第17讲共轭算子与紧算子 教学目的 掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质 授课要点 1共轭算子的生成以及与原算子的对偶性 2紧算子的属性及常见紧算子的例。 赋范空间有共轭空间,同样地有界算子有共轭算子.让我们先看下面定义 定义1设X,y是线性赋范空间,X,Y分别是X与Y的共轭空间 T∈B(X,).若线性算子T:F→X满足 (Ty)(x)=y(Tx), VxeX', Vyer 则称T”是T的共轭算子 有时我们记f(x)=(x,f),则上式可以写成 y y 定理1设X,y是线性赋范空间,T∈B(X,Y),则 (1)T存在并且惟 )r|=r‖ 证明1°对于每个声*∈F,记l(x)=(Txy),/是X上的线性泛函,并且 1(x)=(Tx, y)=lv 7- ll'll I l,vex 所以 sp|r‖ 这说明l∈X.显然l与y有关,记为T"y,则T”是Y→X”的算子.由定义知道 (x,ry)=1(x)=(x,y),x∈x,y∈r 直接验证可知T是线性算子.上式表明T”是T的共轭算子
第 17 讲 共轭算子与紧算子 教学目的 掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质。 授课要点 1 共轭算子的生成以及与原算子的对偶性。 2 紧算子的属性及常见紧算子的例。 赋范空间有共轭空间，同样地有界算子有共轭算子. 让我们先看下面定义. 定 义 1 设 X ,Y 是线性赋范空间， X ,Y∗ ∗ 分别是 X 与 Y 的 共 轭 空 间 ， T ∈B( ) X ,Y ．若线性算子TY X : ∗∗ ∗ → 满足 ( ) T y x y Tx ( ) () ∗∗ ∗ = ， x X ∗ ∀ ∈ ， y Y∗ ∀ ∈ 则称T∗ 是T 的共轭算子. 有时我们记 f () ( ) x xf = , ，则上式可以写成 ( ) Tx y x T y , , ( ) ∗ ∗∗ = ． (1) 定理 1 设 X ,Y 是线性赋范空间，T ∈B( X Y, ) ，则 (1) T∗ 存在并且惟一, (2) T T ∗ = ． 证 明 1° 对于每个 y Y * ∗ ∈ ，记l x Tx y ( ) ( , ) ∗ = ，l 是 X 上的线性泛函，并且 l x Tx y y Tx ( ) ( ) , ∗ ∗ = ≤ y Tx ∗ ≤ ，∀x∈ X 所以 l yT ∗ ≤ ， ( ) 3 这说明l X ∗ ∈ . 显然l 与 y∗ 有关，记为T y∗ ∗ ，则T∗ 是Y X ∗ → ∗ 的算子. 由定义知道 ( x, , T y l x Tx y ) ( ) ( ) ∗∗ ∗ = = ，∀x X ∈ ， y Y ∗ ∗ ∈ 直接验证可知T∗ 是线性算子. 上式表明T∗ 是T 的共轭算子
若T也是T的共轭算子,则vx∈X,y∈y (x, T"y)=(Tx, y)=(x, T'y) 由x的任意性知Ty=Ty,由y的任意性知T”=T 2°由(3)式,y∈r, Ty|=脚s|r vx∈X,若Tx≠0,则存在y∈F,|=1,|”yl=,于是 =(x,ry)≤|r:| 若T=0,此式自然成立.故 I ryrl 总之,|T|=7 由2”还可以知道,若令*(7)=T*,则|(T)=r1=7·例行的验证表明是 线性映射,所以是从B(X,)到B(r,x)的子空间上的等距同构 例1设T:Φ"→Φm是有界线性算子,e1;…,en是Φ"的一组基,A,…,/n是Φ"的 组基,T在基底e…c与A,…m之下对应的矩阵为(a),即 (2) 令K=span{en,…,ek1,ek1,…,en},则Y是闭子空间,e4Ek·由Hahn- Banach定理, 存在e∈(④),e()=d(=)≠0.必要时乘上一个不为0的常数,可设e()=1, 对于其余的e,c(e)=0.即e,…,C满足 e()=6=1k= ≠L 称e…c是(④)的关于,…的对偶基类似地,设…A是()的关于 的对偶基
