夫琅和费圆孔衍射 考虑一束平行光垂直照射孔面,如图1。设在孔面处的光振动为u2e,振幅为o,小孔上一面 元da,其坐标为(5,n),观察面离孔屏距离为z,上面一点P的坐标为(xy),由于观察面离孔屏距 离很远z>>5,z>η,又考虑小角衍射>>x,z>y,显然有下述近似关系 2(x5+y),2+n2 (1) r1-2(x+1m) r 图1夫琅和费衍射的近轴条件 衍射角w很小情况下,倾斜因子近似式为cos(nAs)=1和cos(nAr)=-1,元面积da发出子波至 P点引起振动的复振幅为 du(p) -da 因为公式(1)中最后式右边第二项远小于r',故(2)式中分母可用r代替r。但是位相因子中,虽然 x+<r,但与波长可比较的,因而乘上k=2z后是不可忽略的量,所以在位相因子中r必 须用(1)式右边二项来代。即得: 将上式对整个孔面积分 l(P)=-出 ik(xs+yn)/r d
一、夫琅和费圆孔衍射 考虑一束平行光垂直照射孔面，如图 1。设在孔面处的光振动为 0 i t u e− ω ，振幅为 ，小孔上一面 元 u0 dσ ，其坐标为(ξ,η ) ，观察面离孔屏距离为 z，上面一点 P 的坐标为( x, y) ，由于观察面离孔屏距 离很远 z >> ξ,z >>η ，又考虑小角衍射 z xz >> >> , y ，显然有下述近似关系： ( ) ( ) 1 2 2 2 222 2 2 1 2 2 2 ( )( ) 1 2 1 x y rzx y r r r x y x y r r r r ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ⎡ + + ⎤ = +− +− = − + ′⎢ ⎥ ′ ′ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + ≈ − ≈− ′ ′ ⎢ ⎥ ′ ′ ⎣ ⎦ (1) dσ z y x w r' r w' P ψ o ρ ϕ η ξ 图 1 夫琅和费衍射的近轴条件 衍射角 w 很小情况下，倾斜因子近似式为cos 1 (n s ∧ ) = 和cos 1 (n r ∧ ) = − ，元面积dσ 发出子波至 P 点引起振动的复振幅为 0 1 1 d( ) [ ]d d 2 ikr ikr iu e e iu u P r r 0 σ σ λ λ − − = ⋅= − (2) 因为公式(1)中最后式右边第二项远小于 r′ ，故(2)式中分母可用 r′ 代替 r 。但是位相因子中，虽然 x y r r ξ + η << ′ ′ ，但与波长 λ 可比较的，因而乘上 λ 2π k = 后是不可忽略的量，所以在位相因子中 必 须用(1)式右边二项来代。即得： r 0 ( ) d( ) ikr ik x y r iu e uP e r ξ η λ ′ − + ′ = − ′ (3) 将上式对整个孔面积分 0 ( ) ( ) d ikr ik x y r iu e u P e r ξ η σ σ λ ′ − + ′ = − ′ ∫∫ (4) 1
令 x =上式又可写成 u(P (p5+q) dedn 在衍射中心处,存在x=y=0和p=q=0,上式积分即得衍射中心处振幅l(0): 0)=-e"「eol5dn (6) 衍射中心处光强(0)为 1(0)=(0)2=24=2,2 注意,由于我们关心的是光强的相对值,所以前面及以后的公式都以振幅绝对值平方作强度的量度。由 (7)式可得到一个重要结论:衍射中心处的光强是仅与孔阑面积的平方σ2及孔阑处的光强l有关,与孔 阑形状无关。 欲求圆孔衍射情况,只要把(5)式中5、、p和q用相应的极坐标表示,即作如下代换 =pslnφ 9≈ y winy =winy 经积分很容易得到 l(P)= . 2r -ik pw cas( p-v pd d 应用有关Bess函数公式,并注意到J(u)为偶函数即可得: ik(ps+andean 「n dy=o2,(kany w) 0. 2J,(aw) (P)_「u(P) (0)Lu(0) (P)=-2gh2.J(an) u(O)2(a) 故 (P)_「2J1(aw) (13) 图2为该函数曲线大致情形。极大极小值的位置可用上式对x=a求一次微商为0而得到。使用有关 Bessel函数微商公式可得
