《数学分析》课程教学资源（试题集锦）第九章 定积分

§2可积条件 例1设f∈:{ab],g(x)=e,试用两种方法证明g∈s{ab 证[证法一因f∈{a,b],故彐M1>0,使 (x)≤M1,x∈ab] 于是有 g(x)≤eM=M,x∈[ab 因此由微分值定理推知 )_e/(x) xX∈Ar supEr)-fG) xx∈A2 ≤Ms甲p/()-/(x =Mo!(其中n在/(x)与/(x之间) (2.2) 根据可积第二充要条件(必要性),VE>0,彐某分割T,可使 ∑aAx 对于同一分割T,据(2.2)式便有 ∑ DAx, sM∑! E E 再由可积第二充要条件(充分性),证得g(x)=e∈ab [证法二]利用复合函数可积性质(教材第235页例2),已知h)=e"为连续函数, f(x)在a,b]上为可积函数,则 g(x)=h(/(x)=e∈9b 例2证明:若f∈b,[,月]=[a,b],则f∈a

§2 可积条件 例 1 设 f a,b， ( ) f (x) g x = e ，试用两种方法证明 g a,b 证[证法一]因 f a,b ，故 M1  0 ，使 ( ) M1 f x  ， xa,b ； 于是有 g(x) e M M  = 1 ， xa,b 因此由微分值定理推知 ( ) ( ) ' '' ' '' sup f x f x x x x g i e e i = −   ( ) ( ) ' '' ' '' sup f x f x i x x = −  ( ) ( ) ' '' ' '' M sup f x f x i x x  −  f = Mi （其中 在f (x ' )与f (x '' )之间 ） （2.2） 根据可积第二充要条件（必要性），   0 ， 某分割 T，可使 ( )   T i f i M x    ； 对于同一分割 T，据（2.2）式便有 ( )      T i f i i g i  x M  x    = M  M 再由可积第二充要条件(充分性),证得 ( ) ( ) g x e a b f x =  , □ [证法二] 利用复合函数可积性质(教材第 235 页例 2),已知 ( ) u h u = e 为连续函数， u = f (x) 在[a,b]上为可积函数，则 ( ) ( ( )) ( ) g x h f x e a b f x = =  , □ 例 2 证明：若 f a,b，,   a,b ，则 f ,  

证VE>0,因f∈ab],故彐分割T,使 把a,B两点加入T而成T,则由T是T的加密,知道 ∑o△x≤∑ 与此同时,T在[a,B]上的那部分分点构成对[a,月]的一个分割T”,并有 这就证得∫∈ 例3设h(x)是定义在[a,b]上的一个阶梯函数,意即有一[a,b]的分割T,使h(x)在T 所属的每个小区间(x21,x)上都是常(x,)的值可以是任意的,它对hx)的积分无影响), i=1,2,…,n,证明: (1)若f∈,月],则任给E>0,存在阶梯函数h1(x)≤f(x)h2(x)≥f(x)x∈[ab 使得 S(,(x)<8 〔h2(xkx-(xk≤E) (2.3) (2)若对任给的E>0,存在阶梯函数 h1(x)≤f(x),h2(x)≥f(x),x∈b 使得 ∫h2xkx-h1(xkx<E 则∫∈b 证(1)由f∈,b],彐T,使得 S()-s(r) 由于s()≤f(xkx≤S(T),因此

证   0 ，因 f a,b ，故  分割 T，使 ( )   T i i  x  把 ,  两点加入 T 而成 ' T ，则由 ' T 是 T 的加密，知道 ( ) ( )     T T X i i I  ' '  x  与此同时， ' T 在[ ,  ]上的那部分分点构成对[ ,  ]的一个分割 '' T ，并有 ( ) ( )  '' ''  ' '  i T T i i i  x  x 这就证得 f ,   □ 例 3 设 h(x) 是定义在[a,b]上的一个阶梯函数，意即有一[a,b]的分割 T，使 h(x) 在 T 所属的每个小区间 ( ) i i x , x −1 上都是常 ( ( )) i h x 的值可以是任意的，它对 h(x) 的积分无影响）， i =1,2,  ,n ，证明： （1）若 f ,   ，则任给   0 ，存在阶梯函数 h (x) f (x)(h (x) f (x)), x a,b 1  2   , 使得 f (x)dx h (x)dx b a b a 1  −  ( h (x)dx f (x)dx ) b a b a  −  2 （2.3） (2)若对任给的   0 ,存在阶梯函数 h (x)  f (x) 1 , h (x)  f (x) 2 , xa,b, 使得 h (x)dx h (x)dx b a b a 2 1  −  , 则 f a,b 证 (1)由 f a,b, T ,使得   = ( ) − ( ) T i f i x S T s T   由于 s(T) f (x)dx S(T) b   a  ,因此