若T1 ∗ 也是T 的共轭算子，则∀ ∈x X ， y Y ∗ ∗ ∈ ， ( ) x, , ,, T y Tx y x T y ( ) ( 1 ) ∗∗ ∗ ∗∗ = = 由 x 的任意性知Ty Ty 1 ∗∗ ∗∗ = ，由 y∗ 的任意性知T T1 ∗ ∗ = ． 2° 由( ) 3 式，∀ y Y ∗ ∗ ∈ ， Ty l y T ∗∗ ∗ = ≤ ， 故 T T ∗ ≤ ． ∀ ∈x X ，若Tx ≠ 0，则存在 0 y Y ∗ ∗ ∈ ， 0 y 1 ∗ = ， T y Tx 0 ∗ ∗ = ，于是 ( ) 0 0 Tx x T y T y x , , ∗∗ ∗∗ = ≤ 若Tx = 0，此式自然成立. 故 0 1 sup . y T Ty Ty T ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ≤ ≤≤ = 总之， T T ∗ = ． 由 2°还可以知道，若令σ *( ) * T T = ，则 σ (TTT ) ∗ = = . 例行的验证表明σ 是 线性映射，所以σ 是从 B( ) X Y, 到 B(Y X, ) ∗ ∗ 的子空间上的等距同构. 例 1 设 : n m T Φ →Φ 是有界线性算子，1, , n e e " 是 n Φ 的一组基， 1, , µ " µ m 是 m Φ 的 一组基，T 在基底 1, , n e e " 与 1, , µ " µ m 之下对应的矩阵为(aij) ，即 1 m i ik k k Te a µ = = ∑ ，(i n =1, , " ) ． （2） 令 Yk = span 1 11 {, , , , , } kk n e ee e " " − + , 则Yk 是闭子空间，k k e Y ∉ . 由 Hahn－Banach 定理， 存在 ( ) n k e ∗ ∗ ∈ Φ ， ( )( ) , 0 k k kk e e deY ∗ = ≠ ． 必要时乘上一个不为 0 的常数，可设 ( ) 1 k k e e ∗ = ， 对于其余的 i e ， ( ) 0 k i e e ∗ = . 即 1 , , n e e ∗ " ∗ 满足 ( ) 1, , 0, . k i ki k i e e k i δ ∗ = = = ≠ 称 1 , , n e e ∗ ∗ " 是 ( ) n ∗ Φ 的关于 1, , n e e " 的对偶基. 类似地，设 * * 1 , , µ " µ m 是 ( ) m ∗ Φ 的关于 1, , µ " µ m 的对偶基
现在若T(4)→()是T的共轭算子,T与(2)对应,即 T"=∑b,(=1…,m) 则根据共轭算子的定义,应有 (re,)=(e,r*4),(1≤≤n1≤j≤m 实际验算可知 a T b b 所以b=a 即(b)是(a)的转置矩阵换句话说,一旦对偶基确定之后,从有限维空间到有限维 空间的线性算子,其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵.在线性代数中我们 知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用,现在我们希望知道对于更一般的有 界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性. 定理2(1)若X,Y,Z为线性赋范空间,A∈B(Y,Z),B∈B(X,Y) (AB)=BA (2)设与x分别为X与X中的单位算子,则(lx)=x 证明1°容易知道,AB∈B(Y,Z),故(AB)存在.Vx∈X,∈Z, (x(4B)÷)=(4Bx:)=(Bx,f-)=(x-) 故(AB)=B' 2°yx∈X,x'∈X”, (x(1)x)=(x)=(x)=(x1x) 故(x)=x 若T”:y·→>X是T:X→Y的共轭算子,记T”:X”→Y”是T”的共轭算子。 定理3设X,y是线性赋范空间,A∈B(X,1),则f“=4,x是A的保持范 数不变的延拓 证明由定理1知|=f1=4·比较A:x→y与”:x”→F”,由于 XcX”,即D(X)cD(X").对于x∈x,仍用x代表x”(=)∈X”,则
