再看沿C，的线积分。由于在A、B之间的@=V/4的等值线上处处有v@dl，故。E·dl=0。可见E的线积分与路径无关4.4a=0?VXE=7例1.9如图1-21所示，r（z，y、）一般用来表示场.yz源即源点的位置矢量和坐标，而r（z，y，之)则用来表示场点的位置矢量和坐标。R=-r为场点相对于源点的相对位置矢量，而(-,y-,-2)叫作相对坐标,意为它是场点相对于源点（而不是坐标原点)的坐标。实际问题中,场量往往是相对位置矢量 R 的函数,表示成 R 或相对坐标的函数较为方便。图1-21源点、场点和相设有标量场f(R),求证：以（,，)为动点（即以,对位置矢量R,或为变量)时的梯度'f(R)与以(z,,2)为动点(即以，,或为变量)时的梯度f(R)之间有如下关系：V'f(R)= -Vf(R)证fV'f=af+a+aVf=a. 9I + a, &++a, 9R=V-)+(y-y)+(-)2R)-ROR-RR故有24)-6--(-)--24)而af(R)--af(R)同理af(R)--af(R)3'f(R)--.---f(R)故亥姆霍兹定理宏观电磁场的基本方程1.61.亥姆霍兹(Helmholtz)定理从1.4节和1.5节我们看到,场的分布有两种相反的情形。一种是散度处处为零的场-无散场，它等价于一个矢量场A的旋度场√×A。这种场的矢线永远没有始点和终点（因为始、终点处必有散度源)，从而只能都是闭合曲线。又因为沿闭合失线的环量必不为零，从而闭合矢线中必包围有涡旋源。也就是说，无散场一定有旋，故也称旋转场。磁场就是这样的矢量场。+23
另外一种则是旋度处处为零的场-无旋场，它等价于一个标量场u的梯度场Vu。它的矢线永远不可能闭合(因为闭合的矢线中必包围有涡旋源),因而必然是有始有终的。而始点与终点处散度必不为零，必是源点，所以无旋场中必有散度源“喷泉”（“漏口")，而矢线则起于正的源，止于负的源。静电场就是这样的矢量场可见，从整体上说，一种矢量场不可能既无散，又无旋。事实上，任何一种物理的场都必须有某种源,因为场是由源引起，同源一起出现的。一般的矢量场可能既有散，又有旋。亥姆霍-兹定理指出：任何一个矢量场F都可以表示为一个无旋场分量F，和无散场分量F.之选加：F=F+F.(V×F=0,V·F,=0)(1.6.1)其中F的无旋场分量由它的散度源V·F及边界面上的等效散度源F·n唯一确定，F的无散场分量由它的涡旋源V×F及边界而上的等效涡旋源 F×n唯一确定。简而言之，就是一个矢量场由它的散度和旋度唯一确定。这个定理的严格证明见附录A3事实上，我们从本章前而几节已看到：散度描述了矢量场沿场量本身的方向上的变化率，旋度描述了与场量垂直的方向上的变化率，因而一个矢量场各分量的偏导数的许多可能的组合中的这两种特定的组合(指·和√×)能够共同确定一个失量场的全貌。从场和源的关系上看，散度和旋度分别对应着矢量场F的两种源的分布，而源的分布决定着场的分布，当然也就决定了场量沿各个方向如何变化。因此，散度和旋度理应是已给出了有关F的全部信息，亥姆霍兹定理正是总结了矢量场的这一根本性质，是对矢量场与其源的关系的全而总结。如果已知V·F,=pVXF,=J根据（1.6.1)式，就有·F=V-F,-(1.6.2)VXF-VXF,=J(1.6.3)(1.6.2)和(1.6.3)式就是矢量场F的基本方程。按照亥姆霍兹定理，求解上述基本方程就应能得到场 F 的解式。但在实际问题中,并不一定总能直接求解基本方程,边界条件在形式上也不完全与亥姆翟兹定理(A3.8)式中的相同。在关于唯一性定理和边值问题的讨论中将对此作进一步的讨论。根据亥姆霍兹定理，本书中每研究一种失量场，都是从它的散度和旋度两方面去研究，并得出象(1.6.2)和(1.6.3)式那样的基本方程的微分形式；或者从矢量穿过闭合面的通量和沿着闭合路径的环量两方面去研究，得出基本方程的积分形式还应该指出，散度和旋度都包含着对空间坐标的导数，因此只有在连续的区域才有意义。而在 F 发生突变的一些表而,只能用关于通量和环量的积分形式的基本方程去分析。2.宏观电磁场的基本方程本书中要讨论的矢量场是电磁场，它就是用散度和旋度来全而描述的。宏观电磁场的基本方程的微分形式为VXH-J+eE(J=oE)VE--号(1.6.4)V·(μH)=0V.(E)= p这就是著名的麦克斯韦方程组的限定形式(将在第6章详述)。·24