令 x p r = ′ ， y q r = ′ 上式又可写成 0 ( ) ( ) d d ikr iu e ik p q u P e r ξ η σ ξ η λ ′ − + = − ′ ∫∫ (5) 在衍射中心处，存在 和 x y = = 0 p q = = 0 ，上式积分即得衍射中心处振幅 ： u )0( 0 0 (0) ikr ikr iu iu u e ed d r r ξη σ λ λ ′ = − = − ′ ′ ∫∫ 0 e ′ (6) 衍射中心处光强 I( ) 0 为 2 2 2 2 2 2 0 2 2 (0) (0) 0 I u u r r σ σ λ λ == = ′ ′ I 及 有 (7) 注意，由于我们关心的是光强的相对值，所以前面及以后的公式都以振幅绝对值平方作强度的量度。由 (7)式可得到一个重要结论：衍射中心处的光强是仅与孔阑面积的平方σ 孔阑处的光强 0 I 关，与孔 阑形状无关。 2 欲求圆孔衍射情况，只要把(5)式中ξ 、η 、 p 和 q 用相应的极坐标表示，即作如下代换： cos sin ξ ρ ϕ η ρ ϕ = = cos cos sin sin x w p w r r y w q w r r ψ ψ ψ ψ ′ == = ′ ′ ′ == = ′ ′ (8) 经积分很容易得到： 2 0 cos( ) 0 0 ( ) d d a iu ikr ik w uP e e r π ρ ϕψ ρ ϕ ψ λ ′ − − = − ′ ∫ ∫ (9) 应用有关 Bessel 函数公式，并注意到 为偶函数即可得： 0 J u( ) 2 ( ) cos( ) 1 0 0 2( ) 2( ) d d d d a ik p q ik w J kaw J w e e kaw w π ξ η ρ ϕψ σ σ α1 ξ η ρϕψ α − + − − ⋅ = = = ∫∫ ∫ ∫ (10) 2 () () (0) (0) I P uP I u ⎡ ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦⎥ (11) 0 1 2( ) 2( ) ( ) (0) ikr iu Jw Jw uP e u r w 1 w σ α α λα α ′ = − = ′ (12) 故 2 1 ( ) 2( ) (0) I P J w I w α α ⎡ ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦⎥ (13) 图 2 为该函数曲线大致情形。极大极小值的位置可用上式对 x =αw 求一次微商为 0 而得到。使用有关 Bessel 函数微商公式可得 2
8 J1(x)2(x)=0 J1(x)=0处对应 为极小值,J(x)=0处对应P 为极大值。查 Bessel函数表可标出各明暗环 (0) 对应的张角,下表中列出极大极小处x值。对应第一暗环存在 =0.610-=1.220 ka 2za 圆孔衍射的图形是一个同心的明暗交替的环,它有个专门名称叫艾里圆。颗粒大于波长的大小均匀的颗 粒群的散射图形是艾里圆。若入射波长已知,测得艾里圆某一暗环直径(如第一暗环)即可知圆孔或球形 颗粒直径(如d=120 )。所以艾里圆对分析球形颗粒散射很有用处 图2圆孔夫琅和费衍射光强分布 表1圆孔夫琅和费衍射强度分布函数的极大值和极小值 X 01220x1635x2.233x2.679x3.238元 12(x)/XF 0 0.0175 0 极值 极大 极小 极大 极小 极大 极小 如果我们定义一个光瞳函数 在光阑小孔区域内 G(5,n)=0 在光阑小孔区域外 C表示入射在光阑原点处平行光再衍射至P点上的复振幅,熟悉傅立叶变换的读者很容易看出光 瞳函数和衍射光振幅函数关系是个傅立叶变换关系,并由傅立叶变换的性质可进一步看衍射性质,此处 暂不介绍 【注】有关 Besse函数的公式