∫f(xkdx-s(T)<E,S(m)-J。f(xkx<E(2.4) 所以只要取阶梯函数h和h2为 h1(x)=m,h2(x)=M,x∈(x1,x,) i=1 就有 Jo h(x)x=s(r), h()dx=S(T) 把它代入(2.4)式,就证得(2.3)式成立 (2)满足题设条件的阶梯函数h1和h2存在,根据阶梯函数的定义,分别存在分割T1和 T2,使 S(T)-s(T)sf h,(x)dx-S h,(xdx<e 令T=T1+T2,把T看作既是T1的加密,又是T2的加密,于是有 of△x,=S(7)-s(T) ≤S(72)-s(71)<E, 这就证得∫∈州{ab 说明由以上(1)的结论,立即得到 ∫h2(xkx-h(xkx 再与(2)相联系,便有如下命题—一f∈9{ab]的充要条件是:存在两个阶梯函数h和h2, 满足 h1(x)≤f(x)≤h2(x),x∈[ab], ∫。h2(xkx-」h(xkx<E 由以上(1)与(2)的证明看到,这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。 例4证明:若f∈{ab],则对任给的E>0,存在一个连续函数g(x)≤f(x),x∈[ab]

f (x)dx s(T) b  a − , S(T) f (x)dx  b a −  (2.4) 所以只要取阶梯函数 1 h 和 2 h 为 ( ) mi h1 x = ( ) M i h2 x = , ( ) i i x x , x  −1 , i =1,2,  ,n, 就有 h (x)dx s(T) b  a 1 = , h (x)dx S(T) b  a 2 = 把它代入(2.4)式，就证得（2.3）式成立。 （2）满足题设条件的阶梯函数 1 h 和 2 h 存在，根据阶梯函数的定义，分别存在分割 T1 和 T2 ，使 S(T ) s(T ) h (x)dx h (x)dx b a b 2 1 a 2 1 −   −  令 T=T1+T2，把 T 看作既是 T1 的加密，又是 T2 的加密，于是有 ( ) ( ) ( )   = − T i f i x S T s T ( ) ( )   2 T1  S T − s ， 这就证得 f a,b 说明 由以上（1）的结论，立即得到 ( ) ( ) 2 h2 x dx h1 x dx b a b a  −  ， 再与（2）相联系，便有如下命题—— f a,b 的充要条件是：存在两个阶梯函数 1 h 和 2 h ， 满足 h (x) f (x) h (x) 1   2 ， xa,b， h (x)dx h (x)dx b a b a 2 1  −  由以上（1）与（2）的证明看到，这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。 例 4 证明：若 f a,b ，则对任给的   0 ，存在一个连续函数 g(x)  f (x)，xa,b

使得 「f(xkx-g(xkdx<E 证根据例3(1),取一阶梯函数h,满足 h(x)≤f(x)x∈[a,b], ∫。八(x)x-h(xk< 由f在[a,b]上可积,从而有界,设 (x)≤M,x∈ab] 若M(x)在(x21,x)上为常数m,i=12…n,取 则可构造一个连续函数g()(如图94所示)在x+,x-2|上8()=M)=m:在 x2,和x+2,8()满足g()=一M的线性函数,于是有 g(x)≤hx)≤f(x)x∈ jh(xx-Jg(x≤nM<5 a f(ydx- g(xdx=sf(xdx-f h(rdx +a hx) g(xx<8 请读者自行证明:当f∈a,b]时,存在连续函数g(x)≥f(x),满足 ∫。g(xkx-Jf(xkx<E 例5本题的最终目的是要证明:若f在[a,b]上可积,则f在[a,b]上必定存在无限多

使得 f (x)dx g(x)dx b a b a  −  证 根据例 3（1），取一阶梯函数 h,满足 h(x)  f (x), xa,b， ( ) ( ) 2  f x dx h x dx  b a b a  −  由 f 在[a,b]上可积，从而有界，设 f (x)  M ， xa,b 若 h(x) 在 ( ) i i x , x −1 上为常数 mi ，i =1,2,  ,n, 取 2nM    , 则可构造一个连续函数 g(x) （如图 9-4 所示）：在       − + − 2 , 2 1   i i x x 上 ( ) ( ) mi g x = h x = ；在       i − i x , x 2  和       + 2 ,  i i x x 上， g(x) 满足 g(xi ) = −M 的线性函数，于是有 g(x)  h(x)  f (x), xa,b ( ) ( ) 2  h x dx g x dx nM  b a b  a −   ； f (x)d x g(x)d x f (x)d x h(x)d x b a b a b a b a  −  =  −  h(x)dx g(x)dx b a b a +  −  □ 请读者自行证明：当 f a,b 时，存在连续函数 g(x)  f (x) ，满足 g(x)dx f (x)dx b a b a  −  例 5 本题的最终目的是要证明：若 f 在[a,b]上可积，则 f 在[a,b]上必定存在无限多