可分,若自反,则必有()=1,这与本章第16讲定理15的结论 矛盾 定理1若X是自反空间,则X的任一闭线性子空间Y是自反空 证明设YcX是闭线性子空间,JY→Y"是自然嵌入映射 对于每个y”∈”和x∈x’,记x为x在y上的限制并且令 y 则x”∈X”,于是存在x∈X,J(x)=x 现在证明x∈Y,若不然,Y是闭子空间,xgY,则存在 x’∈X,x(x)=1,x(y)=0,(y∈).于是 1=x(y)=x(x)=y(x)=0 矛盾,由此改记x=y 对于y∈Y,y可以延拓为X上的连续线性泛函x,使得 x=y,从而由()式得到
2 ( ) () () () () ( ) b b x x a a ϕ ϕξ ξ f = == t t dt x t t dt f x ∫ ∫ ， f 是任意的，所以由定义 ϕ 即是 J . 例 2 0 c ， 1 l ， [ ] 1 L ab, 都不是自反的. 这里仅验证 1 l ，我们知道 ( ) 1 l l ∗ ∞ = ，并且空间 1 l 是可分的， l ∞ 不 可分，若 1 l 自反，则必有 ( ) 1 l l ∗ ∞ = ，这与本章第 16 讲定理 15 的结论 矛盾. 定理 1 若 X 是自反空间，则 X 的任一闭线性子空间 Y 是自反空 间. 证明 设 Y X ⊂ 是闭线性子空间， JY Y : ∗∗ ′ → 是自然嵌入映射. 对于每个 y Y ∗∗ ∗∗ ∈ 和 x X ∗ ∗ ∀ ∈ ，记 Y x∗ 为 x∗ 在 Y 上的限制并且令 ( ) ( ) Y xx yx ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ = , ( ) 1 则 x X ∗∗ ∗∗ ∈ ，于是存在 x∈ X ， Jx x ( ) ∗∗ = . 现在证明 x∈Y ，若不然， Y 是闭子空间， x∉Y ，则存在 0 x X ∗ ∗ ∈ , x x 0 ( ) 1 ∗ = ， x y 0 ( ) 0 ∗ = ， (∀ ∈y Y ) . 于是 1 0 0 00 0 ( ) ( ) ( ) Y xy x x yx ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ == = = ， 矛盾，由此改记 x = y. 对 于 y Y ∗ ∗ ∀ ∈ ， y∗ 可以延拓为 X 上的连续线性泛函 x∗ ，使得 Y x y ∗ ∗ = , 从而由 ( ) 1 式得到 yy xx x x y y ( ) ( ) ( ) ( ) ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ == =
y是任意的,故=y”,J到上,Y自反 利用稍微复杂一点的方法可以证明下面定理,这里将具体的证明 略去 定理2设X是 Banach空间,则 (1)X是自反的当且仅当X”自反 (2)若X自反,M是X的闭线性子空间,则商空间X\M自反 定理3设X是线性赋范空间,则以下诸条件等价: 1)X自反 (2)X中任一有界序列包含有w收敛的子序列 (3)X的闭单位球Sx是序列紧集即Sx中任一无穷序列有弱 收敛于Sx中点的子序列 (4)f∈X",f≠0,存在x∈X,|x=1使得f(x)=|f 证明(1)→(2)设{xn}是X中任一有界序列,例如 xnsM(vn21),考虑Y=spum{xn},Y是X的闭线性子空间.由 定理1,Y自反.注意到Y是可分的,故Y”可分.若J:Y=Y”是自然 嵌入映射,{xn}是Y中的有界序列,从而{x}是Y”中的有界序列 根据本章第16讲定理16,有子序列{x}及y”∈r Jx2—少>y0由于Y是自反的,故存在y∈Y,Jy=y,即 y∈Y (政x)(y)→(巧3)(y) 现在,x∈x,设y=x|,则 (xn)=y(xn)=(Jx)(y)→()()=y()=x( 故 (2)→(3)由上面证明知道,Wx∈Sx,有子序列{xn}
