次优线性滤波算法3限定记忆滤波3限定记忆滤波标准卡尔曼滤波器对量测数据的记忆是无限增长的，即计算时用到了所有过去的量测值.而所谓限定记忆滤波计算时，只用到离k时刻最近的N个量测值（yk-N+1,yk-N+2，.，k}.完全截断了k-N+1时刻以前量测数据对滤波值的影响15/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
3 限定记忆滤波 次优线性滤波算法 3. 限定记忆滤波 标准卡尔曼滤波器对量测数据的记忆是无限增长的，即计算 xˆk|k 时用 到了所有过去的量测值. 而所谓限定记忆滤波计算 xˆk|k 时，只用到离 k 时 刻最近的 N 个量测值 {yk−N+1, yk−N+2, · · · , yk}，完全截断了 k − N + 1 时 刻以前量测数据对滤波值的影响. Prof. Yuan-Li Cai 15/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法3限定记忆滤波3.1量测数据分组将量测数据进行如下分组yd+(19)yk=(y1,y2,...,d,yd+1,..,yk-1,ykya(20)ya-1 = [yd, ..., Yk-2, k-1]注意，y表示所有到k时刻的量测值；y+1表示d+1时刻到k时刻的N个量测值；ya-1表示d时刻到k-1时刻的N个量测值；ya表示d时刻到k时刻的N+1个量测值16/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
3 限定记忆滤波 次优线性滤波算法 3.1 量测数据分组 将量测数据进行如下分组： y k = {y1, y2, · · · , y k d+1 yd, z }| { yd+1, · · · , yk−1, yk | {z } y k d } (19) y k−1 d = {yd, · · · , yk−2, yk−1} (20) 注意，y k 表示所有到 k 时刻的量测值；y k d+1 表示 d + 1 时刻到 k 时刻的 N 个量测值；y k−1 d 表示 d 时刻到 k − 1 时刻的 N 个量测值；y k d 表示 d 时 刻到 k 时刻的 N + 1 个量测值. Prof. Yuan-Li Cai 16/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法3限定记忆滤波我们的目标是获得k基于y+1的最优估计（线性最小方差估计），并建立递推算法3.2递推算法为描述方便，研究如下不含过程噪声的随机动态系统(21)Ck+1 = Φk+1,kCk(22)Yk+1 = Hk+12k+1+ Vk+1其中，Vk～(O,R）是与初始状态o~（o，Po）不相关的噪声，Rk>017/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
3 限定记忆滤波 次优线性滤波算法 我们的目标是获得 xk 基于 y k d+1 的最优估计 (线性最小方差估计)，并 建立递推算法. 3.2 递推算法 为描述方便，研究如下不含过程噪声的随机动态系统 xk+1 = Φk+1,kxk (21) yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 (22) 其中，vk ∼ (0, Rk) 是与初始状态 x0 ∼ (¯x0, P0) 不相关的噪声， Rk > 0. Prof. Yuan-Li Cai 17/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法3限定记忆滤波福设基于a-1对a的线性最小方差估计为k-1：对k-1的线性最小方差估计为-1k-1那么全K-1 = K,k-1-1L-1(23)基于y对的线性最小方差估计为aNt m- + Jalue - Hiank-l(24)18/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
3 限定记忆滤波 次优线性滤波算法 设基于 y k−1 d 对 xk 的线性最小方差估计为 xˆ N k|k−1，对 xk−1 的线性最小 方差估计为 xˆ N k−1|k−1 . 那么 xˆ N k|k−1 = Φk,k−1xˆ N k−1|k−1 (23) 基于 y k d 对 xk 的线性最小方差估计为 xˆ N+1 k|k = ˆx N k|k−1 + Jk[yk − Hkxˆ N k|k−1 ] (24) Prof. Yuan-Li Cai 18/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法3限定记忆滤波其中JK=PAk-1HT[HPAk--HT+RA]-1(25)PM-1 = 0k,-1 P-1-1T,k-1(26)PN+ [1 JH PM- = [(PM-1)- + HI Rr" HA-(27)上述公式实际上完全套用了标准卡尔曼滤波公式又设基于ya+对k的线性最小方差估计为k，基于对的线性最小方差估计为N+1显然，t比多用了一个量测数据yd由(21)和(22)可知(28)Yd=Hard+Ua=Hapdkk+Ud19/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
3 限定记忆滤波 次优线性滤波算法 其中 Jk = P N k|k−1H T k [HkP N k|k−1H T k + Rk] −1 (25) P N k|k−1 = Φk,k−1P N k−1|k−1Φ T k,k−1 (26) P N+1 k|k = [I − JkHk]P N k|k−1 = [(P N k|k−1 ) −1 + H T k R −1 k Hk] −1 (27) 上述公式实际上完全套用了标准卡尔曼滤波公式. 又设基于 y k d+1 对 xk 的线性最小方差估计为 xˆ N k|k，基于 y k d 对 xk 的线 性最小方差估计为 xˆ N+1 k|k . 显然，xˆ N+1 k|k 比 xˆ N k|k 多用了一个量测数据 yd. 由 (21) 和 (22) 可知 yd = Hdxd + vd = HdΦd,kxk + vd (28) Prof. Yuan-Li Cai 19/57 Xi’an Jiaotong University