上下积分限来控制的。再由(1.4.5)式，可得aVXA=0aray根据斯托克斯定理可知，A 沿任意闭合路径的线积分都应是零。若换成球坐标来表示例1.6中的场量A,可得到A=a?+ay? +a2 =a,这是球对称辐射状的失量场。本节前面曾提到过的地球引力场G=-a,"n以及=kr 也是此种形状的场，G，r沿任意闭合路径的环量也恒为零。对此，我们可以证明一个普遮性的结论。例1.7试证明凡形如(r)a,的矢量场必定是无旋场，其中f(r)连续。证因为 f(r)连续,必存在原函数,设为 @(r),则d[α(r)=f(r)dr,故"f(r)dr=a d[@(r)]=@(ra) -Φ(rp)f(r)a,*dl从图1-18上看，无论走哪条路径，“有效"的位移只是dr，面在r的等值面上的位移是"无效"的[因(r)a,·dl=r)a0)。这样，上述线积分值就与P和Q之间的路径无关，而只取决于积分的始点（r）终点（ro）（引力场和静电场就是这样的场)。按照例1.5中的推导，这就意味着场量f(r)a，沿任意闭合路径的积分都为零。根据斯托克斯定理，必有V×[f(r)a,]处处为零,表明球(柱)面对称、辐射状的图1-18积分(r)a,dl与路径无关矢量场必定是无旋场。但其逆不真。如例1.5中的矢量场a。+α,.cos 元2 和后面例1.8中的失量场兴(a,y+a,t)都不是(r)a,形的场。也就是说，并非只有“球(柱)面对称、辐射状"的失量场是无旋场。下一节我们将找到更广泛的失性函数类是无旋的。4.旋度和失量位失量场的旋度有一个重要的性质：(1.4.11)V-(VXA)=C这是一个失量恒等式,与坐标系无关。这里，我们仅在直角坐标系下作一个证明。把v当作矢量，利用失量混合积计算公式(A1.2)，可得品最影品V.(VXA):品影ArA,A.-3A+A-A-0aAs2A.aAooa18
也可利用斯托克斯定理和散度定理对上述矢量恒等式作出与坐标系无关的证明，请读者自证。这个性质说明矢量场的旋度场（也是一个矢量场）一定是无散的。而且，其逆命题也成立一个无散场一定可以表示为某个矢量场的旋度场：(1.4.12)V·B-O4→B=VXA“"表示“等价”。A通常称作矢量场B的矢量位。也就是说，无散场B一定对应着一个矢量位场A(但A并不唯一)。在复杂的问题中，有时必须借助矢量位A来间接求出B的解式。标量位1.5标量场的梯度1.梯度的定义和计算公式前面两节介绍了如何描述矢量场，本节讨论如何描述标量场。这是我们更为熟悉的事物。正像描述一元函数 y()是利用其导数y(r)来描述y如何随它的一维变元dz 变化,对于三元函数u(z,,z),我们将利用 u的体积导数即梯度来描述它如何随三维变元点的位移dl而变化。我们在等值线图1-1(c)中取一个局部，放大为图1-19。当点在空间有一个微小位移dl(即dr),点的函数u(z，,2)就会有一个微图1-19沿不同方向增量du。以直角坐标系为例：的变化率du-guda +oudy+udzu的全微分为位移矢量为di=a dz +a,dy+a,dz=dr由V=a品+a最+aVu=a. +a, %+a. %(1.5.1)得从而u的全微分又可写成如下形式(1.5.2)du-u-di=udr这正如一元函数的微分dy=ydr(1.5.2)就是梯度(gradient)的定义式。梯度简写为grad u 或Vu。这个定义式与坐标系无关。（1.5.1)就是梯度在直角标系中的计算公式。把矢量微分算子√在不同坐标系下的表达式(1.3.5)(1.3.6)与u相乘，即得出Lou+a.3Vu=a,3+a,fop(1.5.3)圆柱坐标系中(1.5.4)球坐标系中Vu=a u+a I%+a, rsin 0p下面我们来探讨一下梯度矢量的性质和含义，(1)当点沿着u的等值面移动时，函数值u不变，du=Vu·dl=0。这表明梯度矢量是垂直于等值面的，即梯度平行于等值面的法线；(2)当点沿着垂直于等值面的方向到达相邻的等值面u+du时，路径dl。最短（见图1-19),故而u变化最快即方向导数的模最大，而且有·19
