叠加原理 U()=/(MM)4 说明:原理3可以理解为:若[M=f,M 那么:U(M)=∫/(MM)Ab U(M)=Ju(M, Mo)dMo
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 21 ( ) , ( 0 0 ) v LU M f M M dM = 叠加原理 说明：原理3可以理解为：若 ( ) 0 Lu = f M,M 那么： ( ) , ( 0 0 ) v LU M f M M dM = ( ) , ( 0 0 ) v U M u M M dM =
叠加原理 定理:非齐次线性方程的一般解等于对应 的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程 的一个特解之和。 例3求泊松方程 △24=12x2-12y2的一般解 解:(1)先求出方程的一个特解u 由方程的形式可令u1=4+by,代入方程可得: u=r-y
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 22 叠加原理 定理：非齐次线性方程的一般解等于对应 的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程 的一个特解之和。 例3 求泊松方程 ： 2 2 的一般解。 = − 2 u x y 12 12 解:(1)先求出方程的一个特解u1 由方程的形式可令u1=ax4+by4 ,代入方程可得： 4 4 u x y 1 = −
(2)、求对应齐次方程通解 对应齐次方程为:△,=0 作变换:(=x 77==1 则齐次方程化为: 0 77 再作变换:a=n-5 1b=n+5
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 23 (2)、求对应齐次方程通解 x iy = = − 对应齐次方程为： = 2 u 0 作变换： 则齐次方程化为： u u − = 0 再作变换： a b = − = +
方程化为:w=0 齐次方程通解为:=(+)+8(x- 原方程通解为: f(x+y)+8(x-y)+(x2-y
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 24 方程化为： u f x iy g x iy = + + − ( ) ( ) uab = 0 齐次方程通解为： 原方程通解为： ( ) ( ) 4 4 u f x iy g x iy x y = + + − + − ( )
齐次化原理 齐次化原理 如果WM满足方程(M∈Rm at f(r, M) 那么非齐次柯西问题 ar? Lu+f( M)(MER,t>0) 的解为: =0 0 at u=w(t, M; r)dr 0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 25 齐次化原理1 齐次化原理 ( ) 2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t = = = = = ( ) = = = + = 0, = 0 , ,( , 0) 0 0 3 2 2 t t t u u Lu f t M M R t t u ( ) . .0 , ; t u W t M d = 如果 W M t ( , ; ) 满足方程： 那么非齐次柯西问题 的解为：