例：质点作匀加速直线运动时，α(t)=v(t)=a,求满足初始条件：v(t)=y的v(t),又若已知: s(to) = So, 求 s(t)(解略)5）积分运算法则求已知函数的不定积分运算，称为积分运算。关于积分运算有下列的性质：(1) 、(J f(x)dx) =f(x) 或 dJ f(x)dx=f(x)dx,(2)、 F(x)dx= F(x)+C 或 [dF(x) = F(x)+C,Th8.3（不定积分的线性运算法则）若函数f与g在区间I上都存在原函数，k ,k,为两个任意常数，则 kf +k,g在I上也存在原函数，且[k f + k2g]dx = k ] fdx + k2 gdx11
11 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ), ( ) , ( ). 5) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , (2) ( ) ( ) ( ) ( ) , 8.3 ( a t v t a v t v v t s t s s t f x dx f x d f x dx f x dx F x dx F x C dF x F x C Th = = = = = = = + = + 例：质点作匀加速直线运动时， 求满足初始条件： 的 又若已知： 求 （解略） 、积分运算法则 求已知函数的不定积分运算，称为积分运算。关于积分运算有下列的 性质： （）、 或 、 或 不定积分的线性运算法则 1 2 1 2 1 2 1 2 , f g I k k k f k g I k f k g dx k fdx k gdx + + = + ）若函数 与 在区间 上都存在原函数， 为两个任意常数，则 在 上也存在原函数，且：
线性运算法则更一般形式为：[2]d-[kJradr]证明二、基本积分公式表由于积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公式表中的每一个公式反转过来就得到了下列不定积分的公式表：1、「adx=ax+C，其中a是常数[ dx = x + C12、[ x°dxxa+1=1+C.其中α是常数，且α≠-1α + 112
12 1 1 1 1 2 . 1. 1 n n i i i i i i k f dx k f dx a dx x C x dx x C = = + = = + = + − + 线性运算法则更一般形式为： 证明 二、基本积分公式表 由于积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公 式表中的每一个公式反转过来就得到了下列不定 积分的公式表： 1、 adx=ax+C, 其中 是常数 、 其中 是常数，且
4、[adx=a +C,其中a>0,且a*1.3、J =dx = In|x|+C.3InaX特别有: [e*dx=e' +C.5、[ sin xdx = -cos x + C.6、 cos xdx = sin x + C dxdx7、8、tgx + C. -ctgx +Ccos’ xsin’ xdx9.arcsin x +C = -arccos x + C一1-r?dx10arctgx + C0fx13
13 1 1 3 ln . 4 , 0, 1. ln . 5 sin cos . 6 cos sin . x x x x dx x C a dx a C a a x a e dx e C xdx x C xdx x C = + = + = + = − + = + 、 、 其中 且 特别有: 、 、 2 2 2 2 7 . 8 . cos sin 9 arcsin arccos . 1 10 . 1 dx dx tgx C ctgx C x x dx x C x C x dx arctgx C x = + = − + = + = − + − = + + 、 、 、
应用不定积分法则和基本的不定积分公式（以后还要补充）能够求一些简单函数的不定积分。例1 已知 p(x) =agx" + a,x"-I +..+an-x +an求[ p(x)dx.dx例2例3 求[-.1cos? xsin? x例4 求[ cos 3x. sin xdx.例5 求[(10* -10-*)dx14
14 应用不定积分法则和基本的不定积分公式（以后还要补充） 能够求一些简单函数的不定积分。 ( ) 1 0 1 1 4 2 2 2 1 ( ) . ( ) . 1 2 . 3 . 1 cos sin 4 cos3 . sin . 5 10 10 . n n n n x x p x a x a x a x a p x dx x dx dx x x x x xdx dx − − − = + + + + + + − 例 已知 求 例 求 例 求 例 求 例 求
82换元积分法与分部积分法我们先简述一下求不定积分为什么要比求导数困难得多？我们知道，如果已知一个函数可导，则我们利用求导公式及导数的运算法则，总可以求出它的导数。但是求函数的不定积分则不然它的运算关键是求出被积函数的一个原函数，而原函数的定义不象导数定义那样具有构造性，它只告诉我们其导数恰是某个已知函数f,并没有告诉我们怎样由f求出它的原函数的具体形式和途径。因此，求一个函数的不定积分要比求一个函数的导数要闲难得多。根据不定积分运算法则与不定积分公式只能求出很少一部分比较简单的函数的不定积分，而对于更厂泛函数的不定积分要因函数不同形式或不同类型选15
15 f , f 我们先简述一下求不定积分为什么要比求导数困难得多？ 我们知道，如果已知一个函数可导，则我们利用求导公式及导数 的运算法则，总可以求出它的导数。但是求函数的不定积分则不然， 它的运算关键是求出被积函数的一个原函数，而原函数的定义不象导 数定义那样具有构造性，它只告诉我们其导数恰是某个已知函数 并 没有告诉我们怎样由 求出它的原函数的具体形式和途径。因此，求一 个函数的不定积分要比求一个函数的导数要困难得多。根据不定积分 运算法则与不定积分公式只能求出很少一部分比较简单的函数的不定 积分，而对于更广泛函数的不定积分要因函数不同形式或不同类型选 §2 换元积分法与分部积分法