du=u dl.假设失量Vu的指向与dl。一致而不是相反，由(1.5.2)式和点积的定义式(见附录)就得到du=Vu'di, =|Vuldl.比较此二式，可知= IVul>0 - du>0表明梯度矢量指向u增大而非减小的方向。综合(1)(2)两点，可知梯度是这样一个矢量：标量场u某点的梯度的模是该点处u的最大增加率即某点处方向导数的最大值；梯度的方向是该点处u增加最快的方向，与该点处u的等值面的法线方向平行。我们观察一下水从山坡上流下的路径，或弹丸从高坡上滚下的路径，它们总是走“捷径”，沿坡度最陡的方向下落的,这就是每一点处山的高度h(z,y)的梯度的负方向。而每一点处山坡的最大坡度就是梯度的模/Vh/[参看图1-20(b)]。可以证明(见附录A2(A2.14)式和(A2.17)式的证明),梯度也是一种体积导数：dudsVu=lim-t梯度、散度、旋度的定义式可统一地表示为dS.AArAXAXA2.梯度和方向导数的关系由梯度的定义式(1.5.2),有du= u'di=Vu cos odl = lul,dl其中|Vul，表示|Vu|在1方向的投影。而由方向导数的定义，又有du=rdi比较上两式，得出u=Vul,=Vulcos 8=-ua(1.5.5)也就是说，u沿某个方向的方向导数等于u的梯度失量在这个方向的投影。显然，当1就取为Vu的方向时，αs=1,方向导数的值最大。由此也可见梯度的模就是最大的方向导数，梯度的方向就是取得最大方向导数的那个方向。3.梯度和标量位梯度也有一个重要的性质：(1.5.6)VXVu=0这是一个失量恒等式，与坐标系无关。我们仅在直角坐标系中证明。根据(1.4.6)式，可得·20
2Vx(Vu)==0矢量恒等式(1.5.6)表明梯度场都是无旋场。不仅如此，其逆命题也成立：无旋场都可以表示成某个标量场的梯度场，即VXE=0E=Vu现在证明如下：从例1.7我们已知以下三个命题等价：(1)失量场E是一个无旋场(V×E=0);(2)失量场 E沿任意闭合路径的积分为零(Φ,E·dl=0);(3)矢量场E的线积分与路径无关。(E-dl= u(Q)- u(P)这样，在固定P点、选定u(P)值的情况下就是场点 Q的一个唯一确定的函数。实际问题中 u(Q)都是连续、可微的，故上式中的被积函数应为EdI=du；再由(1.5.2)式，可知E=Vu逆命题得证，且上式与命题1、2、3等价。这样，我们又得到了一个比例1.7更加普遍的结果：能表为Vu才是矢量场“无旋”（或说有势)的充分必要条件。包括例 1.7 中的 (r)a,形式的矢量场在内,它们一定也是标量位场,一个无旋场 E一定对应着一个标量场 u:E 可表为 u 的梯度(体积导的梯度场。总而言之，数),而u可表为E的线积分并称作 E的[标量]位或势；这种场则称作位场、有势场或保守场“保守”（conservative）的意思是“守恒”，指任一点Q处对应的上述线积分值都不会因积分路径PQ 而变,只要参考点 P及其位值取定了,这个线积分值就被 Q 点的位置唯一确定。所以这个线积分值才称作"位”。在不计相差任一常数u（P)的前提下，梯度场（无旋场）与它的标量位场是一对应的。现在考虑一个二维标量场=V其中V、α为常数。@的梯度场为(1.5.7)ytax)图1-20(a)为三维物理空间中标量场Φ(z,y)的等值面(它是在方向无限长的柱而)的横截面图。如果在三维空间画出 Φ(z,y)的函数图像[如图 1-20(b)所示],可更清楚、形象地看到@值的大小随(z,y)的分布以及V@的含义。从图(b)中可见：等@线如同等高线,g(a,a),@(-a,-a)位于高处的等值线@=V上,(-a,a),(a,-a)位于低处的等值线@=V上。矢量场E=-VΦ的矢线如同水流线，如果高处有水，它必是沿着-V的矢线即坡度最大的路线向下流。越陡处表明|VΦ|越大。+21·
例1.8对于图1-20所示的标量场(r,3)=V①求点(a,a)处@的等值面的法线失量n（假设n指向@增大的方向)。①易知点A号a，a）和B(-a，号）位于@=VI4的等值线上。计算失量场E=-V@分别沿路径C和C,由A点至B点的线积分。C,为连接A、B点的直线段，C为 A、B点所在的 @=V/4的等值线[见图 1-20(a)]。③计算V×E。图1-20标量场@=V及其负梯度场的分布（a)平行平面场@（t，y）的等值线和负梯度线：(b）@（工，y）的菌数图像解①把z=a,y=a代人(1.5.6)式可得点(a,a)的法线矢量为n==(aaap)/(a+a)-+②路径C,的方程，即经过点A、B的直线方程为y+%+号ay=-x-号ay利用在路径C,上y～间的上述关系，沿C的线积分就可化为只对某一元坐标的积分：Je, E-dl-[ E,da+ [ E,dy=-[[(-a号a]da+ J (-da)]- (2+号a)de=022