次优线性滤波算法2衰减记忆滤波2.1指数衰减记忆滤波考虑如下离散时间随机系统(1)Ck+1=k+1,kk+FWk(2)Yk+1 = Hk+1Ck+1 + Uk+1其中,wk～(O,Qk）与Vk～(0R）相互独立,它们与初始状态o～（o,Po）不相关.另外，设Qk≥0,Rk>0最优滤波可以表达为(3)k+1/k+1= [I -Kk+1Hk+1]Φk+1,kkk +Kk+1Yk+15/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 2.1 指数衰减记忆滤波 考虑如下离散时间随机系统 xk+1 = Φk+1,kxk + Γkwk (1) yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 (2) 其中，wk ∼ (0, Qk) 与 vk ∼ (0, Rk) 相互独立，它们与初始状态 x0 ∼ (¯x0, P0) 不相关. 另外，设 Qk ≥ 0, Rk > 0. 最优滤波可以表达为 xˆk+1|k+1 = [I − Kk+1Hk+1]Φk+1,kxˆk|k + Kk+1yk+1 (3) Prof. Yuan-Li Cai 5/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法2衰减记忆滤波可见任意时刻的滤波值k+1k+1是量测数据y1～yk+1及初始估计olo的线性组合.而且所有的量测噪声的协方差矩阵R1～Rk+1和初始估计误差协方差矩阵Polo都进入了k+1k+1的计算.设当前时刻为N，如果要降低yk及oo对NIN的影响，可以通过增大Rk及PoJo的值来实现另外，最优滤波也可以表达为(4)k+1/k+1=k+1k+Kk+19k+1但一步预测和量测信息都直接与系统状态模型（1）有关，为了抑制远离当前时刻N模型不确定性对NIN的影响，可以通过增大Qk的值来实现6/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 可见任意时刻的滤波值 xˆk+1|k+1 是量测数据 y1 ∼ yk+1 及初始估计 xˆ0|0 的 线性组合. 而且所有的量测噪声的协方差矩阵 R1 ∼ Rk+1 和初始估计误差 协方差矩阵 P0|0 都进入了 xˆk+1|k+1 的计算. 设当前时刻为 N，如果要降低 yk 及 xˆ0|0 对 xˆN|N 的影响，可以通过增大 Rk 及 P0|0 的值来实现. 另外，最优滤波也可以表达为 xˆk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1y˜k+1 (4) 但一步预测和量测信息都直接与系统状态模型 (1) 有关，为了抑制远 离当前时刻 N 模型不确定性对 xˆN|N 的影响，可以通过增大 Qk 的值来实 现. Prof. Yuan-Li Cai 6/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法2衰减记忆滤波我们知道，最优增益计算公式为(5)Kk+1=P+1/HT+[Hk+1Pk+11HT+1 +Rk+1]-1或(6)Kk+1 = P+1+1HT+R+1如果将时刻k+1的量测噪声协方差增加为NRk+1 exp[(7)cil,ci≥0i=k+17/57Prof.Yuan-LiCaiXian JiaotongUniversity
2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 我们知道，最优增益计算公式为 Kk+1 = Pk+1|kH T k+1[Hk+1Pk+1|kH T k+1 + Rk+1] −1 (5) 或 Kk+1 = Pk+1|k+1H T k+1R −1 k+1 (6) 如果将时刻 k+1 的量测噪声协方差增加为 Rk+1 exp[ X N i=k+1 ci ], ci ≥ 0 (7) Prof. Yuan-Li Cai 7/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法2衰减记忆滤波上式表明根据距离当前时刻N的远近加不同的权重，即离当前时刻N越远加越大的权重。记NP+1]k+1 = P+1]k+1 exp[- c](8)i=k+1NPt+1]k = Pk+1/k exp[- c](9)i=k十1那么(5)、(6)变为Ki+1=P+1/HT+[Hk+1P+1]HT+1+ Rk+1]-1= P++1++H+R+1?8/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 上式表明根据距离当前时刻 N 的远近加不同的权重，即离当前时刻 N 越远加越大的权重. 记 P ∗ k+1|k+1 = Pk+1|k+1 exp[− X N i=k+1 ci ] (8) P ∗ k+1|k = Pk+1|k exp[− X N i=k+1 ci ] (9) 那么 (5)、(6) 变为 K∗ k+1 = P ∗ k+1|kH T k+1[Hk+1P ∗ k+1|kH T k+1 + Rk+1] −1 = P ∗ k+1|k+1H T k+1R −1 k+1 Prof. Yuan-Li Cai 8/57 Xi’an Jiaotong University
次优线性滤波算法2衰减记忆滤波考虑一步预测的误差协方差矩阵(10)P+1=h+1,PkT+1k+TrQT如果将过程噪声协方差增加为N(11)Qkexp[c], c, ≥0i=k那么可得(12)P+=[k+1,P+1,+Q]exp(ck)如果将PoJo增加为N(13)Pojo exp[>c],C,≥ 0i=09/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 考虑一步预测的误差协方差矩阵 Pk+1|k = Φk+1,kPk|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k (10) 如果将过程噪声协方差增加为 Qk exp[ X N i=k ci ], ci ≥ 0 (11) 那么可得 P ∗ k+1|k = [Φk+1,kP ∗ k|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k ] exp(ck) (12) 如果将 P0|0 增加为 P0|0 exp[ X N i=0 ci ], ci ≥ 0 (13) Prof. Yuan-Li Cai 9/57 Xi’an Jiaotong University