现在若 :( ) () m n T ∗ ∗ ∗ Φ →Φ 是T 的共轭算子，T∗ 与(bij) 对应，即 1 n j jk k k T be µ∗ ∗ ∗ = = ∑ ，( j =1, , " m) 则根据共轭算子的定义，应有 ( )( ) , ,* Te e T ij i j µ µ ∗ ∗ = ，(1 ,1 ≤≤ ≤ ≤ in jm) 实际验算可知 ( ) 1 , , m i j is s j ij s Te a a µ µµ ∗ ∗ = = = ∑ , ( ) 1 , , n i j i jk k ji k eT e be b µ∗∗ ∗ = = = ∑ , 所以 ji ij b a = . 即(bij) 是( ) ij a 的转置矩阵. 换句话说，一旦对偶基确定之后，从有限维空间到有限维 空间的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵. 在线性代数中我们 知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用， 现在我们希望知道对于更一般的有 界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性. 定理 2 (1) 若 X , , Y Z 为线性赋范空间， A∈ B (Y Z, ) ， B ∈ B ( ) X Y, ， 则 ( ) AB BA ∗ ∗ ∗ = . (2) 设 XI 与 X I ∗ 分别为 X 与 X ∗ 中的单位算子，则( ) X X I I ∗ ∗ = . 证明 1° 容易知道， AB ∈B(Y Z, ) ，故( ) AB ∗ 存在. ∀ x X ∈ ， z Z ∗ ∗ ∈ ， ( ) x, ,, ( ) AB z ABx z Bx A z ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ ∗∗ = = ( x, BAz ) ∗ ∗ ∗ = ， 故( ) AB BA ∗ ∗ ∗ = ． 2° ∀ x X ∈ ， x X ∗ ∗ ∈ ， ( ) , ,,, ( ) X X ( ) ( ) ( ) X x I x I xx xx xI x∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ = == ， 故( ) X X I I ∗ ∗ = . 若TY X : ∗∗ ∗ → 是TX Y : → 的共轭算子，记TX Y : ∗∗ ∗∗ ∗∗ → 是T∗ 的共轭算子。 定理 3 设 X ,Y 是线性赋范空间， A∈B( X Y, ) ，则 A A ∗∗ = ， A∗∗是 A 的保持范 数不变的延拓. 证明 由定理 1 知 A A A ∗∗ ∗ = = ．比较 AX Y : → 与 A : X Y ∗∗ ∗∗ ∗∗ → ，由于 X X ∗∗ ⊂ ，即 DX DX ( ) ( ) ∗∗ ⊂ ．对于 x X ∈ ，仍用 x 代表 x ( Jx X ) ∗∗ ∗∗ = ∈ ，则