3 y∗ 是任意的，故 Jy y ∗ ∗∗ ′ == ， J ′ 到上， Y 自反. 利用稍微复杂一点的方法可以证明下面定理，这里将具体的证明 略去. 定理 2 设 X 是 Banach 空间，则 (1) X 是自反的当且仅当 X ∗ 自反. (2)若 X 自反， M 是 X 的闭线性子空间，则商空间 X \ M 自反. 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下诸条件等价： (1) X 自反. (2) X 中任一有界序列包含有 w 收敛的子序列. (3) X 的闭单位球 X S 是 w 序列紧集.即 X S 中任一无穷序列有弱 收敛于 X S 中点的子序列. (4) ∀ f X ∗ ∈ ， f ≠ 0，存在 x∈ X ， x =1使得 f ( x f ) = . 证 明 (1) ⇒ (2) 设 {xn} 是 X 中任一有界序列，例如 n x ≤ M ( ) ∀n ≥1 ，考虑 Y span x = { n} ， Y 是 X 的闭线性子空间. 由 定理 1，Y 自反. 注意到 Y 是可分的，故 Y∗ 可分.若 JY Y : ∗ ∗∗ ′ = 是自然 嵌入映射， {xn} 是 Y 中的有界序列，从而 {J x′ n} 是 Y∗∗ 中的有界序列. 根据本章第 16 讲定理 16 ，有子序列 {J x′ nk } 及 0 y Y ∗∗ ∗∗ ∈ ， 0 k w n Jx y ∗ ∗∗ ′ → .由于 Y 是自反的，故存在 0 y Y ∈ ， 0 0 Jy y ∗∗ ′ = . 即 y Y ∗ ∗ ∀ ∈ ， ( )( ) ( ) 0 ( ) k n Jx y Jy y ∗ ∗ ′ ′ → . 现在， ∀ x X ∗ ∗ ∈ ，设 Y y x ∗ ∗ = ，则 () () ( )( ) ( ) 0 ( ) k kk n nn x x y x Jx y Jy y ∗∗ ∗ ∗ == → ′ ′ y y( 0 ) ∗ = ( ) 0 x y ∗ = 故 0 k w n x → y . (2) ⇒ (3) 由上面证明知道， n X ∀x ∈ S ，有子序列 {xnk }
x-"→x∈X,同时有| roslin|x2s1,故x∈Sx·Sxw序列紧 (3)→(4)设∫≠0,f∈x·由/=sp/(x),取x∈X, |xnl=1,f|-<f(x)≤/(·由(3),{x}中有子序列x—"→x, xlim|x|s1,特别地,f(x)=limf(x)但 J/lf('n)sIlI 于是 (x)=im|/(x)=1/ 现在(x)s/x,故|xl≥1,从而|x=1.若f(x)=re, 取x=ex,则|1=|x=1,并且 f(x)=e"f(x)=r=|f(x)= 4)→(1)一个初等的但繁复的证明由 James作出(见 Israel J. Math.vol13,1972),这里略去 例3C[0.不是自反空间.取x()=,n21,则x∈C[O 由第16讲例4,若有子列x弱收敛于x,则x()=0,0<(1,x()=1 但xgC[O,],这说明C[0,的闭单位球不是w序列紧的.由定理3(3) 知C[.不自反 习题二第4题和定理3(4)也可以说明这个结论成立 定理3(3)说明自反空间中的任一有界闭凸子集是弱序列紧集,这 性质在逼近论和凸分析中有很多应用