( ) () () 2 1 2 1 2 d 8 2 0 d J x J xJ x xx x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎣ ⎦ = (14) J x 1 ( ) = 0 处对应 ( ) (0) I P I 为极小值，J x 2 ( ) = 0 处对应 ( ) (0) I P I 为极大值。查 Bessel 函数表可标出各明暗环 对应的张角，下表中列出极大极小处 x 值。对应第一暗环存在： daa x ka x w λ λ π λ 220.1610.0 2 11 1 ==== (15) 圆孔衍射的图形是一个同心的明暗交替的环，它有个专门名称叫艾里圆。颗粒大于波长的大小均匀的颗 粒群的散射图形是艾里圆。若入射波长已知，测得艾里圆某一暗环直径(如第一暗环)即可知圆孔或球形 颗粒直径(如 1 220.1 w d λ = )。所以艾里圆对分析球形颗粒散射很有用处。 0 2 4 6 810 12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 [2J1 (x)/x] 2 x 图 2 圆孔夫琅和费衍射光强分布 表 1 圆孔夫琅和费衍射强度分布函数的极大值和极小值 X 0 1.220π 1.635π 2.233π 2.679π 3.238π [ ] ( ) 2 1 2 XXJ 1 0 0.0175 0 0.0042 0 极值 极大 极小 极大 极小 极大 极小 如果我们定义一个光瞳函数 (,) 0 C G ξ η ⎧ = ⎨ ⎩ 在光阑小孔区域内 在光阑小孔区域外 (16) 0 ikr iu C λr ′ = − e ′ (17) C 表示入射在光阑原点处平行光再衍射至 P 点上的复振幅，熟悉傅立叶变换的读者很容易看出光 瞳函数和衍射光振幅函数关系是个傅立叶变换关系，并由傅立叶变换的性质可进一步看衍射性质，此处 暂不介绍。 【注】有关 Bessel 函数的公式： 3
Ju(u) d「(,(a)]=nJn(n) J()=--dh da J [n-n()=-Jm(n) 二、巴比涅原理和多颗粒的衍射 根据基尔霍夫积分定理很容易得到有关互补屏衍射光强分布的巴比涅原理。所谓互补屏是指这样 两个屏,其中一个的开孔部分正好对应另一个不透明部分,反之亦然。例如图3中O屏为开面为a的 圆孔屏,而Ⅰ为在相应G面积内开有三个小圆孔的屏,Ⅱ是开有面积的圆孔但在G内相应于屏Ⅰ的 小孔区是三个不透明的园板。则我们说对O屏讲,光屏Ⅰ和为互补屏。 图3巴比涅原理 若光线分别通过O、I、Ⅱ屏衍射至观察面上P点的振幅分别为l(P)、(P)、l2(P),则根据 基尔霍夫积分定理,显然有如下关系 l(P)=n1(P)+n2(P) 上述关系就称作巴比涅原理,又称互补屏原理 半径相同的圆盘和圆孔相对应于无限大的孔屏(即无光屏时)是互补屏。设u1(P)、a2(P)分别代 表平行光经孔屏和圆盘衍射到P点的振幅,由于无光屏时平行光经透镜会聚后成像于一点,所以除中 心点(透镜焦点处)外,其余各点(P)均为0,所以有 1(P)+2(P)=0 k4(P)=k2(P) 说明在同一点,圆盘衍射和圆孔衍射的振幅相等,只是相差一位相丌,也即除中心点外,其余各点的 衍射光光强分布完全相同。又因前面己讲到,衍射图形只与物体投影面积有关,所以圆球衍射与半径相 同的圆盘衍射相同,也与半径相同的圆孔衍射图形相同 N个形状大小相同的颗粒产生的夫琅和费衍射,由于在同一方向,不同颗粒的衍射振幅相同,只是
