证()由∑b(x)在D上的一致收敛性,对任意给定的E>0,存 在正整数N=N(E),使得 ∑b(x)<6 对一切m>n>N与一切x∈D成立。应用Abel引理,得到 ea,(x):(x<s(I an(x)1 +21 am(x)1)<3M6 k=n+1 对一切m>n>N与一切x∈D成立,根据 Cauchy收敛原理(定理102.1), ∑an(x)bn(x)在D上一致收敛。这就证明了Abel判别法
证 ⑴ 由∑ ∞ =1 )( n n xb 在 D 上的一致收敛性，对任意给定的ε >0，存 在正整数 N = N(ε )，使得 ∑ ∞ += 1 )( nk k xb < ε 对一切 m >n >N 与一切 x∈D 成立。应用 Abel 引理，得到 ∑ += m nk kk xbxa 1 )()( ≤ ε (│ )(1 n+ xa │+ 2│am (x)│) ≤ 3Mε 对一切 m >n >N 与一切 x∈D 成立，根据 Cauchy 收敛原理(定理 10.2.1)， ∑ ∞ =1 )()( n nn xbxa 在 D 上一致收敛。这就证明了 Abel 判别法
(2)由{an(x)}在D上一致收敛于0,对任意给定的g>0,存在正 整数N=N(),当n>N时,对一切x∈D成立 an(x 由于对一切m>n>N, ∑b(x)=∑bx)-∑b(x)2M, k=1 k=1 应用Abel引理,得到 a(x)b(x)≤2M(|an1(x)|1+2|an1()1)<6Ma k=n+1 对一切κ∈D成立。根据 Cauchy收敛原理(定理10.2.1),∑an(x)b(x) 在D上一致收敛。这就证明了 Dirichlet判别法。 注在定理1023的两个判别法的条件中,都要求{an(x)}关于n 单调,请读者思考是什么原因
⑵ 由{an(x)}在 D 上一致收敛于 0，对任意给定的ε >0，存在正 整数 N = N(ε )，当 n >N 时，对一切 x∈D 成立 │an(x)│< ε 。 由于对一切 m>n >N， ∑ += m nk k xb 1 )( = ∑ − = m k k xb 1 )( ∑ = n k k xb 1 )( ≤ 2M， 应用 Abel 引理，得到 ∑ += m nk kk xbxa 1 )()( ≤ 2M (│ )(1 xan+ │+2│am (x)│) < 6Mε 对一切 x∈D 成立。根据 Cauchy 收敛原理(定理 10.2.1)，∑ ∞ =1 )()( n nn xbxa 在 D 上一致收敛。这就证明了 Dirichlet 判别法。 注 在定理 10.2.3 的两个判别法的条件中，都要求{an(x)}关于 n 单调，请读者思考是什么原因
例10.24设∑a收敛,则∑ax”在O,1上一致收敛。 n=1 证显然{x"}关于n单调,且 x|≤1,x∈[0, 对一切n成立;∑an是数项级数,它的收敛性就意味着关于x的一致 收敛性。由Abel判别法,得到∑ax在p,上的一致收敛性 特别地,如∑x(p>0)在上一致收敛
例 10.2.4 设∑ ∞ n=1 an 收敛，则∑ ∞ n=1 an x n 在[0,1]上一致收敛。 证 显然{xn }关于 n 单调，且 │xn │≤ 1, x∈ ]1,0[ 对一切 n 成立；∑ ∞ n=1 n a 是数项级数，它的收敛性就意味着关于 x 的一致 收敛性。由 Abel 判别法，得到∑ ∞ n=1 n n xa 在 ]1,0[ 上的一致收敛性。 特别地，如 n n p n x n ∑ ∞ = − 1 )1( （ p > 0）在 ]1,0[ 上一致收敛
例10.2.5设{an}单调收敛于0,则∑a2 cosnx与∑ a. sin nx在 (0,2x)上内闭一致收敛。 证数列{an}收敛于0意味着关于x一致收敛于0。另外,对任 0<<π,当x∈[6,2π-时 sin n+-lx-sin 2 k=1 2 sin Sin cos n+-x-cOS sin sin sin 由 Dirichlet判别法,得到∑an, corn与∑ a sin nx在[6,2兀-]上的一致 收敛性
例 10.2.5 设 { a n }单调收敛于 0，则 ∑ ∞ =1 cos n n nxa 与 ∑ ∞ =1 sin n n nxa 在 (0, 2 π )上内闭一致收敛。 证 数列 { a n }收敛于 0 意味着关于 x 一致收敛于 0。另外，对 任 意 0 < δ < π，当 x ∈ [ ,2 δ π − δ ]时， ∑= n k kx 1 cos = 2 sin2 2 sin 2 1 sin x x ⎟xn − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ 2 sin 1 δ ； ∑= n k kx 1 sin = 2 sin2 2 cos 2 1 cos x x ⎟xn − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ 2 sin 1 δ 。 由 Dirichlet 判别法，得到 ∑ ∞ =1 cos n n nxa 与 ∑ ∞ =1 sin n n nxa 在[ ,2 δ π − δ ]上的一 致 收敛性
一致收敛级数的性质 定理10.2.4(连续性定理)设函数序列{S八(x)}的每一项Sx) 在{,b上连续,且在[a,b上一致收敛于Sx),则S(x)在[a,b上也连 续 证设x是[an,b中任意一点。 由{S(x)}在[a,b]上一致收敛于S(x),可知对任意给定的E>0,存 在正整数N,使得 S(x)S(x)|<5 对一切x∈[a,b成立。特别,对x与任意的x0+h∈[a,b],成立 SMo)-s(xo )I S(x2+h)S(x2+h)|<
一致收敛级数的性质 定理 10.2.4 （连续性定理） 设函数序列{Sn(x)}的每一项 Sn(x) 在[a, b] 上连续，且在[a, b]上一致收敛于 S(x)，则 S(x)在[a, b] 上也连 续。 证 设 0 x 是[a, b]中任意一点。 由{Sn(x)}在[a, b]上一致收敛于 S(x)，可知对任意给定的ε >0，存 在正整数 N，使得 │SN(x)-S(x)│< 3ε 对一切 x∈[a, b]成立。特别，对 0 x 与任意的 0 x +h∈[a, b]，成立 │SN( 0 x )-S( 0 x )│< 3ε ， │SN ( 0 x +h)-S( 0 x +h)│< 3ε