3、二阶线性偏微分方程理论 (1)线性算子 T为算子,若T(c1u1+c2l2)=c1Iu;+c2Iu2,称T 为线性算子 (2).二阶线性偏微分算子 +2a a +b1+b2+c Oxy ax
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 16 3、二阶线性偏微分方程理论 (1). 线性算子 T为算子，若T(c1u1+c2u2 )=c1Tu1+c2Tu2，称T 为线性算子 (2). 二阶线性偏微分算子 c y b x b y a x y a x L a + + + + + = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2
于是二阶线性偏微分方程 a, x+2a, u+a2 u +6,u,+bu,+cu=f 可以简记为:Lu=f 齐次形式为:L=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 17 于是 二阶线性偏微分方程 a u a u a u b u b u cu f xx xy yy x y + + + + + = 1 1 1 2 2 2 1 2 2 可以简记为： Lu = f 齐次形式为： Lu = 0
叠加原理 原理1: =加S曰∑c-=∑ef 意义:欲求LM=月的解,如果/=∑c i=1 且求出L=A(1s≤n)的解为:(1≤≤n) 则∑cx为方程LM=的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 18 原理1： (1 ) Lu f i n i i = 1 1 n n i i i i i i L c u c f = = = 意义：欲求 叠加原理 Lu f = 的解，如果 1 n i i i f c f = = 且求出 (1 ) Lu f i n = i 的解为： (1 ) u i n i 则 1 n i i i c u = 为方程 Lu f = 的解
叠加原理 原理2: L=(=12-曰|∑c=∑e 说明:原理2是原理的有条件推广。条件 是算子L与和号能交换次序
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 19 ( 1,2, ) Lu f i i i = = 1 1 i i i i i i L c u c f = = = 说明：原理2是原理1的有条件推广。条件 是算子L与和号能交换次序。 叠加原理 原理2：
叠加原理 原理3: 设u(M,M满足线性方程线性定解条件) Lu=f(M, Mo) 其中,M表示自变量组,M0为参数组 且积分M)=(MM)4M收敛, 并满足L中出现的偏导数与积分号交换次 序所需要的条件,那么U(M满足方程(或 定解条件)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 20 其中，M表示自变量组，M0为参数组 . ( ) 0 Lu = f M,M 设u(M,M0 )满足线性方程(线性定解条件) 叠加原理 原理3： 且积分 ( ) , ( 0 0 ) v U M u M M dM = 收敛， 并满足L中出现的偏导数与积分号交换次 序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或 定解条件）