我们称它是宏观电磁场的基本方程，是因为它适用于宏观电磁现象，而不适用于原子范围内的电磁效应、发光过程等微观现象。我们在这个方程组中看到，电场E和磁场H都各有它们的散度方程和旋度方程。按照亥姆霍兹定理，散度和旋度分别代表着矢量场E 和H 的场源，决定着场的分布。事实上，电磁场的解归根结底都是从解麦克斯韦方程组得到的。这个方程组中的一个特殊之处是；场矢量不只是空间的函数,还是时间的函数。于是，在时变的情况下就不只需要场论的知识，还需要数学物理方程（例如关于波动方程)的知识才能求解。解的唯一确定,不仅需要亥姆霍兹定理所指出的散度和旋度,还需要时间上的初始条件以及时变电磁场的边界条件。另一个特殊之处是：两种矢量场E和H 在方程中是互相交叉的。当然，可以从数学上将二者分离而解之；然而，作为物理的场E和H是无法分割开的，电效应和磁效应是同时交错在一起出现而无法加以孤立的。麦克斯韦方程组在反映了电磁场受场源（电荷 β-——散度源，电一涡旋源)的制约的同时,也客观地反映了电场和磁场本身之间的相互联系、相互制约、流J一统一而不可分的物理本质。只有在电荷、电流不随时间而变，即场是恒定的特殊情况下，才能分别呈现出电磁场的电效应一面和磁效应一面。而在实际上，恒定不变的电场和磁场是并不电荷不会长期静止不动，电流强度也经常会有小的波动，不会绝对不变。恒定场只存在的一是实际情况的一种近似。正如我们在现代的日常生活、工作中时时处处所感受到的，真正存在的是变化的电场和变化的磁场，而且电场和磁场总是并存的。电场和磁场实际上是同一个场的两个侧而。这一看法的正确性还可以由下面的事实说明：静止的电荷产生电场,运动的电荷除了产生电场还产生磁场,但是静止和运动是相对的。相对于某一个参照系是静止的电荷,相对于另一个参照系则可能是在运动。因此,从前一个参照系看只有电场，从后一个参照系看则同时有电场和磁场。由此可见，电场和磁场确有其相对性质。·虽然 E、H同时并存,但在实际问题中，当所讨论的系统尺寸相对够小(例如远小于电磁波的波长）,或换言之,电磁波通过系统的时间相对够短，例如远小于电磁波的一个周期(实际使用的时间尺度是特征时间T,t=会-)时,就可用准静态的近似模型把E、H分开来研究：当0,电场可视为不受磁场的影响或感应(但景±0,磁场仍受电场的感应)称为电准静态(EQS:Electroquasistatic)场。由方程组(1.6.4),此时电场的散度和旋度分别为VXE=0)(1.6.5)V·E=p)F0 时,磁场视为不受电场的感应(但±0,电场仍受磁场的感电场只产生于电荷p：而当应），称为磁准静态(MQS:Magnetoquasistatic)场。由方程组（1.6.4)，此时磁场的散度和旋度分别为V×H=J)(1.6.6)V=0磁场仅产生于真实电流J。准静态场不是静态场，因为 E、H之间存在“单向"的影响，且场随时间而变。但这种场的每一瞬间的分布像静态场一样,仅由那一时刻的源(散度和旋度)决定而与前一时刻无关[若无25
