是否有非零解。若有非零解,则 a12a2,…,a,线性相关;若只有零解,则 a.线性无关 线性关系的简单性质 性质1:向量组α1,a2…,a,中的每一向量α都可以由这 组向量线性表示 性质2:如果向量r可由向量组a2a2…a,线性表示,而 每一个向量a又可由向量组,A2…,B,线性表示。 证:设r=∑ka,而a=2b月,1=12…F j=1 故r=∑∑b月1∑∑(k)=∑∑的 i=1 性质3:如果向量组a1,Q2,C,线性无关,则它的任一部 分组也线性无关 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 是否有非零解。若有非零解，则 1 2 , , , r 线性相关；若只有零解，则 1 2 , , , r 线性无关。 二、线性关系的简单性质 性质1：向量组 1 2 , , , r 中的每一向量 i 都可以由这一 组向量线性表示。 性质2：如果向量r可由向量组 1 2 , , , r 线性表示，而 每一个向量 i 又可由向量组 1 2 , , , s 线性表示。 证：设 1 , r i i i r k = = 而 1 , 1, 2, , s i j j j b i r = = = 故 ( ) 1 1 1 1 1 1 r s r s s r i j j i j j i j j i j i j j i r k b k b k b = = = = = = = = = 性质3：如果向量组 1 2 , , , r 线性无关，则它的任一部 分组也线性无关
性质3:如果向量组a1,a2…,,有部分组线性相关,则 向量组a1,a2…,a1也线性相关。 性质4:设向量组a1,a2…c线性无关而向量组a,a2…ar,B 线性相关,则β一定可由a1,a2…a,线性表示 性质5:线性无关向量组a12C2…,r 的同位延长向量组也线性无关。 证:设a1=( l1121t)2 21,422,……a rl2r222 an)线性无关,其延长向量组为 1112lt1t+131n) 21,2,…42a2x+1 D鲁自鲁D鲁 a=(aa rl2r222rt2rt+15 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 性质 3 ：如果向量组 1 2 , , , r 有部分组线性相关，则 1 2 , , , 向量组 r 也线性相关。 性质4：设向量组 1 2 , , , r 线性无关而向量组 1 2 , , , , r 线性相关，则β一定可由 1 2 , , , r 线性表示。 性质5：线性无关向量组 1 2 , , , r 的同位延长向量组也线性无关。 证：设 1 11 12 1 = (a a a , , , , t ) 2 21 22 2 = (a a a , , , , t ) , r r r rt = (a a a 1 2 , , , ) 线性无关，其延长向量组为： 1 11 12 1 1 1 1 = (a a a a a , , , , , , , t t n + ) 2 21 22 2 2 1 2 = (a a a a a , , , , , , , t t n + ) r r r rt rt rn = (a a a a a 1 2 1 , , , , , , . + )