再看看该函数列在 [0,α],α<1 上的图象clf, x=0:1/100:0. 7;yl=x. 13;y2=x. 18;y3=x.20;plot(x, yl, x, y2, x, y3,'b','linewidth',2), hold onplot([0, 0. 7], [0, 0],'r', [0, 0], [-0. 02, 0. 02], r')plot ([0, 0. 7], [0. 005, 0. 005],'m )axis([0, 0. 71, -0. 01, 0. 02])112025/12/31
2025/12/31 11 再看看该函数列在 [0, ] , 1 上的图象 clf,x=0:1/100:0.7; y1=x.^13;y2=x.^1 8;y3=x.^20; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),hold on plot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r') plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m') axis([0,0.71,-0.01,0.02])
0.020.0150.010.0050-0.005-0.010.300.10.20.40.50.60.7对任意的 ε>0，总存在 N，当 n>N 时，x"的图象将全部落入ε－带之内。事实上，0<f,(x)≤α"，所以，该函数列在 [0,α],α<1 上是一致收敛。122025/12/31
2025/12/31 12 对任意的 0，总存在 N, 当 n>N 时， n x 的图象将全部落入 －带之 内。事实上， n n 0 f (x) ，所以，该函数列在 [0, ] , 1 上是一致收敛。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02
函数项级数及其一致收敛性定理 13.1（一致收敛的 Cauchy 准则）函数列(f,(x)),xe D一致收敛的充分必要条件是：对任意 ε>0，存在某一自然数 N，当 n.m>N 时，对一切 xe D, 都有 If,(x)-f,(x)<ε证 =)（利用式 lf-f|≤fm-|+f,-fl)-) 易见逐点收敛. 设 lim f,(x)= f(x),……, 有1()-f,(a)<g.2令m→80, = If,(n)-f (n)≤号<。 对VxeD成立, 即 f,(x)二 f(x),2(n-→00), xeD.132025/12/31
2025/12/31 13 函数项级数及其一致收敛性 定理 13.1 (一致收敛的 Cauchy 准则 ) 函数列 { f n (x)} , x D一致收敛 的充分必要条件是：对任意 0，存在某一自然数N ，当 n, m N 时，对 一切 x D，都有 | f (x) − f (x) | n m 证 ) ( 利用式 f f f f f f . m n m n − − + − ) ) 易见逐点收敛. 设n→ lim f (x) n = f (x) ,.,有 2 | ( ) ( ) | f x − f x m n . 令m → , − 2 | f (x) f (x) | n 对 x D 成立, 即 f (x) n ⎯→ ⎯→ f (x) , ( n → ) ， x D
定理 13.2 函数列(f,(x)),xED一致收敛的充分必要条件是lim sup/ f,(x)- f(x) = 0n-→>xED推论 设在数集 D上 f,(x)→ f(x)，(n→)。 若存在数列(x,} cD，使If,(x,)-f(x,)I→0，则函数列(f,(x)在数集 D上非一致收敛应用此判断函数列(f,(x)>在数集D上非一致收敛时，常作辅助函数F,(x)= f,(x)一 f(x) 取在(x)为数集 D上的最值点例 7 对定义在区间[0,11上的函数列142025/12/31
2025/12/31 14 定理 13.2 函数列 { f n (x)} , x D一致收敛的充分必要条件是： limsup | ( ) − ( ) |= 0 → f x f x n x D n 推论 设在数集 D 上 f (x) n → f (x) , ( n → ) . 若存在数列{ }n x D , 使 | ( ) − ( ) |→ 0 n n n f x f x , 则函数列{ f (x)} n 在数集 D 上非一致收敛 . 应用此判断函数列{ f (x)} n 在数集 D 上非一致收敛时, 常作辅助函数 Fn (x) = f (x) n ― f (x) 取在{ }n x 为数集 D 上的最值点. 例 7 对定义在区间[ 0 ,1]上的函数列
12n°x0≤x2n11f,(x)=^2n-2n°x,(n=1,2,.),<x≤-2nn10,<x≤1.n证明： lim f,(x)=0,但在[0,1]上不一致收敛,证 0<x≤1时，只要n>x-l，就有f,(x)=0.因此，在(0,1)上有f(x) = lim f,(x) =0. f,(0)=0, = f(0) = lim f,(0) =0于是, 在[0,1]上有 f(x) =lim f,(x)=0. 但由于max I f,(x)- f(x) |= fn0,(n→o),xe[0,1]n因此，该函数列在0,1I上不一致收敛152025/12/31
2025/12/31 15 − = = 1. 1 0 , , ( 1, 2 , ), 1 2 1 2 2 , , 2 1 2 , 0 ( ) 2 2 x n n n x n n n x n n x x f x n 证明: n→ lim f (x) n = 0, 但在[ 0 ,1]上不一致收敛. 证 0 x 1时, 只要 −1 n x , 就有 f (x) n = 0. 因此, 在( 0 ,1]上有 f (x) = n→ lim f (x) n = 0. (0) = 0 n f , f (0) = n→ lim (0) n f = 0. 于是, 在[ 0 ,1]上有 f (x) = n→ lim f (x) n = 0. 但由于 0 2 1 max | ( ) ( ) | [0,1] = → − = n n f x f x f n n x , ( n → ) , 因此 , 该函数列在[ 0 ,1]上不一致收敛