(r"x,y)=(Ax2)=(x",y Ay)=(Ax,y 故A”x=Ax,于是A”是A的保范延拓 下面让我们考察一类重要的算子——紧算子,它在积分方程论及数学物理等学科中具有 重要应用 定义2设X,}是线性赋范空间,T:X→>Y是线性算子 (1)称T是紧的,若T将X中的每个有界集映射为Y中的相对紧集 (2)称T是有限秩算子,若dmT(x)<∞ 容易知道,TX→Y是紧算子当且仅当T把单位球Sx映射为中的相对紧集 命题 (1)紧算子是有界算子 (2)有限秩有界算子是紧的.从而任何从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧的 (3)设X,F,Z是线性赋范空间,A∈B(,2),B∈B(X),若A,B中有一个是紧 的,则AB是紧算子 证明1°相对紧集是有界集,故得(1) 2°对于X中的任一有界集E,T(E)是有界集,但Y是有限维空间的子集,故T(E) 相对紧,(2)成立 3°设Sx是X的单位球,若A是紧的,首先B(Sx)是y中的有界集,然后AB(Sx) 是Z中的相对紧集,于是AB是紧的若B是紧算子,首先B(Sx)是Y中的相对紧集,由 于A连续,A将B(Sx)中的收敛序列映射为AB(Sx)中的收敛序列,故AB是紧的 从X到Y中的紧算子的全体记为C(X,Y) 定理4 (1)若T72∈C(X,),则T+T2,aT∈C(x,1),(a∈Φ) (2)若y为 Banach空间,T∈C(X,)并且-T‖→0,则TeC(Xx,) (3)若y为 Banach空间,则C(X,Y)为 Banach空间。 证明1°设Sx为X的单位球,7(Sx)是Y中的相对紧集,对于其中任一无穷序列 x(x∈S),有子序列Tx→∈Y,又(S)为y中相对紧集,对于序列72(x)
( )( ) A xy A x y x Ay , ,, ( ) ∗∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ = = ( ) x, , A y Ax y ( ) ∗∗ ∗ = = ， y Y ∗ ∗ ∀ ∈ 故 A x Ax ∗∗ = ，于是 A∗∗是 A 的保范延拓. 下面让我们考察一类重要的算子——紧算子，它在积分方程论及数学物理等学科中具有 重要应用. 定义 2 设 X ,Y 是线性赋范空间，TX Y : → 是线性算子． (1) 称T 是紧的，若T 将 X 中的每个有界集映射为Y 中的相对紧集. (2) 称T 是有限秩算子，若dimT X( )＜∞ . 容易知道，TX Y : → 是紧算子当且仅当T 把单位球 X S 映射为Y 中的相对紧集. 命 题 (1) 紧算子是有界算子. (2) 有限秩有界算子是紧的. 从而任何从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧的. (3) 设 X , , Y Z 是线性赋范空间，A∈B(Y Z, ) ，B ∈B( X Y, ) ，若 A, B 中有一个是紧 的，则 AB 是紧算子. 证 明 1° 相对紧集是有界集，故得(1). 2° 对于 X 中的任一有界集 E ，T E( ) 是有界集，但Y 是有限维空间的子集，故T E( ) 相对紧，(2)成立. 3° 设 X S 是 X 的单位球，若 A 是紧的，首先 B S( X ) 是Y 中的有界集，然后 AB S( ) X 是 Z 中的相对紧集，于是 AB 是紧的. 若 B 是紧算子，首先 B S( X ) 是Y 中的相对紧集，由 于 A 连续， A 将 B S( X ) 中的收敛序列映射为 AB S( X ) 中的收敛序列，故 AB 是紧的. 从 X 到Y 中的紧算子的全体记为C XY ( , ) . 定理 4 (1) 若TT C XY 1 2 , , ∈ ( ) ，则T T T C XY 12 1 + ∈ , , α ( ) , (α ∈Φ) . (2) 若Y 为 Banach 空间，T C XY n ∈ ( , ) 并且 0 T T n − → ，则T C XY ∈ ( ) , . (3) 若Y 为 Banach 空间，则C XY ( , ) 为 Banach 空间。 证 明 1°设 X S 为 X 的单位球，T S 1 ( X ) 是Y 中的相对紧集，对于其中任一无穷序列 Tx x S 1 nn X ( ) ∈ ，有子序列 1 1 k Tx y Y n → ∈ ，又T S 2 ( X ) 为Y 中相对紧集，对于序列 2 ( ) k T xn
