高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（三）多元微积分学课件 第一章 多元函数微分学（1.7）高阶偏导数

例二元函数z=f(xy)的三阶偏导数: a2z02z02 Oyax Oxoy ay Ox2 0(a2z Ox axa axavax axon Ov axa a

二元函数 z = f (x, y)的三阶偏导数： x y z    2 x y x z x y z x      =           2 3 2 2 3 x y z x y z y     =           x y 2 2 x z   2 2 y z   x y z    2 y x z    2 例 3

例‖二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数: a2 a2z Oyax Oxoy ay Ox2 0(02z OyaxOyox Vox 0(a2z 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数:共23=8项

二元函数 z = f (x, y)的三阶偏导数： y x z    2 2 2 3 y x z y x z x     =           y x y z y x z y      =           2 3 x y 2 2 x z   2 2 y z   x y z    2 y x z    2 例 4 共 2 3 二元函数 z = f (x, y)的三阶偏导数： = 8 项

发现求高阶导数与求导顺序有关

发现求高阶导数与求导顺序有关

例求=xy2-3xy-xy+1的二阶偏导数 解先求一阶偏导数 az 3x 2x'y-9xy-x 再求二阶偏导数: az ax 820(a)02,2-y)=6y2 ax Ox ax ax a2 z (2x3y-9xy2-x)=2x-18x ay Oy

求 3 1 3 2 3 z = x y − x y − x y+ 的二阶偏导数. 先求一阶偏导数： 3 3 , 2 2 3 x y y y x z = − −   2 9 , 3 2 x y xy x y z = − −   再求二阶偏导数： x z   y x y z   y x 2 2 x z             = x z x (3 3 ) 2 2 3 x y y y x − −   = 2 = 6xy 2 2 y z               = y z y (2 9 ) 3 2 x y x y x y − −   = 2x 18xy 3 = − 例 解

例求=xy2-3xy-xy+1的二阶偏导数 ,b< 二阶混合偏导数 O"2 (3x2y2-3y3-y)=6x2y-9 =(2x3y-9xy2-x)=6x2y-9y2-1 yOX Cx 发现两个混合偏导数相等匚般性? 观察 这里的两个混合偏导数均连续

求 3 1 3 2 3 z = x y − x y − x y+ 的二阶偏导数. x z   y x y z   y x 例 解 二阶混合偏导数： x y z    2 (3 3 ) 2 2 3 x y y y y − −   = 6 9 1 2 2 = x y − y − y x z    2 (2 9 ) 3 2 x y x y x x − −   = 6 9 1 2 2 = x y − y − 观察 发现两个混合偏导数相等 一般性？ 这里的两个混合偏导数均连续