静态或准静态的假设，则t时刻的E会与t-△t时刻的H有关。这是因为按照方程组(1.6.4),E 的涡旋源取决于一 H()一期(-α)。 间理, 时刻的H会与--A1 时刻的E 有关。 而归根结底,各点的场量都与1-尽时刻的源 p、J 的分布有关。 R 是场点至源点的距离，c为光速）。把EQS(MQS)场的任一瞬间"拍照”、保留下来的电（磁）场侧面就是静态的电（磁）场。当方程组(1.6.4)中的时间导数项和同时近似为零,它就退化成分别关于静态的电场和磁场的基本方程[分别和式(1.6.5)、(1.6.6))相同。为了认识上的循序渐进,本书将首先在场论的指导下,在翌=翌=0 的假设下，分别介绍静态的电场和磁场这种最简单、基本的模型（而对准静态场这一更接近实际但更复杂的模型,请参阅文献[3]),在此基础上再讨论统一的时变电磁场,对每一种场的基本现象、基本规律、基本问题、基本解法作系统的介绍。习题11.1已知矢量A=2a,-3a,+4g，B=3a,+2a,+a,，求失量C=B-A的模，方向余弦(即 C与、y、之轴的夹角余弦 cos α,cos β,os)及单位矢量 aco1.2已知矢量α、b的矢端分别为A、B点，起点为原点O,求以A、B连线的中点C为矢端的矢量OC。（即用已知矢量a，b表示OC)。1.3已知矢量D=a,+ba,+ca,写出圆柱坐标和球坐标下D的表达式。1.4已知矢量A、B、C为A=a. +a,2-a,3B=-a,4+a,C=a.5-a,2①通过计算验证A·（B×C)=C·（A×B)。三个矢量怎样轮换次序方能使混合积符号不变？②计算（A×B)×C和A×（B×C)。双重叉积是否满足乘法结合律？矢量a=/1,4,31,6=14.2.-4的起点均在坐标原点。用失量运算解答1.5①以a、b为边的三角形是否直角三角形？②计算该三角形的面积。+2a,+3a，和B=4a,5a,+6a，求它们之间的夹角余弦和A1.6给定两矢量A=ax在 B上的分量(投影)。+3a,-4a和B=-6a,-4a,+a求A×B在C=a,-a,+1.7已知两矢量A=2a元a，上的分量。1.8证明：如果P·A=P·B且PXA=P×B，则量A=B。1.9用球坐标表示的失量场为E=a,25/r。①求在点（-3,4,-5)(直角坐标)的|E|和E；②求E与矢量B=2a.-2a,+a.构成的夹角。.26
1.10球坐标系中的两个位置失量r,和r2的失端坐标分别为(r1,81,91)和(r2,82,pz),求证ri和 rz 之间的夹角余弦为cos = sin 6,sin 82cos( p1 - P2)+ cos 8icos 021.11在由等值面p=5,2=0,2=2围成的圆柱形区域中,对失量A=ago2+a,2z验证散度定理。1.12已知旋转抛物面S为=2+y(0<h),求流速场=（+y+2).在单位时间内向下(朝向-a,)穿过S的流量Q。1.13在失量场A=-0,+xa,中有一矩形回路C:(0,0)→(3,0)→(3,4)(0,4)（0,0)。对回路C及其围成的矩形平面S验证斯托克斯定理成立。1.14利用斯托克斯定理计算失量场A=-3a,+za,+C(C为常数)沿圆周①x?+ y?= R?@(x-2) +y=R?的环量。这个环量与半径为 R 的圆在,ry 平面上的位置有无关系？1.15利用散度定理和斯托斯定理证明：①对任意闭合面S有f,ds=0②对任意闭合回路C有$, dl=0【提示：在(1.3.10)和(1.4.10)式中令4为常失量或利用(A2.14)、(A2.15)式。）1.16标量函数u="yz在点M(2,1,-1)处沿哪个方向的方向导数最大？并计算该最大方向导数的值。1.17求双曲线族u-上任意点的单位法向矢量。1.18求u=3xy-zy+在(1，-1,1)点沿曲线C的增加一方的方向导数。已知C 的曲线方程为FyX1z=x31.19今有二维标量场u=y2-t：①问u的等值面是何种曲面？并在xy平面上画出u的等值线族；?求Vu;③任取一个回路C,计算Φ，Vu·dl。例如，C如图1-17所示，由一段抛物线和二条直线段构成。1.20对于图1-20中的标量场@=V，求失量场E=-V@从点(1)分别沿路径C和C至点（2)的线积分。这个场是否保守场？1.21相对位置矢量R=a,(r')+a(y-y）+a（z-z'),为常失量，证明：①V·R=3:②V×R=0;③V（k·R）=k。标量场k·R的等值面是何种形状？它与常矢量k? 27