有子列Tx→y2∈Y,从而(T+T2)x→y+y2,故(7+72)(S)是相对紧的, T+T2∈C(x,) 至于aT∈C(X,Y)可类似证之 2°显然supr=M<o,由 Banach- Steinhaus定理,|r‖≤M.V>0,取n使得 当刀2时,一3 Tn(Sx)是相对紧集,从而是完全有界集,设y1…从是7n(Sx)的元网,则有 x1…,x∈Sx,y=Tnx(=1,…,k).我们证明Tx,…,Tx是T(Sx)的E网 实际上,Vx∈Sx,取y使得 x-y1=x-x|<5 则 Tx, -, -Tm,+x-T xl +T, x-txl |T-m+2+|7n-Tl|;|<E Y是完备的,T(Sx)是完全有界集从而是相对紧集,即T∈C(X,X) 3°当y是 Banach空间时,B(X,)是 Banach空间,由2°知,C(x,y)是B(X,y) 的闭线性子空间,故C(X,)本身是 Banach空间 定理5设X,y是线性赋范空间,T∈C(x,),则r∈C(XF) 证明设S2是X的单位球,S,是F的单位球,我们要证明T(S,)是X中的相 对紧集。由于X”是 Banach空间,只须证明r(S,)是完全有界集 vE>0,7(Sx)完全有界,故存在x1…,x∈Sx使得y=Tx(=1…,n)是T(Sx) 即x∈Sx,x使得 定义 a→°,a(y)=(y(y)…y(n),wer
有子列 2' 2 k Tx y Y n → ∈ ，从而 ( ) 12 1 2 k T Tx y y n ′ + → + ，故 (TT S 1 2 + )( X ) 是相对紧的， T T C XY 1 2 + ∈ ( ) , . 至于α T C XY 1 ∈ ( ) , 可类似证之. 2°显然 1 sup n n T M ≥ = ∞ ＜ ，由 Banach－Steinhaus 定理， T M≤ .∀ε＞0，取 0 n 使得 当 0 n n ≥ 时， T T n ε − ＜ 3 . T S n X ( ) 是相对紧集，从而是完全有界集，设 1, , k y y " 是 T S n X ( ) 的 ε 3 网，则有 1, , k X x " x S ∈ ， i ni y Tx = ( ) i k =1, , " . 我们证明 1, , Tx Tx " k 是T S( X ) 的ε 网. 实际上， X ∀ ∈x S ，取 i y 使得 Tx y Tx Tx n i n ni ε −= − ＜ 3 . 则 Tx Tx Tx T x T x T x T x Tx i i ni ni n n −≤ − + − + − TT x T Tx ni n ε ≤ − ++ − 3 ＜ε . Y 是完备的，T S( ) X 是完全有界集从而是相对紧集，即T C XY ∈ ( , ) . 3° 当Y 是 Banach 空间时，B( X Y, ) 是 Banach 空间. 由２°知，C XY ( , ) 是 B( ) X Y, 的闭线性子空间，故C XY ( ) , 本身是 Banach 空间. 定理 5 设 X ,Y 是线性赋范空间，T C XY ∈ ( , ) ，则T CX Y ( , ) ∗ ∗ ∗ ∈ . 证 明 设 X S 是 X 的单位球， Y S ∗ 是Y∗ 的单位球，我们要证明 ( ) Y T S ∗ ∗ 是 X ∗ 中的相 对紧集。由于 X ∗ 是 Banach 空间，只须证明 ( ) Y T S ∗ ∗ 是完全有界集. ∀ε＞0，T S( ) X 完全有界，故存在 1, , n X x " x S ∈ 使得 i i y Tx = (i n =1, , " ) 是T S( ) X 的 ε 4 网，即 X ∀ ∈x S ， k ∃x 使得 Tx y Tx Tx k k ε −=− ＜ 4 . ( ) 4 定义 : n σ Y∗ → Φ ，σ ( ) y yy yy ( ( 1 ), , ( n )) ∗∗ ∗ = " ， y Y ∗ ∗ ∀ ∈