例1:求函数=/x2+y?+z2在点 M(1,0,1)处沿7=a,+2a,+2a方向的方向导数解：au1Oux2axax+μ?+z2auyu=0M(1,0,1)ayVay1ouau1-2OzOz
例1： 求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在点 M(1,0,1) 处沿 l a 2a 2a 方向的方向导数. x y z = + + 解： 2 2 2 x y z x x u + + = 2 2 2 x y z y y u + + = 2 2 2 x y z z z u + + = M(1,0,1) 2 1 = x u = 0 y u 2 1 = z u 2 2 2 x y z y y u + + = 2 1 = x u = 0 y u 2 2 2 x y z y y u + + = 2 1 = x u 2 1 = z u = 0 y u 2 2 2 x y z y y u + + = 2 1 = x u
=a+27-2a而的方向余弦为Al =a.Ax+a,Ay+a.Az11COSX32VP+2+2cosB3V12+ 22+ 2222cOS:3/12 + 22 + 22函数u在M点沿7方向的方向导数为：211121Ou+0xV223323alA
而 l 的方向余弦为 3 1 1 2 2 1 cos 2 2 2 = + + = 3 2 1 2 2 2 cos 2 2 2 = + + = 3 2 1 2 2 2 cos 2 2 2 = + + = 2 1 3 2 2 1 3 2 0 3 1 2 1 = + + = l M u 点沿 l 方向的方向导数为： 函数 u 在 M ax ay az l = + 2 + 2 l a x a y a z = x + y + z 3 1 1 2 2 1 cos 2 2 2 = + + = 3 2 1 2 2 2 cos 2 2 2 = + + =
例2-6:真空中有电荷以体密度p均匀分布于一半径为R的球中,如图.求球内、球外的电场强度及电位解：R口求电场强度：C(R,0,P)取球心为球生标系的原点。应用高斯通量定理求解较为方便。fE.ds-Zg球内ｒ<RS面取半径为r的球面。60S因电荷分布为球对称，故E的方向为 aR 方向，且仅为r的函数。 fe ds=arE(r)-ax4m2-Zg)1 4rrp6360S
例2-6:真空中有电荷以体密度 均匀分布于一半径 为R的球中,如图.求球内．球外的电场强度及电位. 解： o R ❑ 求电场强度： 应用高斯通量定理求解较为方便。 0 = q E dS S S面取半径为 r 的球面。 因电荷分布为球对称，故 的方向为 方向，且 仅为 r 的函数。 aR E 取球心为球坐标系的原点。 (R,,) 3 0 0 2 1 1 3 1 4 ( ) 4 r q E dS a E r a r R R S = = = 球内 r < R
3QQprE,(r)p4元R34360元R33pr即E;(r)= R 360fE.ds-Eq球外ｒ>RS面取半径为 r的球面6SZq1 4fE,·ds =anE,(r).ax4mr?元Rp38%%0sPR3E,(r)=ar故 3c0l
0 3 r E (r) 1 = 即 0 R 3 r E (r) a 1 = 0 = q E dS S 3 0 0 2 2 2 3 1 4 ( ) 4 R q E dS a E r a r R R S = = = 2 3 2 3 r R E (r) a 0 R 故 = 球外 r > R 3 3 4 3 3 4 R Q R Q = = S面取半径为 r 的球面
口求电位：选无穷远处为电位参考点球外r>Rp() =r E, di-eR?360r2:dr球内 R()=" +·dirardi +JPR'.. Φ(r) =JR360r2aR-dl380°PR3dr+drR38360(3R-r)680
❑ 求电位： 选无穷远处为电位参考点 球外 r > R = r (r) E dl 2 球内 r < R = + R R r (r) E dl E dl 1 2 = + R R R r R a dl r R a dl r (r) 2 0 3 3 0 3 = + R R r dr r R dr r 2 0 3 3 0 3 (3 ) 6 2 0 = R − r = r dr r R 2 0 3 3