4 0 k w n x → ∈ x X ，同时有 0 lim 1 k n k x x →∞ ≤ ≤ ，故 0 X x ∈ S . X S w 序列紧. (3) ⇒ (4) 设 f ≠ 0， f X ∗ ∈ . 由 ( ) 1 sup x f f x = = ，取 n x ∈ X ， 1 n x = ， ( ) 1 n f fx f n − ≤ ＜ . 由(3)，{xn} 中有子序列 0 k w n x → x ， 0 lim 1 k k n n x x →∞ ≤ ≤ ，特别地， ( ) 0 lim ( ) k k n n f x fx →∞ = . 但 ( ) 1 k n k f fx f n − ≤ ＜ , 于是 ( ) 0 lim ( ) k k n n f x fx f →∞ = = . 现在 f ( x fx 0 0 ) ≤ ，故 0 x ≥1，从而 0 x =1. 若 ( 0 ) i f x re θ = ， 取 0 i x e x − θ = ，则 0 x x = =1，并且 ( ) ( 0 0 ) ( ) i f x e fx r fx f − θ = == = . (4) ⇒ (1) 一个初等的但繁复的证明由 James 作出 (见 Israel J.Math. vol 13，1972 )，这里略去. 例 3 C[0,1]不是自反空间. 取 ( ) n n x t t = ，n ≥1，则 x C n ∈ [0,1] . 由第 16 讲例 4，若有子列 k n x 弱收敛于 x ，则 x t( ) = 0 ，0 1 ＜ ＜t ，x ( ) 1 1 = . 但 x C ∉ [0,1] ，这说明 C[0,1]的闭单位球不是 w 序列紧的. 由定理 3(3) 知 C[0,1]不自反. 习题二第 4 题和定理 3(4)也可以说明这个结论成立. 定理 3(3) 说明自反空间中的任一有界闭凸子集是弱序列紧集，这 一性质在逼近论和凸分析中有很多应用
定理4设X是线性赋范空间,ECX是弱序列紧集,x∈X\E 则存在y∈E使得 lxo-yoll=inf *o-y=d Yo, E) 即y是x关于E的最佳逼近元 证明取yn∈E使得|x-yn→inf|x-列,由于E是弱序列紧 的,从而有子列y→y∈E.现在一方面 ≥inf 另一方面,由于∈X’f(y)→f(y),特别地取∈X”使得 fl|-1,G(x-y)=|x-y,则 =6(x-y)=1mG(x-y) im /o, = inf o-voll 于是 Ixo-yollinf o-y 线性赋范空间X上的泛函q:X→(-∞,叫](不必线性)称为是弱下 半连续的,若对于任何x∈X和x"→x,(x)simg(x) 定理5设E是线性赋范空间X中的弱序列紧集,q:E→R是弱 下半连续泛函,则在E上可达到极小值,即彐x0∈E使得
5 定理 4 设 X 是线性赋范空间，E ⊂ X 是弱序列紧集， 0 x ∈ X E\ ， 则存在 0 y E ∈ 使得 00 0 0 inf , ( ) y E x y x y dxE ∈ − = −= . 即 0 y 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元. 证明 取 n y E ∈ 使得 0 0 inf n y E x y xy ∈ − → − ，由于 E 是弱序列紧 的，从而有子列 0 k n y yE → ∈ . 现在一方面 00 0 inf y E x y xy ∈ −≥ − . 另一方面, 由于 f X ∗ ∀ ∈ ， ( ) ( ) 0 k n f y fy → ，特别地取 0f X ∗ ∈ 使得 0f =1， f00 0 0 0 ( ) xy xy − =− ，则 0 0 00 0 00 ( ) lim ( ) k k n n x y fx y fx y →∞ −= −= − 0 0 lim k k n n f x y →∞ ≤ − 0 inf y E x y ∈ = − . 于是 00 0 inf y E x y xy ∈ −= − . 线性赋范空间 X 上的泛函 ϕ : , X → −∞ ∞ ( ](不必线性)称为是弱下 半连续的，若对于任何 0 x ∈ X 和 0 w n x → x ， ( 0 ) lim ( ) n n ϕ ϕ x x →∞ ≤ . 定理 5 设 E 是线性赋范空间 X 中的弱序列紧集，ϕ : E R → 是弱 下半连续泛函，则 ϕ 在 E 上可达到极小值，即 0 ∃x ∈ E 使得