( ) ( ) () () () () 2 cos 0 1 1 d 2 d d d d n i nv u v n n n n n n n n n i Ju e v uJ u uJ u u uJ u uJ u u π π − + − − − + = ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 cos 0 0 1 0 1 d 2 d iu v Ju e v J u uJ u u u π π = = ∫ ∫ 二、巴比涅原理和多颗粒的衍射 根据基尔霍夫积分定理很容易得到有关互补屏衍射光强分布的巴比涅原理。所谓互补屏是指这样 两个屏，其中一个的开孔部分正好对应另一个不透明部分，反之亦然。例如图 3 中 O 屏为开面为σ 的 圆孔屏，而 I 为在相应σ 面积内开有三个小圆孔的屏， II 是开有面积σ 的圆孔但在σ 内相应于屏 I 的 小孔区是三个不透明的园板。则我们说对 O 屏讲，光屏 I 和 II 为互补屏。 图 3 巴比涅原理 若光线分别通过 O、 I 、 II 屏衍射至观察面上 P 点的振幅分别为 、 、 ，则根据 基尔霍夫积分定理，显然有如下关系： u P( ) 1 u P( ) 2 u P( ) () () () 1 2 uP u P u P = + (18) 上述关系就称作巴比涅原理，又称互补屏原理。 半径相同的圆盘和圆孔相对应于无限大的孔屏(即无光屏时)是互补屏。设 ) 、 ) 分别代 表平行光经孔屏和圆盘衍射到 P 点的振幅，由于无光屏时平行光经透镜会聚后成像于一点，所以除中 心点(透镜焦点处)外，其余各点 )均为 0，所以有 1 u P( 2 u P( u P( () () () () ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 uP uP 0 uP uP uP uP + = = − = (19) 说明在同一点，圆盘衍射和圆孔衍射的振幅相等，只是相差一位相π ，也即除中心点外，其余各点的 衍射光光强分布完全相同。又因前面已讲到，衍射图形只与物体投影面积有关，所以圆球衍射与半径相 同的圆盘衍射相同，也与半径相同的圆孔衍射图形相同。 N 个形状大小相同的颗粒产生的夫琅和费衍射，由于在同一方向，不同颗粒的衍射振幅相同，只是 4
有位相上差别,因而由透镜将同一方向衍射的光会聚于一点的总振幅为: u=u(p, q) 式中因子(Pq)描述衍射效应,∑e“描述干涉效应。当颗粒排布无规则时,各衍射光波固定位相 关系,此时 ∑e=∑e“=N (21) 于是 F=(pq∑ NⅠ 结论是:大量无规则排布的相同直径的散射颗粒的衍射图形与单个颗粒的衍射图形相同,只是光强增加 散射区的粒子数倍。 三、衍射式激光粒度仪的测量原理 光电探测器 接收透镜 散射光 扩束器△ 透射光 测量区 图4衍射式激光粒度仪的测量原理 散射光强分布: (P)「2J/(aw) (23) (0 其中a=ka(波数和颗粒半径之乘积称作颗粒的无因次粒径参数,a=md/(d是颗粒直径)
有位相上差别，因而由透镜将同一方向衍射的光会聚于一点的总振幅为： 1 (,) n N ik N n u u pq e δ = = ∑ (20) 式中因子 描述衍射效应， 描述干涉效应。当颗粒排布无规则时，各衍射光波固定位相 关系，此时 u pq (,) ∑ n ik e δ e e N N n qpik N n ik n nn = ∑∑ = = + = 2 1 )( 2 1 δ ηξ (21) 于是 2 2 2 1 (,) n N ik N N n I u u pq e N δ = = = ∑ = I (22) 结论是：大量无规则排布的相同直径的散射颗粒的衍射图形与单个颗粒的衍射图形相同，只是光强增加 散射区的粒子数倍。 三、衍射式激光粒度仪的测量原理 图 4 衍射式激光粒度仪的测量原理. 散射光强分布： 2 1 ( ) 2( ) (0) I P J w I w α α ⎡ ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦⎥ (23) 其中α = ka (波数和颗粒半径之乘积)称作颗粒的无因次粒径参数，α = π λ d (d 是颗粒直径)。 5